В математике , А топологическое векторное пространство (также называется линейным топологическим пространством и обычно сокращенно TVS или телевизоры ) является одним из основных структур , исследованных в функциональном анализе . Топологическое векторное пространство - это векторное пространство ( алгебраическая структура), которое также является топологическим пространством , это означает, что операции в векторном пространстве являются непрерывными функциями . В частности, его топологическое пространство имеет однородную топологическую структуру , что позволяет использовать понятие равномерной сходимости .
Элементами топологических векторных пространств обычно являются функции или линейные операторы, действующие в топологических векторных пространствах, и топология часто определяется так, чтобы уловить конкретное понятие сходимости последовательностей функций.
Банаховы пространства , гильбертовы пространства и пространства Соболева являются хорошо известными примерами.
Если не указано иное, предполагается, что основным полем топологического векторного пространства являются комплексные числа или реальные числа .
Мотивация
- Нормированные пространства
Каждое нормированное векторное пространство имеет естественную топологическую структуру : норма индуцирует метрику, а метрика индуцирует топологию. Это топологическое векторное пространство, потому что:
- Векторное сложение совместно непрерывна относительно этой топологии. Это непосредственно следует из неравенства треугольника, которому подчиняется норма.
- Скалярное умножение где - основное скалярное поле , совместно непрерывно. Это следует из неравенства треугольника и однородности нормы.
Таким образом, все банаховы пространства и гильбертовы пространства являются примерами топологических векторных пространств.
- Ненормированные пространства
Существуют топологические векторные пространства, топология которых не индуцируется нормой, но все еще представляет интерес для анализа. Примерами таких пространств являются пространства голоморфных функций на открытой области, пространства бесконечно дифференцируемых функций , пространства Шварца , пространства пробных функций и пространства распределений на них. Все это примеры пространств Монтель . Бесконечномерное пространство Монтеля никогда не нормируемо. Существование нормы для данного топологического векторного пространства характеризуется критерием нормируемости Колмогорова .
Топологическое поле является топологическим векторным пространством над каждым из своих подполей .
Определение
Топологическое векторное пространство ( ТВС )является векторным пространством над топологическим полем (чаще всего реальные или сложные номера с их стандартными топологий) , что наделенные топологией таким образом, что вектор сложения и скалярное умножение являются непрерывными функциями (где области определения этих функций снабжены топологиями произведения ). Такая топология называется векторной топологией или топологией TVS на.
Каждое топологическое векторное пространство также является коммутативной топологической группой относительно сложения.
- Предположение Хаусдорфа
Некоторые авторы (например, Вальтер Рудин ) требуют топологии набыть T 1 ; из этого следует, что это пространство хаусдорфово и даже тихоновское . Топологическое векторное пространство называется разделенным, если оно хаусдорфово; что важно, «отделенный» не означает отделимый . Топологические и линейные алгебраические структуры могут быть связаны друг с другом еще более тесно с помощью дополнительных предположений, наиболее общие из которых перечислены ниже .
- Категория и морфизмы
Категории топологических векторных пространств над полем топологическогообычно обозначается TVSили TVect. Эти объекты являются топологическими векторными пространствами нада морфизмы - непрерывные-линейные карты от одного объекта к другому.
TVS гомоморфизм или топологическое гомоморфизм [1] [2] является непрерывным линейным отображением между топологическими векторными пространствами (TVS) такими, что индуцированное отображение это открытое отображение , когда, который представляет собой диапазон или изображение , Даются топология подпространства , индуцированное Y .
ТВС вложения или топологическое -мономорфизм является инъективно топологическим гомоморфизм. Эквивалентно TVS-вложение - это линейное отображение, которое также является топологическим вложением . [1]
TVS изоморфизм или изоморфизм в категории TVSS биективный линейный гомеоморфизм . Эквивалентно, это сюръективное вложение TVS [1]
Многие изучаемые свойства TVS, такие как локальная выпуклость , метризуемость , полнота и нормируемость , инвариантны относительно изоморфизмов TVS.
- Необходимое условие векторной топологии
Коллекция подмножеств векторного пространства называется аддитивным [3], если для каждого, есть некоторые такой, что .
Характеристика непрерывности сложения при [3] - Еслиявляется группой (как все векторные пространства), топология на , а также наделено топологией произведения , то добавление карты (определяется ) непрерывна в начале координат тогда и только тогда , когда множество окрестностей нуля ваддитивный. Это утверждение остается верным, если слово «соседство» заменить словом «открытое соседство».
Следовательно, все вышеперечисленные условия необходимы для формирования топологии векторной топологии.
Определение топологий с использованием окрестностей начала координат
Поскольку любая векторная топология инвариантна относительно трансляции (т.е. для всех , карта определяется является гомеоморфизмом ), определить вектор топологии достаточно , чтобы определить базу окрестностей (или предбазу) для него в начале координат.
Теорема [4] (Соседства фильтр происхождения) - Предположим , чтоявляется действительным или комплексным векторным пространством. Еслиявляется непустым добавка набор сбалансированных и поглощающих подмножеств тогда это база соседства в для векторной топологии на . То есть предположения таковы, что- база фильтров , удовлетворяющая следующим условиям:
- Каждый является сбалансированным и поглощающий ,
- аддитивно: Для каждого существует такой, что ,
Если удовлетворяет два вышеуказанных условия , но это не фильтр базы , то он образует окрестность суб базис в (а не базис окрестностей) для векторной топологии на .
В общем, множество всех сбалансированных и поглощающих подмножеств векторного пространства не удовлетворяет условиям этой теоремы и не образует базис окрестностей в начале координат для любой векторной топологии. [3]
Определение топологий с использованием строк
Позволять - векторное пространство и пусть последовательность подмножеств . Каждый набор в последовательностиназывается узел из и для каждого индекса , называется й узел из Набор называется начало из Последовательность is / is a: [5] [6] [7]
- Суммативное, если для каждого индекса .
- Сбалансированные (соотва. Поглощая , закрыто , [примечание 1] выпуклое , открытый , симметричное , ствол , абсолютно выпуклое / disked и т.д.)если это верноотношении каждого.
- Строка, если является суммативным, увлекательным и сбалансированным.
- Топологическая строка или строка окрестности в TVS если является струной, и каждый ее узел является окрестностью начала координат в .
Если является поглощающей диск в векторном пространстве тогда последовательность, определяемая образует строку, начинающуюся с . Это называется естественной цепочкой[5] Более того, если векторное пространствоимеет счетную размерность, то каждая строка содержит абсолютно выпуклую строку.
Суммативные последовательности множеств обладают тем особенно приятным свойством, что они определяют неотрицательные непрерывные вещественнозначные субаддитивные функции. Затем эти функции можно использовать для доказательства многих основных свойств топологических векторных пространств.
Теорема (-значная функция, индуцированная строкой) - Пусть набор подмножеств векторного пространства таких, что а также для всех Для всех позволять
Определять от если а в противном случае пусть
потом является субаддитивным (что означает для всех ) а также на так, в частности Я упал являются симметричными множествами, то и если все сбалансированы тогда для всех скаляров такой, что и все Если является топологическим векторным пространством и если все являются окрестностями начала координат, то непрерывна, где если дополнительно Хаусдорф и формирует основу сбалансированных окрестностей происхождения в тогда - метрика, определяющая векторную топологию на .
Доказательство указанной теоремы приведено в статье о метризуемых ТВП .
Если а также два набора подмножеств векторного пространства и если является скаляром, то по определению: [5]
- содержит : если и только если для каждого индекса
- Набор узлов :
- Ядро :
- Скалярное множественное :
- Сумма :
- Пересечение : .
Если представляет собой набор последовательностей подмножеств тогда называется направленным ( вниз ) при включении или просто направленным, если не пусто и для всех есть некоторые такой, что а также (иначе говоря, если и только если является предварительным фильтром по отношению к защитной оболочке определено выше).
Обозначение : Пусть быть набором всех узлов всех струн в
Определение векторных топологий с использованием наборов строк особенно полезно для определения классов TVS, которые не обязательно являются локально выпуклыми.
Теорема [5] (Топология, индуцированная струнами) - Если является топологическим векторным пространством, то существует множество [доказательство 1] соседних строк в направленной вниз и такой, что совокупность всех узлов всех струн в является базисом соседства в нуле для Такой набор строк называется фундаментальный .
Наоборот, если является векторным пространством и если это набор строк в направленной вниз, то множество всех узлов всех струн в образует базис окрестности в начале координат векторной топологии на В данном случае эта топология обозначается и называется топологией, порожденной.
Если это набор всех топологических строк в TVS тогда [5] Хаусдорфова TVS метризуема тогда и только тогда, когда ее топология может быть индуцирована одной топологической цепочкой. [8]
Топологическая структура
Векторное пространство - это абелева группа по отношению к операции сложения, а в топологическом векторном пространстве обратная операция всегда непрерывна (так как это то же самое, что и умножение на -1). Следовательно, каждое топологическое векторное пространство является абелевой топологической группой . Каждый TVS полностью исправен, но TVS не обязательно должен быть нормальным . [9]
Позволять - топологическое векторное пространство. Учитывая подпространство , фактор-пространство с обычной фактор-топологией является топологическим векторным пространством Хаусдорфа тогда и только тогда, когдазакрыто. [примечание 2] Это позволяет следующее построение: задано топологическое векторное пространство (который, вероятно, не Хаусдорф), образуют фактор-пространство где закрытие . тогда является хаусдорфовым топологическим векторным пространством, которое можно изучать вместо .
Инвариантность векторных топологий
Одним из наиболее часто используемых свойств векторных топологий является то, что каждая векторная топология инвариантна к трансляции :
- для всех , карта определяется является гомеоморфизмом , но если тогда он не является линейным и, следовательно, не является TVS-изоморфизмом.
Скалярное умножение на ненулевой скаляр - это TVS-изоморфизм. Это означает, что если тогда линейная карта определяется является гомеоморфизмом. С использованием производит карту отрицания определяется , который, следовательно, является линейным гомеоморфизмом и, следовательно, TVS-изоморфизмом.
Если и любое подмножество , тогда [4] и более того, если тогда является окрестностью (соответственно, открытая окрестность, замкнутая окрестность) точки в тогда и только тогда, когда то же самое верно для в происхождении.
Местные представления
Подмножество векторного пространства как говорят
- поглощающий (в): если для каждого , существует настоящая такой, что для любого скаляра удовлетворение .
- сбалансированный или обведенный : если для каждого скаляра .
- выпуклый : если для каждого настоящего .
- диск или абсолютно выпукло : если выпуклый и уравновешенный.
- симметричный : если, или, что то же самое, если .
Каждая окрестность точки 0 является поглощающим множеством и содержит открытую сбалансированную окрестность точки[4], поэтому каждое топологическое векторное пространство имеет локальную базу поглощающих и сбалансированных множеств . Начало координат даже имеет базис окрестностей, состоящий из замкнутых уравновешенных окрестностей 0; если пространство локально выпукло, то оно также имеет базис окрестностей, состоящий из замкнутых выпуклых уравновешенных окрестностей нуля.
- Ограниченные подмножества
Подмножество топологического векторного пространства будет ограничен [10] , если для любых окрестностей происхождения, то когда достаточно большой.
Определение ограниченности можно немного ослабить; ограничен тогда и только тогда, когда каждое его счетное подмножество ограничено. Множество ограничено тогда и только тогда, когда каждая из его подпоследовательностей является ограниченным множеством. [11] Кроме того, ограничен тогда и только тогда, когда для каждой уравновешенной окрестности из 0 существует такой, что . Более того, когдалокально выпукло, ограниченность можно охарактеризовать полунормами : подмножество ограничена тогда и только тогда, когда каждая непрерывная полунорма ограничен .
Всякое вполне ограниченное множество ограничено. [11] Если - векторное подпространство ТВП , то подмножество ограничен в тогда и только тогда, когда он ограничен в . [11]
Метризуемость
Теорема Биркгофа – Какутани - Еслиявляется топологическим векторным пространством, то следующие три условия эквивалентны: [12] [примечание 3]
- Происхождение закрыт в , и существует счетный базис окрестностей для 0 в.
- является метризуемый (как топологическое пространство).
- Есть трансляционно-инвариантная метрика на что побуждает топология , которая является данной топологией на .
- является метризуемым топологическим векторным пространством . [примечание 4]
По теореме Биркгофа – Какутани следует, что существует эквивалентная метрика , инвариантная относительно сдвигов.
TVS псевдометризуема тогда и только тогда, когда у нее есть счетный базис окрестностей в начале координат, или эквивалентно тогда и только тогда, когда ее топология порождается F -полунормой . TVS метризуема тогда и только тогда, когда она хаусдорфова и псевдометризуема.
Более строго: топологическое векторное пространство называется нормируемым, если его топология может быть индуцирована нормой. Топологическое векторное пространство нормируемо тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово и имеет выпуклую ограниченную окрестность. [13]
Позволять - недискретное локально компактное топологическое поле, например действительные или комплексные числа. Хаусдорфа топологическое векторное пространство надлокально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно , т. е. изоморфно для некоторого натурального числа .
Полнота и единообразие конструкции
Каноническая однородность [14] на TVSединственная трансляционно-инвариантная единообразие , индуцирующая топологию на .
Предполагается, что каждая TVS наделена канонической однородностью, которая превращает все TVS в однородные пространства . Это позволяет [ требуется пояснение ] о связанных понятиях, таких как полнота , равномерная сходимость , сети Коши и равномерная непрерывность . и т. д., которые всегда предполагаются в отношении этого единообразия (если не указано иное). Отсюда следует, что всякое хаусдорфово топологическое векторное пространство тихоновское . [15] Подмножество TVS компактно тогда и только тогда, когда оно полно и тотально ограничено (для хаусдорфовых TVS вполне ограниченное множество эквивалентно его предкомпактности ). Но если TVS не хаусдорфова, то существуют незамкнутые компактные подмножества. Однако замыкание компактного подмножества нехаусдорфовой TVS снова компактно (поэтому компактные подмножества относительно компактны ).
Относительно этой равномерности сеть (или последовательность)является Коши тогда и только тогда, когда для каждой окрестности из , существует некоторый индекс такой, что в любое время а также .
Каждая последовательность Коши ограничена, хотя сети Коши и фильтры Коши не могут быть ограниченными. Топологическое векторное пространство, в котором сходится каждая последовательность Коши, называется последовательно полным ; в общем, он может быть неполным (в том смысле, что все фильтры Коши сходятся).
Операция сложения в векторном пространстве является равномерно непрерывной и открытой картой . Скалярное умножение непрерывно по Коши, но в целом оно почти никогда не бывает равномерно непрерывным. Из - за этого, каждое топологическое векторное пространство может быть завершено , и, таким образом, плотное линейное подпространство из полного топологического векторного пространства .
- Каждая TVS имеет завершение, и каждая TVS Хаусдорфа имеет завершение Хаусдорфа. [4] Каждая TVS (даже если она хаусдорфова и / или полна) имеет бесконечно много неизоморфных нехаусдорфовых пополнений.
- Компактное подмножество TVS (не обязательно по Хаусдорфу) полно. [16] Полное подмножество Хаусдорфовой TVS замкнуто. [16]
- Если является полным подмножеством TVS, то любое подмножество это закрыто в завершено. [16]
- Последовательность Коши в ТВП Хаусдорфа не обязательно относительно компактно (то есть его замыкание в не обязательно компактный).
- Если фильтр Коши в TVS имеет точку накопления затем он сходится к .
- Если серия сходится [примечание 5] в TVS тогда в . [17]
Примеры
Самая точная и грубая векторная топология
Позволять быть реальным или сложным векторным пространством.
- Тривиальная топология
Тривиальная топология или антидискретная топология всегда является топологией TVS в любом векторном пространстве и это самая грубая топология TVS. Важным следствием этого является то, что пересечение любого набора топологий TVS навсегда содержит топологию TVS. Любое векторное пространство (в том числе бесконечномерное) с тривиальной топологией является компактным (и, следовательно, локально компактным ) полным псевдометризуемым полунормируемым локально выпуклым топологическим векторным пространством. Оно хаусдорфово тогда и только тогда, когда.
- Лучшая векторная топология
Существует топология TVS на это лучше, чем любая другая топология TVS на (то есть любая TVS-топология на обязательно является подмножеством ). [18] [19] Любое линейное отображение из} в другой TVS обязательно непрерывно. Еслиимеет несчетный базис Гамеля, тоявляется не локально выпуклым и не метризуемый . [19]
Векторные пространства продукта
Декартово произведение семейства топологических векторных пространств, когда наделенное топологией произведения , является топологическим векторным пространством. Рассмотрим, например, набор всех функций где несет свою обычную евклидову топологию . Этот наборявляется реальным векторным пространством (где сложение и скалярное умножение, как обычно, определены поточечно), которое можно отождествить с декартовым произведением (и действительно, часто определяется как) , который несет топологию натурального продукта . С этой топологией продукта,становится топологическим векторным пространством, топология которого называется топологией поточечной сходимости на. Причина этого названия следующая: еслипредставляет собой последовательность (или, в более общем смысле, сеть ) элементов в и если тогда сходится к в тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа , сходится к в . Эта TVS является полной , хаусдорфовой и локально выпуклой, но не метризуемой и, следовательно, не нормируемой ; действительно, каждая окрестность начала координат в топологии продукта содержит линии (т. е. одномерные векторные подпространства, которые являются подмножествами вида с участием ).
Конечномерные пространства
Позволять обозначать или же и наделять с его обычной хаусдорфовой нормированной евклидовой топологией . Позволять быть векторным пространством над конечной размерности и так что векторное пространство изоморфно (явно это означает, что существует линейный изоморфизм между векторными пространствами а также ). Это конечномерное векторное пространствовсегда имеет уникальную векторную топологию Хаусдорфа , что делает его TVS-изоморфным, где наделен обычной евклидовой топологией (которая совпадает с топологией произведения ). Эта векторная топология Хаусдорфа также является (уникальной) лучшей векторной топологией на. имеет уникальную векторную топологию тогда и только тогда, когда . Если тогда хотя не имеет уникальной векторной топологии, но имеет уникальную векторную топологию Хаусдорфа .
- Если тогда имеет ровно одну векторную топологию: тривиальную топологию , которая в этом случае (и только в этом случае) является хаусдорфовой . Тривиальная топология векторного пространства хаусдорфова тогда и только тогда, когда векторное пространство имеет размерность.
- Если тогда имеет две векторные топологии: обычную евклидову топологию и (не хаусдорфовую) тривиальную топологию.
- Поскольку поле сам является одномерным топологическим векторным пространством над и поскольку она играет важную роль в определении топологических векторных пространств, эта дихотомия играет важную роль в определении поглощающего множества и имеет последствия, которые отражаются во всем функциональном анализе .
Схема доказательства |
---|
Доказательство этой дихотомии несложно, поэтому дается только набросок с важными наблюдениями. По-прежнему,предполагается иметь (нормированную) евклидову топологию. Позволять - одномерное векторное пространство над . Обратите внимание, что если шар с центром в 0 и если является подмножеством, содержащим «неограниченную последовательность», то , где «неограниченная последовательность» означает последовательность вида где а также неограничен в нормированном пространстве . Любая векторная топология на будет трансляционно-инвариантным и инвариантным относительно ненулевого скалярного умножения, и для каждого , карта дано является непрерывной линейной биекцией. В частности, для любого такого, так что каждое подмножество можно записать как для некоторого уникального подмножества И если эта векторная топология на имеет окрестность 0, которая должным образом содержится в , то непрерывность скалярного умножения в начале координат вынуждает существование открытой окрестности начала координат в который не содержит «неограниченной последовательности». Отсюда следует, что если не несет тривиальной топологии и если , то для любого шара центр в 0 в , содержит открытую окрестность начала координат в чтобы таким образом, является линейным гомеоморфизмом . ∎ |
- Если тогда имеет бесконечно много различных векторных топологий:
- Теперь описаны некоторые из этих топологий: Каждый линейный функционал на , которое является векторным пространством, изоморфным , индуцирует полунорму определяется где . Каждая полунорма индуцирует ( псевдометризуемую локально выпуклую ) векторную топологию на и полунормы с различными ядрами индуцируют различные топологии, так что, в частности, полунормы на индуцированные линейными функционалами с различным ядром, будут индуцировать различные векторные топологии на .
- Однако, хотя векторных топологий на когда Есть, до TVS-изоморфизма только векторные топологии на . Например, если то векторные топологии на состоят из тривиальной топологии, евклидовой топологии Хаусдорфа, а затем бесконечного числа оставшихся нетривиальных неевклидовых векторных топологий на все TVS-изоморфны друг другу.
Невекторные топологии
- Дискретные и конфинитные топологии
Если является нетривиальным векторным пространством (т.е. ненулевой размерности), то дискретная топология на(которая всегда метризуема ) не является топологией TVS, потому что, несмотря на непрерывность сложения и отрицания (что при сложении превращает ее в топологическую группу ), она не может сделать непрерывным скалярное умножение. Коконечен топология на(где подмножество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение конечно) также не является топологией TVS на.
Линейные карты
Линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами, непрерывный в одной точке, непрерывен во всей области. Кроме того, линейный оператор непрерывно, если ограничена (как определено ниже) для некоторой окрестности происхождения.
Гиперплоскость на топологическом векторном пространствелибо плотный, либо замкнутый. Линейный функционал в топологическом векторном пространстве имеет либо плотное, либо замкнутое ядро. Более того,непрерывно тогда и только тогда , когда его ядро будет закрыто .
Типы
В зависимости от приложения обычно накладываются дополнительные ограничения на топологическую структуру пространства. Фактически, несколько основных результатов функционального анализа не верны в целом для топологических векторных пространств: теорема о замкнутом графике, теорема об открытом отображении и тот факт, что двойственное пространство пространства разделяет точки в пространстве.
Ниже приведены некоторые общие топологические векторные пространства, примерно упорядоченные по их удобству .
- F-пространства - это полные топологические векторные пространства с трансляционно-инвариантной метрикой. Это включает L п {\ Displaystyle L ^ {p}} места для всех.
