Девятиточечный центр
В геометрии девятиточечный центр — это центр треугольника , точка, определяемая из данного треугольника таким образом, который не зависит от положения или масштаба треугольника. Он так называется, потому что является центром окружности с девятью точками , окружности, которая проходит через девять основных точек треугольника: середины трех сторон, основания трех высот и точки на полпути между ортоцентром и каждой из трех вершин. Центр с девятью точками указан как точка X (5) в Энциклопедии центров треугольников Кларка Кимберлинга . [1] [2]
Центр девяти точек N лежит на линии Эйлера его треугольника, в средней точке между ортоцентром этого треугольника H и центром описанной окружности O . Центроид G также лежит на той же линии, на 2/3 пути от ортоцентра до центра описанной окружности, [2] [3] , поэтому
Таким образом, если известны любые два из этих четырех центров треугольника, по ним можно определить положения двух других.
Эндрю Гинан доказал в 1984 году в рамках того, что сейчас известно как проблема определения треугольника Эйлера , что если положения этих центров заданы для неизвестного треугольника, то центр треугольника лежит внутри ортоцентроидальной окружности (окружности, имеющей сегмент от центроида до ортоцентра как диаметра). Единственная точка внутри этого круга, которая не может быть центром вписанной окружности, — это центр девяти точек, а любая другая внутренняя точка круга — это центр вписанной области уникального треугольника. [4] [5] [6] [7]
Центр девяти точек - это центр описанной окружности срединного треугольника данного треугольника, центр описанной окружности ортогонального треугольника данного треугольника и центр описанной окружности треугольника Эйлера. [3] В более общем смысле это центр описанной окружности любого треугольника, определяемого тремя из девяти точек, определяющих окружность с девятью точками.
Центр девяти точек лежит в центре тяжести четырех точек: трех вершин треугольника и его ортоцентра . [8]
