В математике , А строго выпуклое пространство является нормированным векторным пространством ( X , || ||) , для которых замкнутого единичного шар является строго выпуклым множеством . Другими словами, строго выпуклое пространство - это пространство, для которого при любых двух различных точках x и y на единичной сфере ∂ B (то есть на границе единичного шара B пространства X ) отрезок, соединяющий x и y, пересекает ∂ B только в x и y. Строгая выпуклость - это где-то между внутренним пространством продукта (все внутренние пространства продукта строго выпуклые) и общим нормированным пространством с точки зрения структуры. Это также гарантирует единственность наилучшего приближения к элементу в X (строго выпуклому) из выпуклого подпространства Y при условии, что такое приближение существует.
Если нормированное пространство X является полным и удовлетворяет несколько более сильное свойство быть равномерно выпуклым (что подразумевает строгую выпуклость), то оно рефлексивно по теореме Мильман Петтиса .
Свойства [ править ]
Следующие свойства эквивалентны строгой выпуклости.
- Нормированное векторное пространство ( X , || ||) является строго выпуклой , если и только если X ≠ у и || х || = || у || = 1 вместе означают, что || х + у || <2.
- Нормированное векторное пространство ( X , || ||) является строго выпуклой , если и только если X ≠ у и || х || = || у || = 1 вместе означают, что || αx + (1 - α ) y || <1 для всех 0 < α <1.
- Нормированное векторное пространство ( X , || ||) является строго выпуклой , если и только если х ≠ 0 и у ≠ 0 и || х + у || = || х || + || у || вместе следует, что x = cy для некоторой константы c> 0 ;
- Нормированное векторное пространство ( X , || ||) является строго выпуклой , если и только если модуль выпуклости б для ( X , || ||) удовлетворяет условию δ (2) = 1.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Гебель, Казимеж (1970). «Выпуклость шаров и теоремы о неподвижной точке для отображений с нерасширяющим квадратом». Compositio Mathematica . 22 (3): 269–274.
