F-пространство

В функциональном анализе , F-пространство является векторное пространство V над реальными или комплексными числами вместе с метрикой д  : V × V → ℝ так , что

1. Скалярное умножение в V является непрерывным по отношению к D и стандартной метрика на ℝ или ℂ.
2. Сложение в V непрерывно по d .
3. Метрика инвариантна к трансляции ; т.е. d ( x + a , y + a ) = d ( x , y ) для всех x , y и a в V
4. Метрическое пространство ( V , д ) является полным .

Операция x ↦ || х || : = d (0, x ) называется F-нормой , хотя, как правило, F-норма не является полной. Благодаря трансляционной инвариантности метрика восстанавливается по F-норме. Таким образом, действительное или комплексное F-пространство эквивалентно действительному или комплексному векторному пространству, снабженному полной F-нормой.

Некоторые авторы используют термин пространство Фреше, а не F-пространство , но обычно термин «пространство Фреше» зарезервирован для локально выпуклых F-пространств. Некоторые другие авторы используют термин «F-пространство» как синоним «пространства Фреше», под которым они подразумевают локально выпуклые полные метризуемые ТВП. Метрика может быть или не обязательно быть частью структуры F-пространства; многие авторы требуют только, чтобы такое пространство было метризуемым таким образом, чтобы удовлетворять указанным выше свойствам.

Примеры [ править ]

Все банаховы пространства и пространства Фреше являются F-пространствами. В частности, банахово пространство - это F-пространство с дополнительным требованием d ( αx , 0) = | α | ⋅ d ( x , 0) . ^[1]

В L ^р пространство может быть сделано в F-пространства для все р ≥ 0 и для р ≥ 1 , они могут быть превращены в локально выпуклые и , таким образом Фреше и даже банаховы пространства.

Пример 1 [ править ]

${\ displaystyle \ scriptstyle L ^ {\ frac {1} {2}} [0, \, 1]}$является F-пространством. Он не допускает ни непрерывных полунорм, ни непрерывных линейных функционалов - он имеет тривиальное сопряженное пространство .

Пример 2 [ править ]

Позвольте быть пространство всех комплексных рядов Тейлора${\ Displaystyle \ scriptstyle W_ {p} (\ mathbb {D})}$

${\ Displaystyle е (г) = \ сумма _ {п \ geq 0} а_ {п} г ^ {п}}$

на единичном диске так , что${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {D}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n} | a_ {n} | ^ {p} <\ infty}$

то (при 0 <p <1 ) являются F-пространствами относительно p-нормы :${\ Displaystyle \ scriptstyle W_ {p} (\ mathbb {D})}$

${\displaystyle \|f\|_{p}=\sum _{n}|a_{n}|^{p}\qquad (0<p<1)}$

Фактически, это квазибанахова алгебра . Более того, для любого с отображением есть ограниченный линейный (мультипликативный функционал) на .${\displaystyle \scriptstyle W_{p}}$${\displaystyle \scriptstyle \zeta }$${\displaystyle \scriptstyle |\zeta |\;\leq \;1}$${\displaystyle \scriptstyle f\,\mapsto \,f(\zeta )}$${\displaystyle \scriptstyle W_{p}(\mathbb {D} )}$

Достаточные условия [ править ]

Связанные свойства [ править ]

• Линейное почти непрерывное отображение в F-пространство с замкнутым графиком непрерывно. ^[4]
• Линейное почти открытое отображение в F-пространство с замкнутым графиком обязательно является открытым отображением . ^[4]
• Линейная непрерывная почти открытая карта из F-пространства обязательно является открытой картой . ^[5]
• Линейное непрерывное почти открытое отображение из F-пространства, образ которого относится ко второй категории в кодобласти, обязательно является сюръективным открытым отображением . ^[4]

См. Также [ править ]

• Банахово пространство  - полное нормированное векторное пространство
• Полное метрическое пространство  - набор с понятием расстояния, где каждая последовательность точек, которые постепенно приближаются друг к другу, будут сходиться.
• Полное топологическое векторное пространство  - TVS, где точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда будут сходиться в точку.
• Пространство Фреше  - локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
• Гильбертово пространство  - математическое обобщение до бесконечности понятия евклидова пространства
• K-пространство (функциональный анализ)
• Метризуемое топологическое векторное пространство  - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена с помощью метрики.
• Бочковое пространство
• Счетное квази-ствольное пространство
• DF-пространство
• LB-пространство
• LF-пространство
• Ядерное пространство
• Проективное тензорное произведение

Ссылки [ править ]

• Хусейн, Такдир (1978). Бочность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC  4493665 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• Рудин, Уолтер (1966), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .