В геометрии , A - центр (или центр ) (от греческого κέντρον ) объекта является точкой в каком - то смысле в середине объекта. Согласно конкретному определению центра, принятому во внимание, объект может не иметь центра. Если геометрию рассматривать как изучение групп изометрий, то центр - это фиксированная точка всех изометрий, которые перемещают объект на себя.
Круги, сферы и сегменты
Центр круга - это точка, равноудаленная от точек на краю. Точно так же центр сферы - это точка, равноудаленная от точек на поверхности, а центр отрезка прямой - это середина двух концов.
Симметричные объекты
Для объектов с несколькими симметрии , то центр симметрии является точка оставлено без изменений симметричных действий. Таким образом, центр квадрата , прямоугольника , ромба или параллелограмма - это место пересечения диагоналей, которое является (среди других свойств) фиксированной точкой вращательной симметрии. Точно так же центр эллипса или гиперболы - это место пересечения осей.
Треугольники
Несколько особых точек треугольника часто называют центрами треугольников :
- окружности , которая является центром окружности , которая проходит через все три вершины ;
- центроид или центр масс , точка , на которой треугольник сбалансировал бы если бы он имел однородную плотность;
- вписанной , центр окружности, внутренне касательной ко всем трем сторонам треугольника;
- ортоцентр , пересечение три треугольника высот ; а также
- девяти точек центра , центр окружности , которая проходит через девять ключевых точек треугольника.
Для равностороннего треугольника это одна и та же точка, которая лежит на пересечении трех осей симметрии треугольника, на одной трети расстояния от его основания до его вершины.
Строгое определение центра треугольника - это точка, трилинейные координаты которой равны f ( a , b , c ): f ( b , c , a ): f ( c , a , b ), где f является функцией длин три стороны треугольника a , b , c такие, что:
- f однородна по a , b , c ; т.е. f ( ta , tb , tc ) = t h f ( a , b , c ) для некоторой действительной мощности h ; таким образом, положение центра не зависит от масштаба.
- f симметрична по двум последним аргументам; т.е. f ( a , b , c ) = f ( a , c , b ); таким образом, положение центра в зеркальном треугольнике является зеркальным отображением его положения в исходном треугольнике. [1]
Это строгое определение исключает пары бицентрических точек, таких как точки Брокара (которые меняются местами при зеркальном отражении). По состоянию на 2020 год в Энциклопедии треугольных центров перечислено более 39000 различных треугольных центров. [2]
Тангенциальные многоугольники и циклические многоугольники
Тангенциальное многоугольник имеет каждой из его сторон касательной к определенному кругу, называется вписанной или вписанной окружности. Центр вписанной окружности, называемый центром притяжения, можно считать центром многоугольника.
Циклический многоугольник имеет каждый из его вершин на определенную окружности, называется окружностью или окружность. Центр описанной окружности, называемый центром описанной окружности, можно считать центром многоугольника.
Если многоугольник одновременно тангенциальный и циклический, он называется бицентрическим . (Например, все треугольники бицентрические.) Центр окружности и центр описанной окружности бицентрического многоугольника, как правило, не являются одной и той же точкой.
Общие многоугольники
Центр общего многоугольника можно определить несколькими способами. «Центроид вершины» исходит из того, что многоугольник считается пустым, но имеет равные массы в его вершинах. «Боковой центроид» получается из рассмотрения сторон, имеющих постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом (центром площади), происходит от рассмотрения поверхности многоугольника как имеющей постоянную плотность. Эти три точки, как правило, не одно и то же.