В геометрии , BROCARD точки особые точки внутри треугольника . Они названы в честь французского математика Анри Брокара (1845–1922).
Определение
В треугольнике ABC со сторонами a , b и c , вершины которого помечены как A , B и C в порядке против часовой стрелки, есть ровно одна точка P такая, что отрезки AP , BP и CP образуют один и тот же угол, ω , со сторонами c , a и b соответственно , а именно, что
Точка P называется первой точкой Брокара треугольника ABC , а угол ω называется углом Брокара треугольника. Этот угол обладает тем свойством, что
где углы при вершинах соответственно.
В треугольнике ABC есть вторая точка Брокара , Q, такая, что отрезки AQ , BQ и CQ образуют равные углы со сторонами b , c и a соответственно. Другими словами, уравненияприменять. Примечательно, что эта вторая точка Брокара имеет тот же угол Брокара, что и первая точка Брокара. Другими словами, угол такой же как
Две точки Брокара тесно связаны друг с другом; Фактически, разница между первым и вторым зависит от порядка, в котором берутся углы треугольника ABC . Так, например, первая точка Брокара треугольника ABC совпадает со второй точкой Брокара треугольника ACB .
Два Brocard точки треугольника ABC является изогональным сопряжением друг друга.
Строительство
Самая изящная конструкция точек Брокара выглядит следующим образом. В следующем примере представлена первая точка Брокара, но конструкция второй точки Брокара очень похожа.
Как и на схеме выше, через точки A и B сформируйте окружность, касательную к краю BC треугольника (центр этой окружности находится в точке, где серединный перпендикуляр AB пересекает линию, проходящую через точку B, которая перпендикулярна BC) . Симметрично сформируйте окружность через точки B и C, касательную к ребру AC, и окружность через точки A и C, касательные к ребру AB. Эти три окружности имеют общую точку - первую точку Брокара треугольника ABC . См. Также Касательные линии к окружностям .
Построенные три окружности также обозначены как эпициклы треугольника ABC . Аналогично строится вторая точка Брокара.
Трилинейные и барицентрики первых двух точек Брокара
Однородные трилинейные координаты первой и второй точек Брокара равны а также соответственно. Таким образом, их барицентрические координаты соответственно [1] а также
Отрезок между первыми двумя точками Брокара
Точки Брокара являются примером бицентрической пары точек, но они не являются центрами треугольников, потому что ни одна из точек Брокара не инвариантна относительно преобразований подобия : отражение разностороннего треугольника, частного случая подобия, превращает одну точку Брокара в другую. Однако неупорядоченная пара, образованная обеими точками, инвариантна относительно подобия. Середина двух точек Брокара, называемая средней точкой Брокара , имеет трилинейные координаты.
и является центром треугольника. Третий пункт Брокард , приведены в трилинейных координатах как
это Брокард середина антикомплементарную треугольника , а также изотомическое сопряжение из симедиана точки .
Расстояние между первыми двумя точками Брокара P и Q всегда меньше или равно половине радиуса R описанной окружности треугольника : [1] [4]
Отрезок между первыми двумя точками Брокара перпендикулярно делится пополам в средней точке Брокара линией, соединяющей центр описанной окружности треугольника и его точку Лемуана . Более того, центр описанной окружности, точка Лемуана и первые две точки Брокара совпадают - все они лежат на одной окружности, диаметр которой составляет отрезок, соединяющий центр описанной окружности и точку Лемуана . [1]
Расстояние от центра окружности
Точки Брокара P и Q равноудалены от центра описанной окружности O треугольника : [4]
Сходства и совпадения
Эти педали треугольники первых и вторых точки Brocard являются конгруэнтны друг к другу и похожи на исходный треугольник. [4]
Если прямые AP , BP и CP , каждая из которых проходит через одну из вершин треугольника и его первую точку Брокара, пересекают описанную окружность треугольника в точках L , M и N , то треугольник LMN конгруэнтен исходному треугольнику ABC . То же самое справедливо , если первая Брокард точка Р заменяется на второй Brocard точке Q . [4]
Заметки
- ^ a b c Скотт, Дж. А. «Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника», Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472–477.
- ↑ Запись X (39) в Энциклопедии треугольных центров, заархивированная 12 апреля 2010 г., в Wayback Machine
- ↑ Запись X (76) в Энциклопедии треугольных центров, заархивированная 12 апреля 2010 г., в Wayback Machine
- ^ a b c d Вайсштейн, Эрик В. «Очки Брокара». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/BrocardPoints.html
Рекомендации
- Акопян А.В. Заславский А.А. (2007), Геометрия коник , Mathematical World, 26 , Американское математическое общество , стр. 48–52, ISBN 978-0-8218-4323-9.
- Хонсбергер, Росс (1995), «Глава 10. Точки Брокара», Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки..
Внешние ссылки
- Третья точка Брокара в MathWorld
- Бицентрические пары точек и связанные центры треугольников
- Бицентрические пары точек
- Бицентрические точки в MathWorld