Равномерно выпуклое пространство

В математике , равномерно выпуклые пространства (или равномерно пухлое пространство ) являются общими примерами рефлексивных банаховых пространств . Понятие равномерной выпуклости было впервые введено Джеймсом А. Кларксоном в 1936 году.

Определение [ править ]

Равномерно выпуклое пространство является нормированным векторным пространством таким образом , что для каждого есть некоторые такие , что для любых двух векторов и условия ${\ Displaystyle 0 <\ varepsilon \ leq 2}$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ ${\ Displaystyle \ | х \ | = 1}$ ${\ Displaystyle \ | у \ | = 1,}$

{\ Displaystyle \ | ху \ | \ geq \ varepsilon}

означает, что:

{\ displaystyle \ left \ | {\ frac {x + y} {2}} \ right \ | \ leq 1- \ delta.}

Интуитивно понятно, что центр линейного сегмента внутри единичного шара должен лежать глубоко внутри единичного шара, если только этот сегмент не короткий.

Свойства [ править ]

В определении единичную сферу можно заменить замкнутым единичным шаром . А именно, нормированное векторное пространство равномерно выпукло тогда и только тогда , когда для каждого есть некоторые так , что для любых двух векторов и в замкнутом единичном шаре (т.е. и ) с , один имеет ( к сведению , что, учитывая , соответствующее значение может быть меньше, чем в исходном более слабом определении). ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle 0 <\ varepsilon \ leq 2}$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ Displaystyle \ | х \ | \ leq 1}$ ${\ Displaystyle \ | у \ | \ leq 1}$ ${\ Displaystyle \ | ху \ | \ geq \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ left \ | {\ frac {x + y} {2}} \ right \ | \ leq 1- \ delta}$ $\varepsilon$ $\delta$

Доказательство

Часть «если» тривиальна. Наоборот, теперь предположим, что он равномерно выпуклый и такой же, как в заявлении, для некоторого фиксированного . Позвольте быть значение, соответствующее в определении равномерной выпуклости. Мы покажем, что с . $X$ $x,y$ $0<\varepsilon \leq 2$ $\delta _{1}\leq 1$ $\delta$ ${\frac {\varepsilon }{3}}$ $\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta$ $\delta =\min \left\{{\frac {\varepsilon }{6}},{\frac {\delta _{1}}{3}}\right\}$

Если то и утверждение доказано. Аналогичные аргументы применимы к случаю , поэтому мы можем предположить, что . В этом случае, поскольку оба вектора ненулевые, мы можем позволить и . Мы имеем и аналогично , поэтому и принадлежим единичной сфере и имеем расстояние . Следовательно, по нашему выбору , мы имеем . Отсюда следует, что и утверждение доказано. $\|x\|\leq 1-2\delta$ $\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq {\frac {1}{2}}(1-2\delta )+{\frac {1}{2}}=1-\delta$ $\|y\|\leq 1-2\delta$ $1-2\delta <\|x\|,\|y\|\leq 1$ $\delta \leq {\frac {1}{3}}$ $x'={\frac {x}{\|x\|}}$ $y'={\frac {y}{\|y\|}}$ $\|x'-x\|=1-\|x\|\leq 2\delta$ $\|y'-y\|\leq 2\delta$ $x'$ $y'$ $\|x'-y'\|\geq \|x-y\|-4\delta \geq \varepsilon -{\frac {4\varepsilon }{6}}={\frac {\varepsilon }{3}}$ $\delta _{1}$ $\left\|{\frac {x'+y'}{2}}\right\|\leq 1-\delta _{1}$ $\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq \left\|{\frac {x'+y'}{2}}\right\|+{\frac {\|x'-x\|+\|y'-y\|}{2}}\leq 1-\delta _{1}+2\delta \leq 1-{\frac {\delta _{1}}{3}}\leq 1-\delta$

Мильман-Pettis теорема утверждает , что всякое равномерно выпуклые банахово пространство является рефлексивным , а не наоборот.
Каждое равномерно выпуклое банахово пространство является пространством Радона-Рисса, то есть, если является последовательностью в равномерно выпуклом банаховом пространстве, которая слабо сходится и удовлетворяет, то сильно сходится к , то есть . $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ $f$ $\|f_{n}\|\to \|f\|,$ $f_{n}$ $f$ $\|f_{n}-f\|\to 0$
Банахово пространство равномерно выпукло тогда и только тогда , когда его сопряженное является равномерно гладкой . $X$ $X^{*}$
Всякое равномерно выпуклое пространство строго выпукло . Интуитивно строгая выпуклость означает более сильное неравенство треугольника, когда они линейно независимы, в то время как равномерная выпуклость требует, чтобы это неравенство выполнялось равномерно. $\|x+y\|<\|x\|+\|y\|$ $x,y$

Примеры [ править ]

Каждое гильбертово пространство равномерно выпукло.
Каждое замкнутое подпространство равномерно выпуклого банахова пространства равномерно выпукло.
Из неравенств Ханнера следует, что L ^p- пространства равномерно выпуклые. $(1<p<\infty )$
И наоборот, не является равномерно выпуклым. $L^{\infty }$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Кларксон, Дж. А. (1936). «Равномерно выпуклые пространства» . Пер. Амер. Математика. Soc . Американское математическое общество. 40 (3): 396–414. DOI : 10.2307 / 1989630 . JSTOR 1989630 ..
Ханнер, О. (1956). «О равномерной выпуклости и » $L^{p}$ $l^{p}$ . Ковчег. Мат . 3 : 239–244. DOI : 10.1007 / BF02589410 ..
Beauzamy, Бернар (1985) [1982]. Введение в банаховы пространства и их геометрию (второе исправленное издание). Северная Голландия. ISBN 0-444-86416-4.
Пер Энфло (1972). «Банаховы пространства, которым можно задать эквивалентную равномерно выпуклую норму». Израильский математический журнал . 13 (3–4): 281–288. DOI : 10.1007 / BF02762802 .
Линденштраус, Иорам и Беньямини, Йоав. Геометрический нелинейный функциональный анализ Публикации коллоквиума, 48. Американское математическое общество.