Фильтры в топологии

Решетка powerset набора с верхним набором окрашена в темно-зеленый цвет. Это фильтр и даже главный фильтр . Это не ультрафильтр , так как его можно расширить до более крупного нетривиального фильтра , включив также светло-зеленые элементы. Поскольку не может быть расширен дальше, это ультрафильтр.${\ Displaystyle X: = \ {1,2,3,4 \},}$ ${\ displaystyle \ {1,4 \} ^ {\ uparrow X}}$${\ Displaystyle \ {1 \} ^ {\ uparrow X}}$${\ Displaystyle \ {1 \} ^ {\ uparrow X}}$

В топологии , в подполе математики , фильтры специальные семьи из подмножеств некоторого множества , которые могут быть использованы для изучения топологических пространств и определить все основные топологические понятия , такие сходимость, непрерывность , компактность , и многое другое. Фильтры также обеспечивают общую основу для определения различных типов ограничений функций, таких как пределы слева / справа, до бесконечности, до точки или набора и многих других. Специальные типы фильтров, называемые ультрафильтрами, обладают множеством полезных технических свойств, и их часто можно использовать вместо произвольных фильтров. ${\ displaystyle X}$

Фильтры имеют обобщения, называемые предварительными фильтрами (также известные как базы фильтров ) и суббазами фильтров , которые естественным образом и неоднократно появляются в топологии. Примеры включают фильтры / основания / подосновы соседства и однородности . Каждый фильтр является предварительным фильтром, и оба являются суббазами фильтров. Каждый предварительный фильтр и суббаза фильтров содержится в уникальном наименьшем фильтре, который они, как говорят, генерируют . Это устанавливает взаимосвязь между фильтрами и предварительными фильтрами, которые часто можно использовать, чтобы позволить использовать то из этих двух понятий, которое более технически удобно. предзаказ ${\ Displaystyle \, \ Leq \,}$по семействам наборов помогает точно определить, когда и как одно понятие (фильтр, предварительный фильтр и т. д.) может или не может использоваться вместо другого. Важность этого предварительного заказа усиливается тем фактом, что он определяет понятие сходимости фильтра, где по определению фильтр (или предварительный фильтр) сходится к точке тогда и только тогда, когда где находится фильтр окрестности этой точки . Следовательно, подчинение также играет важную роль во многих концепциях, связанных с конвергенцией, таких как точки кластера и пределы функций. Кроме того, отношение, которое обозначает и выражается словами, что является подчиненным, также устанавливает отношение, в котором должно быть${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} \ leq {\ mathcal {B}},}$${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} \ geq {\ mathcal {B}},}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}},}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$поскольку подпоследовательность относится к последовательности (то есть отношение, которое называется подчинением , является для фильтров аналогом «является подпоследовательностью»). ${\ displaystyle \ geq,}$

Фильтры были введены Анри Картаном в 1937 году ^{[1] [2]} и впоследствии использованы Бурбаки в их книге Topologie Générale в качестве альтернативы аналогичному понятию сети, разработанной в 1922 году Э. Муром и Х. Л. Смитом . Фильтры также могут использоваться для характеристики понятий последовательности и сетевой конвергенции. Но в отличие от ^{[примечания 1]} сходимости последовательностей и сетей, сходимость фильтров полностью определяется в терминах подмножеств топологического пространства.${\ displaystyle X}$таким образом, он обеспечивает понятие сходимости, которое полностью присуще топологическому пространству. Каждая сеть индуцирует канонический фильтр, и вдвойне каждый фильтр индуцирует каноническую сеть, где эта индуцированная сеть (соответственно индуцированный фильтр) сходится к точке тогда и только тогда, когда то же самое верно для исходного фильтра (соответственно сети). Эта характеристика также верна для многих других определений, таких как точки скопления . Эти отношения позволяют переключаться между фильтрами и цепями, и они часто также позволяют выбрать, какое из этих двух понятий (фильтр или сеть) более удобно для решения рассматриваемой задачи. Однако в целом эта связь не распространяется на подчиненные фильтры и подсети, поскольку, как подробно описано ниже, существуют подчиненные фильтры, чьи отношения фильтр / подчиненный-фильтр не могут быть описаны в терминах соответствующего отношения сеть / подсеть (здесь предполагается, что «подсеть» определяется с использованием любого из его наиболее популярных определений, которые приведены в этой статье) .

Мотивация [ править ]

Типичный пример фильтра

Архитипичный пример фильтра является фильтр окрестностей в точке в топологическом пространстве , которое , по определению , представляет собой семейство множеств , состоящие из всех районов определения By, в окрестностях некоторой заданной точки (или подмножества) является любым подмножеством которого топологической интерьер содержит эта точка (или подмножество); что важно, окрестности не обязательно должны быть открытыми множествами (они называются открытыми окрестностями ). Основные свойства, присущие фильтрам соседства, перечисленные ниже, в конечном итоге стали определением «фильтра». Фильтр на это набор${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (х)}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle (Х, \ тау),}$${\ displaystyle x.}$${\ Displaystyle N \ substeq X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$подмножеств этого удовлетворяет всем следующим условиям: ${\ displaystyle X}$

1. Не пусто :    - так же , как так всегда (открытая) окрестность (и все остальное , что она содержит);${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle X \ in {\ mathcal {N}} (х),}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$
2. Не содержит пустого множества :    - так же, как ни одна окрестность не пуста;${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle x}$
3. Замкнутый относительно конечных пересечений : Если то  - точно так же, как пересечение любых двух окрестностей снова является окрестностью ;${\ displaystyle B, C \ in {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle B \ cap C \ in {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$
4. Закрыто вверх : если и затем  - точно так же, как любое подмножество, которое содержит окрестность , обязательно будет окрестностью (потому что и по определению «окрестности »).${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle B \ substeq S \ substeq X}$${\ displaystyle S \ in {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ operatorname {Int} _ {X} B \ substeq \ operatorname {Int} _ {X} S}$${\ displaystyle x}$

Обобщение сходимости последовательностей с помощью наборов - определение сходимости последовательностей без последовательности

Последовательность в${\ displaystyle X}$ по определению является отображение из натуральных чисел , которые являются примером направленного множества , в пространство Оригинального понятие сходимости в топологическом пространстве было то , что из последовательности , сходящейся к некоторой заданной точке в пространстве, например, метрическое пространство . В метризуемых пространствах (или, в более общем смысле, пространствах с первым счетом или пространствах Фреше – Урысона ) последовательностей обычно достаточно, чтобы охарактеризовать или «описать» большинство топологических свойств, таких как замыкание подмножеств или непрерывность функций. Но есть много мест, где последовательности могут${\ displaystyle \ mathbb {N} \ to X}$${\displaystyle X.}$не может использоваться для описания даже основных топологических свойств, таких как замкнутость или непрерывность. Этот отказ последовательностей был мотивацией для определения таких понятий, как сети и фильтры, которые никогда не перестают характеризовать топологические свойства.

Сети напрямую обобщают понятие последовательности, поскольку сети по определению являются отображением произвольного направленного множества в пространство . Последовательность - это просто сеть, область определения которой имеет естественный порядок. У сетей есть собственное понятие сходимости, которое является прямым обобщением сходимости последовательностей. ${\displaystyle I\to X}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle I=\mathbb {N} }$

Фильтры по-другому обобщают сходимость последовательностей, рассматривая только значения в диапазоне последовательности. Чтобы увидеть , как это делается, рассмотрим последовательность , в которой по определению является просто карта , значение которой обозначается , а не нотации скобки , который обычно используется для произвольных функций. Знания только диапазона последовательности недостаточно, чтобы описать ее сходимость; необходимо несколько наборов. Оказывается, необходимы следующие множества ^{[примечание 2],} которые называются хвостами последовательности :${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{\bullet }(i)}$${\displaystyle x_{\bullet }}$

${\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots \right\}}$

${\displaystyle \left\{x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},\ldots \right\}}$

${\displaystyle \left\{x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},\ldots \right\}}$

${\displaystyle ~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots }$

${\displaystyle \left\{x_{n},x_{n+1},x_{n+2},x_{n+3},\ldots \right\}}$

${\displaystyle ~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots }$

Эти множества полностью определяют сходимость (или несходимость) этой последовательности, потому что для любой точки эта последовательность сходится к ней тогда и только тогда, когда для каждой окрестности (этой точки) существует некоторое целое число, такое, что содержит все точки. Это может быть перефразировано как: ${\displaystyle U}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{n},x_{n+1},\ldots .}$

каждая окрестность должна содержать некоторый набор формы как подмножество.${\displaystyle U}$${\displaystyle \{x_{n},x_{n+1},\ldots \}}$

Это указанная выше характеристика, которую можно использовать с указанным выше семейством хвостов для определения сходимости (или несходимости) последовательности. Имея в руках эти наборы , карта больше не требуется для определения сходимости этой последовательности (независимо от того, какая топология размещен на ). Обобщая это наблюдение, понятие «сходимость» можно распространить с отображений на семейства множеств. ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$${\displaystyle X}$

Вышеупомянутый набор хвостов последовательности, как правило, не является фильтром, но он « генерирует » фильтр, принимая его закрытие вверх . То же самое верно и для других важных семейств множеств, таких как любой базис соседства в данной точке, который, как правило, также не является фильтром, но генерирует фильтр через его восходящее замыкание (в частности, он генерирует фильтр соседства в этой точке) . Свойства , которые эти семейства привело к понятию фильтра основания , также называемым предфильтр , который по определению является любой семьей минимальных свойств , необходимыми и достаточными для того , чтобы создать фильтр с помощью принимая его вверх закрытие только .

Сети против фильтров - преимущества и недостатки

У фильтров и сетей есть свои преимущества и недостатки, и нет причин использовать одно понятие исключительно над другим. ^{[примечание 3]} В зависимости от того, что доказывается, доказательство может быть значительно упрощено, если использовать одно из этих понятий вместо другого. ^[3] И фильтры, и сети могут использоваться для полной характеристики любой заданной топологии . Сети являются прямым обобщением последовательностей и часто могут использоваться аналогично последовательностям, поэтому кривая обучения для сетей обычно гораздо менее крутая, чем для фильтров. Однако фильтры, и особенно ультрафильтры , имеют гораздо больше применений за пределами топологии, например, в теории множеств , математической логике , теории моделей.(например , Ультрапроизведение ), абстрактная алгебра , ^[4] теория порядка , обобщенные пространства сходимости , Коши пространство , а также в определении и использовании гипердействительных чисел .

Как и последовательности, сети - это функции, и поэтому они обладают преимуществами функций . Например, как и последовательности, сети могут быть «подключены» к другим функциям, где «подключение» - это просто композиция функций . Затем к сетям могут быть применены теоремы, относящиеся к функциям и композиции функций. Одним из примеров является универсальное свойство обратных пределов , которое определяется в терминах композиции карт, а не наборов, и его легче применять к функциям, таким как сети, чем к множествам, подобным фильтрам (ярким примером обратного предела является декартово произведение ) . Использование фильтров может быть неудобным в определенных ситуациях, например, при переключении между фильтром в пространстве и плотном подпространстве.${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X.}$^[5]

В отличие от сетей, фильтры (и предварительные фильтры) представляют собой семейства наборов, и поэтому они обладают преимуществами наборов . Например, если сюръективен, то прообраз или откат произвольного фильтра или предварительного фильтра легко определяется и гарантированно является предварительным фильтром , тогда как менее ясно, как определить откат произвольной последовательности (или сети), чтобы он был еще раз последовательность или сеть (если не является также инъективным и, следовательно, биекцией, что является строгим требованием). Поскольку фильтры состоят из подмножеств самого рассматриваемого топологического пространства , операции над топологическими множествами (такие как замыкание или${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}):=\left\{f^{-1}(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$inner ) может применяться к наборам, составляющим фильтр. Замыкание всех наборов в фильтре иногда полезно, например, в функциональном анализе . Теоремы об изображениях или прообразах множеств под функциями (например , определения непрерывности в терминах образов или прообразов множеств) также могут применяться к фильтрам. Специальные типы фильтров, называемые ультрафильтрами, обладают множеством полезных свойств, которые могут существенно помочь в получении результатов. Обратной стороной сетей является их зависимость от направленных множеств, составляющих их области, которые в общем случае могут быть совершенно не связаны с пространством. Фактически, класс сетей в данном наборе слишком велик, чтобы даже быть набором (это собственно класс${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$); это потому, что сети могут иметь домены любой мощности . Напротив, совокупность всех включенных фильтров (и всех предварительных фильтров) является набором, мощность которого не больше, чем у цепей и последовательностей, понятия "включенный фильтр " и "топология включенного " являются "внутренними". to "в том смысле, что оба состоят полностью из подмножеств и не требуют какого-либо набора, из которого нельзя построить (например, или других направленных наборов, которые требуются для последовательностей и сетей).${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ℘ ( ℘ ( X ) ) . {\displaystyle \wp (\wp (X)).} ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

Предварительные сведения, обозначения и основные понятия [ править ]

В этой статье, прописные буквы латинского алфавита , как и наборы обозначают (но не семьи , если не указано иное) и обозначим Powerset из подмножества Powerset называется в семейство множеств (или просто, семья ) , где более если это является подмножеством . Семейства наборов будут обозначаться каллиграфическими буквами в верхнем регистре, такими как и. Когда требуются эти предположения, следует предполагать, что они непусты, и что и т. Д. Являются семействами наборов над${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$${\displaystyle X.}$

Термины «предварительный фильтр» и «основа фильтра» являются синонимами и будут использоваться как синонимы.

Предупреждение о конкурирующих определениях и обозначениях

К сожалению, в теории фильтров есть несколько терминов, которые разные авторы определяют по-разному. К ним относятся некоторые из наиболее важных терминов, такие как «фильтр». Хотя разные определения одного и того же термина обычно в значительной степени пересекаются из-за очень технической природы фильтров (и топологии точек), эти различия в определениях, тем не менее, часто имеют важные последствия. При чтении математической литературы читателям рекомендуется проверить, как автор определяет терминологию, относящуюся к фильтрам. По этой причине в этой статье будут четко указаны все определения, которые используются в этой статье. К сожалению, не все обозначения, относящиеся к фильтрам, хорошо известны, и некоторые обозначения сильно различаются в литературе (например,обозначение для набора всех предварительных фильтров в наборе), поэтому в таких случаях в этой статье используются любые обозначения, которые наиболее легко описываются или легко запоминаются.

Теория фильтров и предварительных фильтров хорошо разработана и имеет множество определений и обозначений, многие из которых теперь бесцеремонно перечислены, чтобы эта статья не стала многословной и чтобы облегчить поиск обозначений и определений. Их важные свойства описаны позже.

Устанавливает операции

Вверх замыкание или изотонизации в ^{[6] [7]} в А семейство подмножеств является${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\left\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\,\right\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\left\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\right\}}$

и точно так же вниз закрытие из IS${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\left\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\right\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\wp (B).}$

Обозначения и определение	Предположения	Имя
${\displaystyle \operatorname {ker} {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B}$		Ядро из [7]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
${\displaystyle \wp (X)=\{S~:~S\subseteq X\}}$		Силовой комплект из набора [7]${\displaystyle X}$
${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:=\left\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\right\}={\mathcal {B}}(\cap )\{S\}}$	${\displaystyle S}$ это набор	След на ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle S}$[8] или ограничение на${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle S}$
${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}=\left\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\right\}}$[9]		Поэлементное ( заданное ) пересечение ( обозначим обычное пересечение)${\displaystyle {\mathcal {B}}\cap {\mathcal {C}}}$
${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cup ){\mathcal {C}}=\left\{B\cup C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\right\}}$[9]		Поэлементное ( множественное ) объединение ( будем обозначать обычное объединение)${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup {\mathcal {C}}}$
${\displaystyle {\mathcal {B}}(\setminus ){\mathcal {C}}=\left\{B\setminus C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\right\}}$		Поэлементное ( множественное ) вычитание ( будет обозначать обычное вычитание множества)${\displaystyle {\mathcal {B}}\setminus {\mathcal {C}}}$
${\displaystyle S\setminus {\mathcal {B}}:=\left\{S\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\right\}=\{S\}(\setminus ){\mathcal {B}}}$	${\displaystyle S}$ это набор	Двойной из в${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle S}$ или набор вычитания [8]
${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#X}={\mathcal {B}}^{\#}=\{S\subseteq X~:~S\cap B\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}\}}$		Гриль в ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X.}$[10]

Предзаказ определяется на семейств множеств, говорят , и , заявив , что , если и только если для каждого есть некоторые такие , что в этом случае говорят , что это грубее , чем это тоньше , чем (или подчиненный ) ^{[11] [12] [ 13]} и может быть написано. Два семейства и сеток множеств ^[8], если для всех и${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}},}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle F\subseteq C}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing }$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$

Повсюду - карта. ${\displaystyle f}$

Обозначения и определение	Предположения	Имя
${\displaystyle f^{-1}\left({\mathcal {B}}\right)=\left\{f^{-1}(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\right\}}$		Прообраз${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ниже [14]${\displaystyle f}$
${\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in \operatorname {domain} f~:~f(x)\in S\right\}}$	${\displaystyle S}$ - произвольное множество.	Прообраз в Under${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$
${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)=\{f(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\}}$		Изображение${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ниже [14]${\displaystyle f}$
${\displaystyle f(S)=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}}$	${\displaystyle S}$ - произвольное множество.	Изображение под${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$
${\displaystyle \operatorname {image} f=f\left(\operatorname {domain} f\right)}$		изображение из${\displaystyle f.}$

Обозначение топологии

Множество всех топологий обозначим . Предположим, есть топология на${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Top} (X)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X.}$

Обозначения и определение	Предположения	Имя
${\displaystyle \tau (S)=\left\{O\in \tau ~:~S\subseteq O\right\}}$	${\displaystyle S\subseteq X}$	Установить или предфильтр [примечание 4] из открытых окрестностей в в${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau ).}$
${\displaystyle \tau (x)=\left\{O\in \tau ~:~x\in O\right\}}$	${\displaystyle x\in X}$	Установить или предфильтр открытых окрестностей в в${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$
${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(S)={\mathcal {N}}(S):=\tau (S)^{\uparrow X}}$	${\displaystyle S\subseteq X}$	Установить или фильтр [примечание 4] из окрестностей из в${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau ).}$
${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(x)={\mathcal {N}}(x):=\tau (x)^{\uparrow X}}$	${\displaystyle x\in X}$	Установить или фильтр окрестностей из в${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

Если тогда и${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq X}$${\displaystyle \tau (S)=\bigcap _{s\in S}\tau (s)}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(S)=\bigcap _{s\in S}{\mathcal {N}}_{\tau }(s).}$

Сети и их хвосты

Направленное множество представляет собой набор вместе с предпорядком , который будет обозначать (если явно указаны иным), что составляет в ( вверх ) направленном множество ; ^[15] это означает , что для всех существует некоторые такие , что и для любых индексов и обозначения в данном контексте означает время в данном контексте означает , что имеет место , но это не верно , что (если это антисимметричное , то это равносильно тому , и ).${\displaystyle I}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle (I,\leq )}$${\displaystyle i,j\in I,}$${\displaystyle k\in I}$${\displaystyle i\leq k}$${\displaystyle j\leq k.}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j,}$${\displaystyle j\geq i}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle i<j}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle j\leq i}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle i\neq j}$

Сетка в ${\displaystyle X}$^[15] представляет собой карту из непустого направленного множества в${\displaystyle X.}$

Обозначения и определение	Предположения	Имя
${\displaystyle I_{\geq i}=\left\{j\in I~:~i\leq j\right\}}$	${\displaystyle i\in I}$и является направленным множеством${\displaystyle (I,\leq )}$	Хвост или секция старта в${\displaystyle I}$${\displaystyle i}$
${\displaystyle f\left(I_{\geq i}\right)=\left\{f(j)~:~i\leq j{\text{ and }}j\in I\right\}}$	${\displaystyle i\in I}$и это сеть${\displaystyle f~:~(I,\leq )\to X}$	Хвост или участок , начиная с ${\displaystyle f}$${\displaystyle i}$[16]
${\displaystyle x_{\geq i}=\left\{x_{j}\in I~:~i\leq j{\text{ and }}j\in I\right\}}$	${\displaystyle i\in I}$и это сеть${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$	Хвост или секция старта в${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle i}$
${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=x_{\geq \bullet }=\left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$	${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ это сеть	Набор или предфильтр хвостов / секции из Также называются основание фильтра случайности , генерируемое (хвосты) Если последовательность затем называются последовательной база фильтра вместо этого. [16]${\displaystyle x_{\bullet }.}$${\displaystyle x_{\bullet }.}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$
${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(x_{\bullet }\right)=\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)^{\uparrow X}}$	${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ это сеть	( Возможности ) фильтр /, созданный (хвостами) [16]${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Предупреждение об использовании строгого сравнения

Если это чистый и тогда можно для набора , который называется хвост после того , чтобы быть пустым (например , это происходит , если это верхняя граница по направленному множеству ). В этом случае семейство будет содержать пустой набор, который не позволит ему быть предварительным фильтром (определенным позже). Это (важная) причина для определения как, а не или даже, и именно по этой причине, в общем, при работе с предварительным фильтром хвостов сети строгое неравенство не может использоваться как взаимозаменяемое с неравенством${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle x_{>i}=\left\{x_{j}\in I~:~i>j{\text{ and }}j\in I\right\},}$${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$${\displaystyle \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}\cup \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle \,\leq .}$

Фильтры и предварительные фильтры [ править ]

Ниже приводится список свойств, которыми может обладать семейство наборов, которые формируют определяющие свойства фильтров, предварительных фильтров и подбазов фильтров. Когда это необходимо, следует предполагать, что${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).}$

Семейство наборов :${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Собственный или невырожденный, если Иначе, если тогда он называется несобственным ^[17] или вырожденным .${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}},}$
2. Направлено вниз ^[15], если когда-либотогда существуеттакое, что${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle C\subseteq A\cap B.}$
   • В качестве альтернативы, направленный вниз (соответственно, направленный вверх ) тогда и только тогда, когда он (вверх) направлен по отношению к предварительному порядку (соответственно ), где по определению это означает, что для всех существует некоторый «больший» такой, что и (соответственно. такие, что и ), которые можно переписать как (соответственно ). Это объясняет слово «направленный».${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle A\supseteq C}$${\displaystyle B\supseteq C}$${\displaystyle A\subseteq C}$${\displaystyle B\subseteq C}$${\displaystyle A\cap B\supseteq C}$${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$
   • Если семья имеет наибольший элемент относительно (например, если ) , то он обязательно направлен вниз.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \,\supseteq \,}$${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}}$
3. Замкнут относительно конечных пересечений (соответственно. Объединения ) , если пересечение (соответственно объединение) любых двух элементов является элементом${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
   • Если замкнуто относительно конечных пересечений, то обязательно направлено вниз. Обратное обычно неверно.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
4. Восходящий закрыты или Изотон в ^[6] , еслии, илиэквивалентно, если всякий разкогда иудовлетворяетзатемАналогичным,будет вниз закрыт , еслиснизу вверх (соответственно, вниз) замкнутое множество также называется верхним множеством или расстроен (соответственно. Нижний набор или вниз набор ).${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B\subseteq C\subseteq X}$${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\downarrow }.}$
   • Семейство, которое является замыканием вверх для in, является единственным наименьшим (по отношению к ) изотонным семейством множеств, имеющим в качестве подмножества.${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \,\subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Многие из свойств, определенных выше (и ниже), такие как «правильный» и «направленный вниз», не зависят от этого, поэтому упоминание набора является необязательным при использовании таких терминов. Определения, связанные с «закрытием вверх », например, с «фильтром по », зависят от этого, поэтому следует упомянуть набор , если он не ясен из контекста.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Ультрафильтры ( X )  =  Фильтры ( X )  ∩  UltraPrefilters ( X )  ⊆  Фильтры ( X )  ∪  UltraPrefilters ( X )  ⊆  Предварительные фильтры ( X )  ⊆  FilterSubbases ( X ) .

Семья есть / есть (п):${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Идеально ^{[17] [18],} еслизамкнуто вниз и замкнуто относительно конечных объединений.${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$
2. Двойственный идеал на ^[19], если замкнут вверх в, а также замкнут относительно конечных пересечений. Эквивалентно, является двойственным идеалом, если для всех подмножеств тогда и только тогда, когда ^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle R,S\in {\mathcal {B}}.}$
   • Объяснение слова «двойного»: семейство представляет собой двойной идеал на (соответственно идеал.) Тогда и только тогда , когда сопряженные в котором находится семья${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X,}$

   ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}=\{X\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$

   является идеалом (или двойственным идеалом) на «Семейство» не следует путать с где в целом . Двойственное к двойственному - это исходное семейство, то есть ; а также принадлежит к двойственному тогда и только тогда, когда ^[17]${\displaystyle X.}$${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \wp (X)\setminus {\mathcal {B}}=\{S\subseteq X~:~S\notin {\mathcal {B}}\},}$${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}\neq \wp (X)\setminus {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle X\setminus (X\setminus {\mathcal {B}})={\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}.}$

3. Фильтр на ^{[19] [8],} еслиэто собственный дуальный идеал наТо есть, фильтр наявляется непустым подмножеством, которое закрыто относительно конечных пересечений и закрыто вверх вЭквивалентно, это предварительный фильтр, который закрыт вверх вIn словами, фильтр на- это семейство множеств, надкоторыми (1) не пусто (или, что то же самое, оно содержит), (2) замкнуто относительно конечных пересечений, (3) замкнуто вверх ви (4) не имеет пустой набор как элемент. ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp (X)\setminus \{\varnothing \}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$
   • Предупреждение : некоторые авторы, особенно алгебры, используют «фильтр» для обозначения двойственного идеала; другие, особенно топологи, используют «фильтр» для обозначения правильного двойственного идеала. ^[20] Читателям рекомендуется всегда проверять, как определяется «фильтр», при чтении математической литературы. В этой статье используется оригинальное определение фильтра Анри Картана , которое требовало корректности.
   • ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является фильтром тогда и только тогда, когда его двойственный идеал не содержится в качестве элемента. Если идеал на котором удовлетворяет, то он называется двойственным фильтром на${\displaystyle X}$${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\not \in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X.}$
4. Предварительный фильтр или основание фильтра ^{[8] [21],} если оно правильное и направлено вниз. Эквивалентно, это предварительный фильтр, если его закрытие вверх является фильтром. Его также можно определить как любое семейство, эквивалентное (относительно ) некоторому фильтру. ^[9] Правильное семейство является предварительным фильтром тогда и только тогда, когда ^[9]${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • Если это предфильтр то его вверх закрытия является единственным наименьшим (относительно ) фильтра на содержащие и это называется фильтр , порожденный фильтром А, как говорят, генерируется предфильтр , если , в котором называется фильтр базой для${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
   • В отличие от фильтра, предварительный фильтр не обязательно закрывается при конечных пересечениях.
5. π –система, еслизамкнута относительно конечных пересечений. Каждое непустое семействосодержится в уникальном Наималейшемπ-системы называется π -система порожденнымкоторый иногда обозначаетсяОно равно пересечением всеП-системсодержащиеа также множество всех возможных конечных пересечений множеств от:${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

   ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})=\left\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}~:~n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\right\}.}$

   • Тг -система является предфильтр , если и только если это правильно. Каждый фильтр является собственной π –системой, а каждая собственная π –система является предварительным фильтром, но в общем случае обратное неверно.
   • Предварительный фильтр эквивалентен (по отношению к ) порожденной им π –системе, и оба эти семейства порождают один и тот же фильтр на${\displaystyle \leq }$${\displaystyle X.}$
6. Подбаза фильтров ^{[8] [22]} и центрированная ^[9], если и удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$обладает свойством конечного пересечения , что означает, что пересечение любого конечного семейства (одного или нескольких) множеств в не пусто; в явном виде, это означает , что всякий раз , когда и затем${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \varnothing \neq B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}.}$
   2. Π -система генерируется собственно (т.е. не является элемент).${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \varnothing }$
   3. Π -системы порожденная является предфильтром.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является подмножеством некоторого предварительного фильтра.
   5. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является подмножеством некоторого фильтра.
   • Предполагая , является фильтр предбазы, то фильтр , порожденным является единственным наималейшим (относительно ) фильтром на содержащем Оно равно пересечение всех фильтров на которые имеют в качестве подмножества. Π -системы , порожденный обозначаться будет предфильтр и подмножество . Более того, порожденный фильтром - закрытие смысла снизу вверх . ^[9]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}},}$${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$
   • Наименьший (относительно  ) предварительный фильтр, содержащий суббазу фильтра, будет существовать только при определенных обстоятельствах. Он существует, например, если суббаза фильтра также является предварительным фильтром . Кроме того , существует , если фильтр (или , что эквивалентно, то π -системы) , порожденное является основным, и в этом случае является единственным наименьшим предфильтр , содержащий В противном случае, в общем,  -smallest предварительно фильтр , содержащий не может существовать. По этой причине некоторые авторы могут ссылаться на π –систему, сгенерированную с помощью, как на предварительный фильтр, сгенерированный с помощью Однако, как показано в примере ниже, если такая${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{\operatorname {ker} {\mathcal {B}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle \subseteq }$ - наименьший предварительный фильтр действительно существует, тогда вопреки обычным ожиданиям, он не обязательно равен «предварительному фильтру, созданному « К сожалению », предварительный фильтр, созданный« предварительным фильтром », может не быть, поэтому в этой статье предпочтительнее точная и недвусмысленная терминология « π –система, порожденная ».${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
7. Подфильтр фильтра и что является superfilter из ^{[17] [23]} , если это фильтр и где для фильтров, если и только если${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$
   • Важно отметить, что выражение «является супер - фильтр» для фильтров аналог «является суб последовательность». Таким образом , несмотря на приставку «Sub» в общем, «является суб фильтр» на самом деле обратный из «является суб последовательность.»
   • Тем не менее, также могут быть записаны , который описан, говоря « подчинен » С помощью этой терминологии, «является суб ординат , чтобы» становится для фильтров (а также для предфильтра) аналог «является суб последовательность,» ^[24] , который создает эту ситуацию, когда использование термина «подчиненный» и символ может быть полезным.${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle \,\vdash \,}$

Здесь нет предварительных фильтров (и нет никаких сетей, в которых оцениваются ), поэтому эта статья, как и большинство авторов, автоматически предполагает без комментариев, что всякий раз , когда это предположение необходимо.${\displaystyle X=\varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X\neq \varnothing }$

Основные примеры [ править ]

