В математике метрическое пространство представляет собой множество с понятием расстояния между его элементами , обычно называемыми точками . Расстояние измеряется функцией , называемой метрикой или функцией расстояния . [1] Метрические пространства являются наиболее общей средой для изучения многих концепций математического анализа и геометрии .
Самый известный пример метрического пространства — трехмерное евклидово пространство с обычным понятием расстояния. Другими известными примерами являются сфера , снабженная угловым расстоянием , и гиперболическая плоскость . Метрика может соответствовать метафорическому, а не физическому понятию расстояния: например, набор 100-символьных строк Юникода может быть снабжен расстоянием Хэмминга , которое измеряет количество символов, которые необходимо изменить, чтобы получить из одного строка к другому.
Поскольку метрические пространства очень общие, они являются инструментом, используемым во многих различных областях математики. Многие типы математических объектов имеют естественное понятие расстояния и поэтому допускают структуру метрического пространства, включая римановы многообразия , нормированные векторные пространства и графы . В абстрактной алгебре p - адические числа возникают как элементы пополнения метрической структуры рациональных чисел . Метрические пространства также самостоятельно изучаются в метрической геометрии [2] и анализе метрических пространств . [3]
Многие из основных понятий математического анализа , включая шары , полноту , а также равномерную , липшицеву и непрерывность по Гельдеру , могут быть определены в терминах метрических пространств. Другие понятия, такие как непрерывность , компактность , а также открытые и замкнутые множества , могут быть определены для метрических пространств, но также и в еще более общей ситуации топологических пространств .
Чтобы увидеть полезность различных представлений о расстоянии, рассмотрим поверхность Земли как набор точек. Мы можем измерить расстояние между двумя такими точками длиной кратчайшего пути вдоль поверхности , « по прямой »; это особенно полезно для судоходства и авиации. Мы также можем измерить расстояние по прямой между двумя точками внутри Земли; это понятие, например, естественно в сейсмологии , поскольку оно примерно соответствует продолжительности времени, которое требуется сейсмическим волнам для прохождения между этими двумя точками.
К понятию расстояния, закодированному аксиомами метрического пространства, предъявляется относительно мало требований. Эта общность дает метрическим пространствам большую гибкость. В то же время это понятие достаточно сильное, чтобы закодировать множество интуитивных фактов о том, что означает расстояние. Это означает, что общие результаты о метрических пространствах могут применяться во многих различных контекстах.