В математической теории из функционального анализа , то Крейна-Мильмана теорема является утверждение о компактных множеств выпуклых в локально выпуклых топологических векторных пространств (TVSS).
Крейна-Мильмана теорема - компактное выпуклое подмножество Хаусдорфа локально выпуклое топологическое векторное пространство равно замкнутой выпуклой оболочки своих крайних точек .
Эта теорема обобщает на бесконечномерные пространства и произвольные компактные выпуклые множества следующее основное наблюдение: выпуклый (т.е. «заполненный») треугольник, включая его периметр и площадь «внутри него», равен выпуклой оболочке его трех вершины, где эти вершины и есть крайние точки этой формы. Это наблюдение справедливо и для любого другого выпуклого многоугольника на плоскости
Заявление и определения
Предварительные сведения и определения
Через, будет реальным или сложным векторным пространством.
Для любых элементов а также в векторном пространстве множество называется замкнутый отрезок линии илизамкнутый интервалмежду а также В открытый сегмент линии илиоткрытый интервалмежду а также является когда пока это когда ; [1] удовлетворяет а также Точки а также называются конечными точками этого интервала. Интервал называетсяневырожденный илисобственный,если его конечные точки различны.
Интервалы а также всегда содержат свои конечные точки, в то время как а также никогда не содержат ни одну из своих конечных точек. Если а также точки на реальной линии тогда приведенное выше определение то же самое, что и его обычное определение как закрытый интервал .
Для любой точка говорят (строго) лежать между а также если принадлежит к сегменту открытой линии [1]
Если это подмножество а также тогда называется крайней точкой из если он не лежит между любыми двумя разными точкамиТо есть если не существует а также такой, что а также В этой статье собраны все крайние точки будем обозначать [1]
Например, вершины любого выпуклого многоугольника на плоскости являются крайними точками этого многоугольника. Крайние точки замкнутого единичного диска в- единичный круг . Каждый открытый интервал и вырожденный отрезок вне имеет крайних точек, а крайние точки невырожденного отрезка находятся а также
Множество называется выпуклым, если для любых двух точек содержит линейный сегмент Наименьшее выпуклое множество, содержащее называется выпуклой оболочкой из и обозначается Замкнутая выпуклая оболочка множества обозначается - наименьшее замкнутое и выпуклое множество, содержащее Он также равен пересечению всех замкнутых выпуклых подмножеств, содержащихи к закрытию части выпуклой оболочки из; это,
где правая часть обозначает замыкание а в левой части - обозначения. Например, выпуклая оболочка любого набора из трех различных точек образует твердый (то есть «заполненный») треугольник, включая его периметр. И в самолетеединичная окружность не выпуклая, но замкнутый единичный диск выпуклый, и, кроме того, этот диск равен выпуклой оболочке окружности.
Заявление
Теорема Крейна – Мильмана [1] - Предположим,является хаусдорфовым локально выпуклым топологическим векторным пространством и компактное и выпуклое подмножество потом равна замкнутой выпуклой оболочке своих крайних точек :
Более того, если тогда равна замкнутой выпуклой оболочке если и только если где закрытие
Выпуклая оболочка крайних точек образует подмножество поэтому основная задача доказательства - показать, что существует достаточно крайних точек, так что их выпуклая оболочка покрывает все
Следствие из приведенной выше теоремы, которое также называют «теоремой Крейна – Мильмана», состоит в том, что каждое непустое компактное выпуклое подмножество хаусдорфовой локально выпуклой TVS имеет крайние точки; то есть множество его крайних точек не пусто. [1]
Частный случай этой теоремы , который можно легко визуализировать, утверждает, что для выпуклого многоугольника углы многоугольника - это все, что нужно для восстановления формы многоугольника. Утверждение теоремы неверно, если многоугольник не выпуклый, так как тогда может быть много способов нарисовать многоугольник с заданными точками в качестве углов.