Именованные примеры

• Одноэлементный набор называется недискретным или тривиальным фильтром на ^{[25] [11]} Это единственный минимальный фильтр на, потому что он является подмножеством каждого фильтра на ; тем не менее, это не обязательно подмножество каждого предварительного фильтра на${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{X\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• Двойственный идеал также называется вырожденным фильтром в ^[10] (хотя на самом деле он не является фильтром). Это единственный дуальный идеал, который не является фильтром.${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• Если это топологическое пространство , а затем фильтр окрестностей на фильтр в четкости, семейство подмножеств называется базис окрестностей (соответственно окрестность подбазис ) в течение , если и только если это предфильтр (соответственно является фильтром предбаза) и фильтр на который генерирует равно фильтр окрестностей подсемейства открытых окрестностей представляет собой фильтр база для обоихов предфильтра и также образует основы для топологий на с топологией порожденных существ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$${\displaystyle \tau (x)\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle \tau (x)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \tau (x)}$грубее, чем Этот пример немедленно обобщает окрестности точек на окрестности непустых подмножеств${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle S\subseteq X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является элементарным предварительным фильтром ^[26], если для некоторой последовательности в${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является элементарным фильтром или последовательным фильтром на ^[27], если является фильтром, созданным некоторым элементарным предварительным фильтром . Фильтр хвостов, генерируемый последовательностью, которая в конечном итоге не является постоянной, обязательно не является ультрафильтром. ^[28] Каждый главный фильтр на счетном множестве является последовательным, как и любой конфинитный фильтр на счетном множестве. ^[10] Пересечение конечного числа последовательных фильтров снова является последовательным. ^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$
• Множество всех коконечны подмножества из (то есть тех множеств, дополнение в конечна) является правильным , если и только если бесконечно (или , что эквивалентно, бесконечно), в этом случае представляет собой фильтр на известной как фильтр Фреша или коконечен фильтр на ^{[11] [25]} Если конечно, то равно дуальному идеалу , который не является фильтром. Если бесконечно, то семейство дополнений одноэлементных множеств является подбазой фильтра, которая генерирует фильтр Фреше на As с любым семейством множеств над , содержащим ядро фильтра Фреше на${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{X\setminus \{x\}~:~x\in X\right\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{X\setminus \{x\}~:~x\in X\right\},}$${\displaystyle X}$ это пустой набор: ${\displaystyle \operatorname {ker} {\mathcal {F}}=\varnothing .}$
• Пересечение всех элементов любого непустого семейства сам фильтр на называется нижняя грань или точная нижняя грань из в которой почему это может обозначать Said по- другому, Потому что каждый фильтр не на уже как подмножество, это пересечение не пусто . По определению, нижняя грань - это самый точный / самый большой (относительно и ) фильтр, содержащийся как подмножество каждого члена ^[11].${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \operatorname {Filters} (X),}$${\displaystyle \bigwedge _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$${\displaystyle \operatorname {ker} \mathbb {F} =\bigcap _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{X\}}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \mathbb {F} .}$
  • Если и являются фильтрами, то их нижняя грань в является фильтром ^[9] Если и являются предварительными фильтрами, то это предварительный фильтр и один из лучших (по отношению к ) предварительных фильтров, более грубый (по отношению к ), чем оба и ; то есть if является таким предварительным фильтром, что and then ^{[9] В} более общем смысле, if и являются непустыми семействами и if then и является наибольшим элементом (по отношению к ) ^[9]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cup ){\mathcal {F}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cup ){\mathcal {F}}}$${\displaystyle \,\leq }$${\displaystyle \,\leq }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cup ){\mathcal {F}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {S} :=\{{\mathcal {S}}\subseteq \wp (X)~:~{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cup ){\mathcal {F}}\in \mathbb {S} }$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cup ){\mathcal {F}}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \mathbb {S} .}$
• Пусть и пусть В супремуму или меньшей мере верхняя граница из в обозначается является наименьшим (относительно ) двойственный идеал на содержащий каждый элемент в виде подмножества; то есть, это наименьший (относительно ) дуальный идеал, содержащийся как подмножество. Этот двойной идеал где является π -система , порожденной As с любым непустым семейством множеств, содержатся в некотором фильтре на тогда и только тогда , когда это фильтр подоснова, или что то же самое, если и только если фильтр в${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {DualIdeals} (X)}$${\displaystyle \cup \mathbb {F} =\bigcup _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \operatorname {DualIdeals} (X),}$${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}},}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X},}$${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right):=\left\{F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}~:~n\in \mathbb {N} {\text{ and every }}F_{i}{\text{ belongs to some }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} \right\}}$${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$${\displaystyle X,}$в этом случае это семейство является наименьшим (относительно ) фильтром, содержащим каждый элемент как подмножество и обязательно${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X).}$
• Пусть и пусть супремум или хотя бы верхняя граница из в обозначаются , если она существует, по определению наималейшим (относительно ) фильтр на содержащих каждый элемент как подмножество. Если он существует, то обязательно ^[11] (как определено выше) и также будет равен пересечению всех фильтров на, содержащих. Эта верхняя грань в существует тогда и только тогда, когда дуальный идеал является фильтром на наименьшей верхней границе семейства фильтры могут не быть фильтром. ^[11] Действительно, если${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle \cup \mathbb {F} =\bigcup _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \operatorname {Filters} (X),}$${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle X}$содержит по меньшей мере 2 различных элементов , то существуют фильтры и на , для которых вовсе не существует фильтр на том , что содержит как и если не фильтр предбазой то супремумом в не существует , и то же самое относится и к его супремуму в но их supremum в множестве всех двойственных идеалов на будет существовать (это фильтр вырождения ). ^[10]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp (X)}$
  • Если и являются предварительными фильтрами (соответственно фильтрами ), то они являются предварительными фильтрами (соответственно фильтрами) тогда и только тогда, когда они невырождены (или, иначе говоря, если и только если и сетка), и в этом случае он является одним из самые грубые предварительные фильтры (соответственно самый грубый фильтр) на (относительно ), который является более тонким (относительно ), чем оба и ; это означает, что if - это любой предварительный фильтр (или любой фильтр) такой, что и тогда обязательно ^{[9], и} в этом случае он обозначается ^[10]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \,\leq }$${\displaystyle \,\leq }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\vee {\mathcal {F}}.}$
• Пусть и быть непустые множества , и для каждого , пусть будет двойственный идеал в случае , если какие - либо двойственный идеал на то есть двойственный идеал на называемый двойной идеал Ковальского в или фильтра Ковальского в . ^[17]${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \bigcup _{\Xi \in {\mathcal {I}}}\;\;\bigcap _{i\in \Xi }\;{\mathcal {D}}_{i}}$${\displaystyle X}$