Бомбьери норма

В математике норма Бомбьери , названная в честь Энрико Бомбьери , является нормой на однородных многочленах с коэффициентом в или (есть также версия для неоднородных одномерных многочленов). Эта норма обладает многими замечательными свойствами, наиболее важные из которых перечислены в этой статье. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {С}}$

Чтобы начать с геометрии, скалярное произведение Бомбьери для однородных полиномов с N переменными можно определить следующим образом, используя нотацию с несколькими индексами :

пусть - два однородных многочлена соответственно степени и от переменных, то выполняется следующее неравенство: ${\ Displaystyle Р, Q}$ ${\ displaystyle d ^ {\ circ} (P)}$ ${\ Displaystyle д ^ {\ circ} (Q)}$ ${\ Displaystyle Н}$

Здесь неравенство Бомбьери является левой частью приведенного выше утверждения, а правая часть означает, что норма Бомбьери является нормой алгебры . Задавать левую часть бессмысленно без этого ограничения, потому что в этом случае мы можем получить тот же результат с любой нормой, умножив норму на хорошо выбранный коэффициент.

Из этого мультипликативного неравенства следует, что произведение двух многочленов ограничено снизу величиной, зависящей от многочленов множимого. Таким образом, это произведение не может быть сколь угодно малым. Это мультипликативное неравенство полезно в метрической алгебраической геометрии и теории чисел .

пусть будут два однородных многочлена степени с переменными и пусть будет изометрия (или ). Тогда у нас есть . Когда это подразумевает . ${\ Displaystyle Р, Q}$ ${\ Displaystyle д}$ ${\ Displaystyle Н}$ ${\ Displaystyle ч}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {С} ^ {N}}$ ${\ displaystyle \ langle P \ circ h | Q \ circ h \ rangle = \ langle P | Q \ rangle}$ ${\ Displaystyle Р = Q}$ ${\ Displaystyle \ | Р \ circ ч \ | = \ | Р \ |}$