- Локально выпуклые топологические векторные пространства : здесь каждая точка имеет локальную базу, состоящую из выпуклых множеств . С помощью техники, известной как функционалы Минковского, можно показать, что пространство является локально выпуклым тогда и только тогда, когда его топология может быть определена семейством полунорм. Локальная выпуклость - это минимальное требование для «геометрических» аргументов, подобных теореме Хана – Банаха . В пространства локально выпуклые (фактически, банаховы пространства) для всех , но не для .
- Бочкообразные пространства : локально выпуклые пространства, в которых верна теорема Банаха – Штейнгауза .
- Борнологическое пространство : локально выпуклое пространство, в котором непрерывные линейные операторы для любого локально выпуклого пространства являются в точности ограниченными линейными операторами .
- Пространство стереотипов : локально выпуклое пространство, удовлетворяющее варианту условия рефлексивности , где двойственное пространство наделено топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах .
- Монтелевские : бочечное пространство , где каждый замкнутый и ограниченный набор является компактным
- Пространства Фреше : это полные локально выпуклые пространства, топология которых исходит из трансляционно-инвариантной метрики или, что эквивалентно: из счетного семейства полунорм. В этот класс попадает много интересных пространств функций. Локально выпуклое F-пространство - это пространство Фреше.
- LF-пространства являются ограничения по Фреше . Пространства ILH являются обратными пределами гильбертовых пространств.
- Ядерные пространства : это локально выпуклые пространства, обладающие тем свойством, что любое ограниченное отображение ядерного пространства в произвольное банахово пространство является ядерным оператором .
- Нормированные пространства и полунормированные пространства : локально выпуклые пространства, в которых топология может быть описана одной нормой или полунормой . В нормированных пространствах линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
- Банаховы пространства : полные нормированные векторные пространства . Большая часть функционального анализа сформулирована для банаховых пространств.
- Рефлексивные банаховы пространства : банаховы пространства, естественно, изоморфные своему двойному двойному (см. Ниже), что гарантирует, что некоторые геометрические аргументы могут быть выполнены. Важным примером, который не является рефлексивным, является L 1 {\ displaystyle L ^ {1}} , дуал которого но строго содержится в двойнике .
- Гильбертовы пространства : у них есть внутренний продукт ; хотя эти пространства могут быть бесконечномерными, большинство геометрических рассуждений, знакомых по конечным измерениям, можно проводить в них. Это включает пробелы.
- Евклидовы пространства : или же с топологией, индуцированной стандартным внутренним произведением. Как указывалось в предыдущем разделе, для данного конечного, здесь только один -мерное топологическое векторное пространство с точностью до изоморфизма. Отсюда следует, что любое конечномерное подпространство ТВП замкнуто. Характеризация конечномерности состоит в том, что Хаусдорфова TVS локально компактна тогда и только тогда, когда она конечномерна (следовательно, изоморфна некоторому евклидову пространству).
Двойное пространство
Каждое топологическое векторное пространство имеет непрерывное двойственное пространство - множествовсех непрерывных линейных функционалов, т. е. непрерывных линейных отображений из пространства в базовое поле Топология на двойном может быть определена как самая грубая топология, такая, что двойное объединение каждой точки оценки непрерывно. Это превращает двойственное в локально выпуклое топологическое векторное пространство. Эта топология называется слабой * топологией . Возможно, это не единственная естественная топология двойственного пространства; например, двойственное к нормированному пространству имеет определенную естественную норму. Однако он очень важен для приложений из-за его свойств компактности (см. Теорему Банаха – Алаоглу ). Осторожно: всякий раз, когда ненормируемое локально выпуклое пространство, то отображение спаривания никогда не является непрерывным, независимо от того, какую топологию векторного пространства вы выбираете
Характеристики
Для любой ТВС , То выпуклая (соотв. Сбалансировано , disked , замкнутое выпуклое, замкнутое сбалансирован, замкнутое disked ) корпус из это наименьшее подмножество который имеет это свойство и содержит .
Замыкание (соответственно внутренность, выпуклая оболочка , сбалансированная оболочка, дисковая оболочка) множества иногда обозначается как (соотв. , , , ).
Окрестности и открытые наборы
- Свойства окрестностей и открытых множеств
- Открытые выпуклые подмножества ТВС (не обязательно хаусдорфовы или локально выпуклые) - это в точности те, которые имеют вид для некоторых и некоторый положительный непрерывный сублинейный функционал на . [20]
- Если а также открытое подмножество тогда это открытый набор в . [4]
- Если имеет непустую внутреннюю часть, тогда является окрестностью начала координат. [4]
- Если является поглощающей диск в ТВС и если - функционал Минковского отзатем [21]
- Это было не предположить , что имел какие-либо топологические свойства, ни что был непрерывным (что происходит тогда и только тогда, когда является окрестностью 0).
- Каждый TVS подключен [4] и подключен локально . [22] Любое связное открытое подмножество TVS линейно связно .
- Позволять а также быть двумя векторными топологиями на . потом тогда и только тогда, когда сеть в сходится 0 в тогда в . [23]
- Позволять - базис окрестности начала координат в , позволять , и разреши . потом тогда и только тогда, когда существует сеть в (проиндексировано ) такой, что в . [24] [примечание 6]
- Интерьер
- Если имеет непустую внутреннюю часть, тогда а также .
- Если а также имеет непустую внутреннюю часть, тогда .
- Если это диск в имеющий непустую внутренность, то 0 принадлежит внутренности . [25]
- Однако замкнутое сбалансированное подмножествос непустой внутренней частью может не содержать 0 внутри. [25]
- Если является сбалансированным подмножество с непустым интерьером, то сбалансирован; в частности, если внутренность сбалансированного множества содержит начало координат, тосбалансирован. [4] [примечание 7]
- Если принадлежит внутренности выпуклого множества а также , то полуоткрытый отрезок если а также если . [26] Еслиявляется сбалансированной окрестностью в затем, рассматривая пересечения вида (которые являются выпуклыми симметричными окрестностями в реальном TVS ) следует, что:
- , где .
- если а также тогда , , и если тогда .
- Если выпуклый и , тогда . [27]
Нехаусдорфовы пространства и замыкание начала координат
- хаусдорфова тогда и только тогда, когда закрыт в .
- так что каждая окрестность начала координат содержит замыкание .
- является векторным подпространством в и его топология подпространства является тривиальной топологией (что делает компактный).
- Каждое подмножество компактно и, следовательно, полно (см. сноску для доказательства). [доказательство 2] В частности, еслине хаусдорфово, то существуют незамкнутые компактные полные подмножества. [28]
- для каждого подмножества . [доказательство 3]
- Так что если открыт или закрыт в тогда (так представляет собой «трубку» с вертикальной стороной).
- Карта фактор является замкнутым отображением на ТВП Хаусдорфа. [29]
- Подмножество ТВС будет полностью ограничено тогда и только тогда , когдавполне ограничено, [30] тогда и только тогда, когдавполне ограничен [31] [32] тогда и только тогда, когда его образ при каноническом фактор-отображениивполне ограничено. [30]
- Если компактно, то и это множество компактно. Таким образом, замыкание компакта компактно [примечание 8] (т. Е. Все компакты относительно компактны ). [33]
- Векторное подпространство TVS ограничено тогда и только тогда, когда оно содержится в замыкании . [11]
- Если - векторное подпространство ТВП тогда хаусдорфова тогда и только тогда, когда закрыт в .
- Каждое векторное подпространство это алгебраическое дополнение к является топологическим дополнением в. Таким образом, если является алгебраическим дополнением к в затем карта сложения , определяется является TVS-изоморфизмом, где Хаусдорф и имеет недискретную топологию . [34] Более того, еслиявляется хаусдорфовым завершение из тогда является завершением . [30]
Закрытые и компактные наборы
- Компактные и вполне ограниченные множества
- Подмножество TVS компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено . [28]
- Таким образом, в полной TVS замкнутое и вполне ограниченное подмножество компактно. [28]
- Подмножество ТВС будет полностью ограничено тогда и только тогда , когдавполне ограничен [31] [32] тогда и только тогда, когда его образ при каноническом фактор-отображениивполне ограничено. [30]
- Каждый относительно компактный набор вполне ограничен. [28] Замыкание вполне ограниченного множества вполне ограничено. [28]
- Образ вполне ограниченного множества при равномерно непрерывном отображении (например, непрерывном линейном отображении) вполне ограничен. [28]
- Если это компактное подмножество TVS а также открытое подмножество содержащий , то существует окрестность из 0 таких, что . [35]
- Если является подмножеством TVS такая, что каждая последовательность в имеет кластерную точку в тогда вполне ограничено. [30]
- Закрытие и закрытый комплект
- Если а также скаляр, то ; если Хаусдорф, , или же то имеет место равенство: .
- В частности, каждое ненулевое скалярное кратное замкнутого множества замкнуто.
- Если а также тогда выпуклый. [36]
- Если тогда а также . [4] Таким образом, если закрыто, значит, тоже . [36]
- Если и если набор скаляров такой, что ни ни содержат ноль, тогда . [36]
- Замыкание векторного подпространства TVS - это векторное подпространство.
- Если тогда где любой базис окрестности в нуле для . [37]
- Тем не мение, и возможно, что это сдерживание будет правильным [38] (например, если а также - рациональные числа).
- Следует, что для каждого района происхождения в . [39]
- Если это настоящая ТВС и , тогда (заметим, что левая часть не зависит от топологии на ); если является выпуклой окрестностью начала координат, то равенство выполняется.
- Сумма компакта и замкнутого множества замкнута. Однако сумма двух замкнутых подмножеств может не быть замкнутой [4] (см. Эту сноску [примечание 9] для примеров).
- Если является векторным подпространством в а также замкнутая окрестность начала координат в такой, что закрыт в тогда закрыт в . [35]
- Каждое конечномерное векторное подпространство Хаусдорфовой ТВП замкнуто. Сумма замкнутого векторного подпространства и конечномерного векторного подпространства замкнута. [4]
- Закрытые корпуса
- В локально выпуклом пространстве выпуклые оболочки ограниченных множеств ограничены. Это не относится к TVS в целом. [11]
- Замкнутая выпуклая оболочка множества равна замыканию выпуклой оболочки этого множества; то есть равно. [4]
- Закрытый уравновешенный корпус набора равен закрытию сбалансированного корпуса этого набора; то есть равно. [4]
- Закрытый дисковый корпус набора равен закрытию дискового корпуса этого набора; то есть равно. [4]
- Если и замкнутая выпуклая оболочка одного из множеств или же компактно, то . [4]
- Если у каждого есть замкнутая выпуклая оболочка, компактная (т. е. а также компактны), то .
- Корпуса и компактность
- В общем TVS замкнутая выпуклая оболочка компакта может не быть компактной.
- Уравновешенная оболочка компактного (соответственно вполне ограниченного ) множества обладает тем же свойством. [4]
- Выпуклая оболочка конечного объединения компактных выпуклых множеств снова компактна и выпукла. [4]
Прочие свойства
- Скудный, нигде не плотный, и Бэр
- Диск в ТВС не является нигде не плотным тогда и только тогда , когда его замыкание есть окрестность начала координат. [7]
- Векторное подпространство ТВП, которое закрыто, но не открыто, нигде не плотно . [7]
- Предполагать представляет собой TVS, не имеющую недискретной топологии . потомявляется пространством Бэра тогда и только тогда, когдане имеет сбалансированного поглощающего нигде не плотного подмножества. [7]
- ТВС является пространством Бэра тогда и только тогда, когда не является скромным , что происходит тогда и только тогда, когда не существует нигде не плотного множества такой, что . [7]
- Всякая локально выпуклая TVS, не ограниченная по размерам, представляет собой бочкообразное пространство . [7]
- Важные алгебраические факты и распространенные заблуждения
- Если тогда ; если выпукло, то имеет место равенство.
- Для примера, когда равенство не выполняется, пусть быть ненулевым и установить ; тоже работает.
- Подмножество выпукло тогда и только тогда, когда для всего позитивного реального а также [40]
- Дисковый корпус комплекта равна выпуклой оболочке сбалансированной оболочки ; то есть равно. Однако в целом
- Если а также скаляр, то а также а также [4]
- Если выпуклые непустые непересекающиеся множества и тогда или же
- В любом нетривиальном векторном пространстве существуют два непересекающихся непустых выпуклых подмножества, объединение которых
- Прочие свойства
- Каждая TVS топология может быть порождена семьей из F -seminorms. [41]
Свойства, сохраняемые операторами множества
- Уравновешенная оболочка компактного (соответственно вполне ограниченного и открытого) множества обладает тем же свойством. [4]
- Сумма (Минковского) двух компактных (соответственно ограниченных, сбалансированных, выпуклых) множеств обладает тем же свойством. [4] Но сумма двух замкнутых множеств не должна быть замкнутой.
- Выпуклая оболочка сбалансированного (соответственно открытого) множества сбалансирована (соответственно открыта). Однако выпуклая оболочка замкнутого множества не должна быть замкнутой. [4] И выпуклая оболочка ограниченного множества не обязательно должна быть ограниченной.
В следующей таблице цвет каждой ячейки указывает, действительно ли данное свойство подмножеств (обозначается именем столбца, например, «выпуклый») сохраняется под оператором множества (обозначается именем строки, например, «закрытие»). Если в каждой TVS свойство сохраняется под указанным оператором множества, тогда эта ячейка будет окрашена в зеленый цвет; в противном случае он будет окрашен в красный цвет.
Так, например, поскольку объединение двух поглощающих наборов снова поглощает, ячейка в ряду "»и столбец« Поглощение »окрашен в зеленый цвет. Но поскольку произвольное пересечение поглощающих множеств не обязательно должно быть поглощающим, ячейка в строке« Произвольные пересечения (не менее 1 набора) »и столбце« Поглощение »окрашена в красный цвет. не окрашен, значит, эта информация еще не введена.
Операция | Собственностью , , и любые другие подмножества это считается | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Впитывающий | Сбалансированный | Выпуклый | Симметричный | Выпуклый сбалансированный | Векторное подпространство | Открыть | Окрестности 0 | Закрыто | Закрытый сбалансированный | Закрытый выпуклый | Закрытый Выпуклый Сбалансированный | Бочка | Замкнутое векторное подпространство | Полностью ограниченный | Компактный | Компактный выпуклый | Относительно компактный | Полный | Последовательно завершено | Банаховый диск | Ограниченный | Рожденные | Инфрабоядные | Нигде не плотно (в) | Скудный | Отделяемый | Псевдометризуемый | Операция | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
возрастающей не-цепи | возрастающей не-цепи | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Произвольные союзы (не менее 1 комплекта) | Произвольные союзы (не менее 1 комплекта) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уменьшения не- цепь | уменьшения не- цепь | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Произвольные пересечения (не менее 1 набора) | Произвольные пересечения (не менее 1 набора) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Скалярное множественное | Скалярное множественное | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ненулевое скалярное кратное | Ненулевое скалярное кратное | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Положительное скалярное кратное | Положительное скалярное кратное | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Закрытие | Закрытие | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Интерьер | Интерьер | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сбалансированное ядро | Сбалансированное ядро | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сбалансированный корпус | Сбалансированный корпус | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Выпуклый корпус | Выпуклый корпус | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Выпуклый сбалансированный корпус | Выпуклый сбалансированный корпус | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Закрытый сбалансированный корпус | Закрытый сбалансированный корпус | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замкнутая выпуклая оболочка | Замкнутая выпуклая оболочка | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Закрытый выпуклый сбалансированный корпус | Закрытый выпуклый сбалансированный корпус | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Линейный пролет | Линейный пролет | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Прообраз под непрерывной линейной картой | Прообраз под непрерывной линейной картой | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Изображение под сплошной линейной картой | Изображение под сплошной линейной картой | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Изображение под непрерывной линейной сюръекцией | Изображение под непрерывной линейной сюръекцией | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Непустое подмножество | Непустое подмножество | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Операция | Впитывающий | Сбалансированный | Выпуклый | Симметричный | Выпуклый сбалансированный | Векторное подпространство | Открыть | Окрестности 0 | Закрыто | Закрытый сбалансированный | Закрытый выпуклый | Закрытый Выпуклый Сбалансированный | Бочка | Замкнутое векторное подпространство | Полностью ограниченный | Компактный | Компактный выпуклый | Относительно компактный | Полный | Последовательно завершено | Банаховый диск | Ограниченный | Рожденные | Инфрабоядные | Нигде не плотно (в) | Скудный | Отделяемый | Псевдометризуемый | Операция |
Смотрите также
- Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство
- Гильбертово пространство - математическое обобщение евклидова пространства до бесконечных измерений
- Нормированное пространство
- Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
- Топологическая группа - группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
- Векторное пространство - Базовая алгебраическая структура линейной алгебры
Заметки
- ^ Топологические свойства, конечно, также требуют, чтобы быть ТВС.