Более общие настройки
Предположение о локальной выпуклости объемлющего пространства необходимо, поскольку Джеймс Робертс ( 1977 ) построил контрпример для нелокально выпуклого пространства где [2]
Линейность также необходима, поскольку это утверждение неверно для слабо компактных выпуклых множеств в пространствах CAT (0) , как было доказано Николя Моно ( 2016 ). [3] Однако Тео Бюлер ( 2006 ) доказал, что теорема Крейна – Мильмана верна для метрически компактных пространств CAT (0). [4]
Связанные результаты
Согласно предыдущим предположениям о если является подмножеством из и замкнутая выпуклая оболочка все из то каждая крайняя точка изпринадлежит к закрытию частиЭтот результат известен как Мильман (частично) обратная к теореме Крейна-Мильман. [5]
Теорема Шоке – Бишопа – де Лиу утверждает, что каждая точка вявляется барицентр из вероятностной меры поддерживается на множестве крайних точек зрения
Отношение к аксиоме выбора
Аксиома выбора , или какой - то более слабый вариант этого, необходимо , чтобы доказать эту теорему в теории множеств Цермело-Френкеля . Наоборот, эта теорема вместе с теоремой о булевом простом идеале может доказать аксиому выбора. [6]
История
Первоначальное утверждение, доказанное Марком Крейном и Дэвидом Мильманом ( 1940 ), было несколько менее общим, чем изложенная здесь форма. [7]
Ранее Герман Минковский ( 1911 ) доказал, что еслиэто 3-мерный затемравна выпуклой оболочке множества своих крайних точек. [8] Это утверждение было распространено на случай любой конечной размерности Эрнстом Стейницем ( 1916 ). [9] Теорема Крейна – Мильмана обобщает это на произвольные локально выпуклые; однако для обобщения от конечномерных пространств к бесконечномерным необходимо использовать замыкание.
Смотрите также
- Теорема Банаха – Алаоглу - замкнутый единичный шар в двойственном нормированном векторном пространстве компактен в слабой * топологии
- Теорема Каратеодори (выпуклая оболочка) . Точка в выпуклой оболочке множества P в Rd - это выпуклая комбинация d + 1 точки в P
- Теория Шоке
- Теорема Хелли - Теорема о пересечениях d-мерных выпуклых множеств
- Теорема Радона - говорит, что d + 2 точки в d измерениях можно разделить на два подмножества, выпуклые оболочки которых пересекаются
- Лемма Шепли – Фолкмана.
- Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости.
Цитаты
- ^ a b c d e Narici & Beckenstein 2011 , стр. 275-339.
- ^ Робертс, Дж. (1977), "Компактное выпуклое множество без крайних точек" , Studia Mathematica , 60 : 255–266
- ^ Моно, Николас (2016), «Крайние точки неположительной кривизны», Studia Mathematica , 234 : 265–270, arXiv : 1602.06752
- ^ Бюлер, Тео (2006), Теорема Крейна – Мильмана для метрических пространств с выпуклым бикомбинированием , arXiv : math / 0604187
- ^ Мильман, Д. (1947), Характеристика экстремальных точек регулярно-выпуклого множества[Характеристики экстремальных точек правильно выпуклых множеств], Докл. АН СССР , 57 : 119–122.
- ^ Bell, J .; Фремлин, Дэвид (1972). «Геометрическая форма аксиомы выбора» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 77 (2): 167–170 . Проверено 11 июня 2018 .
Теорема 1.2. BPI [теорема о булевом простом идеале] и KM [Крейн-Мильман](*) [единичный шар двойственного к нормированному векторному пространству имеет крайнюю точку] .... Теорема 2.1. (*) AC [Аксиома выбора].
- ^ Крейн, Марк ; Милман, Дэвид (1940), "О крайних точках регулярных выпуклых множеств" , Studia Mathematica , 9 : 133–138
- ^ Минковский, Герман (1911), Gesammelte Abhandlungen , 2 , Лейпциг: Teubner, стр. 157–161
- ^ Стейниц, Эрнст (1916), «Бединг, преобразованная в Рейхен и конвексная система VI, VII», J. Reine Angew. Математика. , 146 : 1–52; (см. стр.16)
Библиография
- Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. 639 . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
- Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Пол Э. Блэк, изд. (2004-12-17). «крайняя точка» . Словарь алгоритмов и структур данных . США Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 24 марта 2011 .
- Borowski, Ephraim J .; Борвейн, Джонатан М. (1989). «крайняя точка». Математический словарь . Словарь Коллинза. Харпер Коллинз . ISBN 0-00-434347-6.
- Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
- Ярчоу, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Кете, Готфрид (1983). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту 0248498 . OCLC 840293704 .
- Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства. II . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 237 . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972 .
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Н.К. Никольский (Ред.). Функциональный анализ I . Спрингер-Верлаг, 1992.
- Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . 53 . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
- HL Royden, Реальный анализ . Прентис-Холл, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1988.
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
Эта статья включает материал из теоремы Крейна – Милмана о PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .