В математике , теории Шоке , названный в честь Густава Шока , является область функционального анализа и выпуклого анализа , связанным с мерами , которые имеют поддержку на крайних точках одного выпуклого множество C . Грубо говоря, каждый вектор из C должен выглядеть как взвешенное среднее крайних точек, концепция уточнить путем обобщения понятия взвешенного среднего от выпуклой комбинации с интегралом берется по множеству Е крайних точек. Здесь Cявляется подмножеством реального векторного пространства V , и основная направленность теории состоит в рассмотрении случаев, когда V является бесконечномерным (локально выпуклым хаусдорфовым) топологическим векторным пространством вдоль линий, аналогичным конечномерному случаю. Главные заботы Гюстава Шоке были в теории потенциала . Теория Шоке стала общей парадигмой, особенно для рассмотрения выпуклых конусов, определяемых их крайними лучами , и, таким образом, для многих различных представлений о положительности в математике.
Два конца отрезка прямой определяют точки между ними: в векторном выражении отрезок от v до w состоит из λ v + (1 - λ) w с 0 ≤ λ ≤ 1. Классический результат Германа Минковского говорит, что в евклидово пространство , А ограниченное , замкнутое выпуклое множество с является выпуклой оболочкой своих крайних точек множества Е , так что любой C в C (конечное) выпуклая комбинация точек е из Е . Здесь Eможет быть конечным или бесконечным множеством . В векторных терминах, присвоив неотрицательные веса w ( e ) e в E , почти все 0, мы можем представить любой c в C как
с участием
В любом случае , ш ( е ) дать вероятностную меру , нанесенное на конечное подмножество Е . Для любой аффинной функции f на C ее значение в точке c равно
В бесконечномерном сеттинге хотелось бы сделать аналогичное заявление.
Теорема Шок утверждает , что для компактного выпуклого подмножества C в виде нормированного пространства V , заданном с в С существует такая вероятностная мера ш поддерживается на множество Е крайних точек С , что для любой аффинной функции F на C,
На практике V будет банаховым пространством . Исходная теорема Крейна – Мильмана следует из результата Шоке. Другим следствием является теорема о представлении Рисса для состояний на непрерывных функций на метризуемом бикомпакта.
В более общем смысле, для V - локально выпуклого топологического векторного пространства , теорема Шоке – Бишопа – де Лиу [1] дает такое же формальное утверждение.
В дополнение к существованию вероятностной меры, поддерживаемой на крайней границе, которая представляет данную точку c , можно также рассмотреть уникальность таких мер. Легко видеть, что единственность не имеет места даже в конечномерном случае. В качестве контрпримера можно взять выпуклое множество как куб или шар в R 3 . Однако единственность имеет место, когда выпуклое множество является конечномерным симплексом . Конечномерный симплекс - это частный случай симплекса Шоке . Любая точка симплекса Шоке представляется единственной вероятностной мерой на крайних точках.
См. Также [ править ]
- Теорема Каратеодори
- Лемма Шепли – Фолкмана.
- Теорема Крейна – Мильмана.
- Теорема Хелли
- Список тем о выпуклости
Заметки [ править ]
- ^ Эрретт Бишоп ; Карл де Леу . «Представления линейных функционалов мерами на множествах крайних точек» . Анналы института Фурье, 9 (1959), стр. 305–331.
Ссылки [ править ]
- Asimow, L .; Эллис, AJ (1980). Теория выпуклости и ее приложения в функциональном анализе . Монографии Лондонского математического общества. 16 . Лондон-Нью-Йорк: Academic Press, Inc. [Харкорт Брейс Йованович, Издательство]. С. x + 266. ISBN 0-12-065340-0. Руководство по ремонту 0623459 .
- Бурджин, Ричард Д. (1983). Геометрические аспекты выпуклых множеств со свойством Радона-Никодима . Конспект лекций по математике. 993 . Берлин: Springer-Verlag. С. xii + 474. ISBN 3-540-12296-6. Руководство по ремонту 0704815 .
- Фелпс, Роберт Р. (2001). Лекции по теореме Шоке . Конспект лекций по математике. 1757 г. (Второе издание 1966 г.). Берлин: Springer-Verlag. С. viii + 124. ISBN 3-540-41834-2. Руководство по ремонту 1835574 .
- "Симплекс Шоке" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