- ^ В частности, хаусдорфово тогда и только тогда, когда множество закрыто (т. е. является пространством T 1 ).
- ^ Фактически, это верно для топологической группы, поскольку в доказательстве не используются скалярные умножения.
- ^ Также называется метрическим линейным пространством , что означает, что это вещественное или комплексное векторное пространство вместе с инвариантной относительно сдвига метрикой, для которой сложение и скалярное умножение непрерывны.
- ^ Серияговорят, сходится в TVS если последовательность частичных сумм сходится.
- ^ Это показывает, в частности, что часто бывает достаточно рассматривать сети, индексированные базисом окрестности начала координат, а не сети на произвольных направленных множествах.
- ^ Если внутренняя часть сбалансированного набора непуста, но не содержит начала координат (такие наборы существуют даже в а также ), то внутренняя часть этого множества не может быть сбалансированным множеством.
- ^ В общей топологии замыкание компактного подмножества нехаусдорфового пространства может не быть компактным (например, конкретная точечная топология на бесконечном множестве). Этот результат показывает, что этого не происходит в нехаусдорфовых ТВП. компактно, потому что это образ компакта под картой непрерывного сложения . Напомним также, что сумма компакта (т.е.) и замкнутое множество замкнуто, поэтому закрыт в .
- ^ В, сумма ось и график , который является дополнением -ось, открыта в В , сумма а также счетное плотное подмножество так не закрыто в .
- ^ Это условие выполняется, если обозначает множество всех топологических строк в
- ^ Посколькуимеет тривиальную топологию, как и каждое из его подмножеств, что делает их все компактными. Известно, что подмножество любого равномерного пространства компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
- ^ Если тогда . Так как, если замкнуто, то имеет место равенство. Ясно, что дополнение любого множества удовлетворяющий равенству также должно удовлетворять этому равенству.
Рекомендации
- ^ a b c Кёте 1969 , стр. 91.
- ↑ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 74–78.
- ^ a b c Wilansky 2013 , стр. 40-47.
- ^ Б с д е е г ч я J к л м п о р д т ы т у Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 67-113.
- ^ a b c d e Adasch, Ernst & Keim 1978 , стр. 5-9.
- ^ Шехтер 1996 , стр. 721-751.
- ^ a b c d e f Narici & Beckenstein 2011 , стр. 371-423.
- ^ Adasch, Ernst & Кейм 1978 , стр. 10-15.
- ^ Wilansky 2013 , стр. 53.
- Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 8.
- ^ a b c d e Narici & Beckenstein 2011 , стр. 155-176.
- ^ Кйте 1983 , раздел 15.11.
- ^ "Топологическое векторное пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994] , получено 26 февраля 2021 г.
- ↑ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 12-19.
- ^ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 16.
- ^ a b c Narici & Beckenstein 2011 , стр. 115-154.
- ^ Сварц 1992 , стр. 27-29.
- ^ «Быстрое применение теоремы о замкнутом графике» . Что нового . 2016-04-22 . Проверено 7 октября 2020 .
- ^ a b Narici & Beckenstein 2011 , стр. 111.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 177-220.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 119-120.
- ^ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 35.
- ^ Wilansky 2013 , стр. 43.
- ^ Wilansky 2013 , стр. 42.
- ^ a b Narici & Beckenstein 2011 , стр. 108.
- ^ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 38.
- ^ Jarchow 1981 , стр. 101-104.
- ^ a b c d e f Narici & Beckenstein 2011 , стр. 47-66.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 107-112.
- ↑ a b c d e Schaefer & Wolff 1999 , стр. 12-35.
- ^ a b Schaefer & Wolff 1999 , стр. 25.
- ^ a b Jarchow 1981 , стр. 56-73.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 156.
- ^ Wilansky 2013 , стр. 63.
- ^ a b Narici & Beckenstein 2011 , стр. 19-45.
- ^ a b c Wilansky 2013 , стр. 43-44.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 80.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 108-109.
- ^ Jarchow 1981 , стр. 30-32.
- Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 38.
- ^ Сварц 1992 , стр. 35.
Библиография
- Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. 639 . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
- Бирстедт, Клаус-Дитер (1988). Введение в локально выпуклые индуктивные пределы . Функциональный анализ и приложения . Сингапур-Нью-Джерси-Гонконг: Universitätsbibliothek. С. 35–133. Руководство по ремонту 0046004 . Проверено 20 сентября 2020 года .
- Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
- Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика . 1 . Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC 18412261 .
- Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
- Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
- Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряд Аддисона-Уэсли по математике. 1 . Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
- Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Кете, Готфрид (1983). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту 0248498 . OCLC 840293704 .
- Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства. II . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 237 . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972 .
- Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-642-64990-5.
- Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Ридинг, Массачусетс - Лондон - Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 0-201-04166-9.
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Робертсон, AP; Робертсон, WJ (1964). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. 53 . Издательство Кембриджского университета .
- Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . 53 . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
- Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Вальдивия, Мануэль (1982). Начбин, Леопольдо (ред.). Темы в локально выпуклых пространствах . 67 . Амстердам Нью-Йорк, Нью-Йорк: научный паб Elsevier . Co. ISBN 978-0-08-087178-3. OCLC 316568534 .
- Войт, Юрген (2020). Курс топологических векторных пространств . Компактные учебники по математике. Cham: Birkhäuser Basel . ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC 1145563701 .
- Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с топологическими векторными пространствами на Викискладе?