В геометрии , то трилинейная координата х: у: г из точки относительно заданного треугольника описывают относительные направленные расстояния от три стороны треугольника. Трехлинейные координаты являются примером однородных координат . Отношение x: y - это отношение расстояний по перпендикулярам от точки до сторон ( при необходимости, удлиненных ) противоположных вершин A и B соответственно; отношение y: z - это отношение перпендикулярных расстояний от точки до сторон, противоположных вершинам B и C.соответственно; а также для г: х и вершины C и A .
На диаграмме справа трилинейные координаты указанной внутренней точки представляют собой фактические расстояния ( a ' , b' , c ' ) или, что эквивалентно, в форме отношения ka' : kb ' : kc' для любой положительной константы k . Если точка находится на боковой линии опорного треугольника, ее соответствующая трилинейная координата равна 0. Если внешняя точка находится на противоположной стороне боковой линии от внутренней части треугольника, ее трилинейная координата, связанная с этой боковой линией, отрицательна. Невозможно, чтобы все три трилинейные координаты были неположительны.
Название «трилинейные координаты» иногда сокращается до «трилинейные».
Обозначение
Обозначение отношения x : y : z для трилинейных координат отличается от упорядоченного тройного обозначения ( a ' , b' , c ' ) для фактических направленных расстояний. Здесь каждое из x , y и z само по себе не имеет значения; его отношение к одному из других действительно имеет значение. Таким образом, следует избегать использования запятых для трилинейных координат, поскольку запись ( x , y , z ), означающая упорядоченную тройку, не позволяет, например, ( x , y , z ) = (2 x , 2 y , 2 z ), тогда как «двоеточие» допускает x : y : z = 2 x : 2 y : 2 z .
Примеры
Трилинейные координаты центра треугольника ABC равны 1: 1: 1; то есть (направленные) расстояния от центра до боковых сторон BC , CA , AB пропорциональны фактическим расстояниям, обозначенным ( r , r , r ), где r - внутренний радиус треугольника ABC . При заданных длинах сторон a, b, c имеем:
- А = 1: 0: 0
- В = 0: 1: 0
- С = 0: 0: 1
- Incenter = 1: 1: 1
- центроид = Ьс : са : AB = 1 / : 1 / б : 1 / с = CSC : CSC Б : CSC С .
- Окружность = соз : сов B : сов C .
- ортоцентр = сек : сек Б : сек С .
- центр девяти точек = cos ( B - C ): cos ( C - A ): cos ( A - B ).
- симедиана точка = а : б : C = грех A : Sin B : Sin C .
- A -excenter = −1: 1: 1
- B -excenter = 1: −1: 1
- C -excenter = 1: 1: -1.
Обратите внимание, что в целом центр тяжести не совпадает с центроидом ; центроид имеет барицентрические координаты 1: 1: 1 (они пропорциональны фактическим площадям со знаком треугольников BGC , CGA , AGB , где G = центроид).
Середина, например, стороны BC имеет трилинейные координаты в фактических расстояниях по боковой линии. для области треугольника , что на произвольно заданных относительных расстояниях упрощается до Координаты фактических боковых расстояний от подножия высоты от A до BC : что на чисто относительных расстояниях упрощается до [1] : стр. 96
Формулы
Коллинеарности и совпадения
Трилинейные координаты позволяют использовать многие алгебраические методы в геометрии треугольника. Например, три балла
- P = p : q : r
- U = u : v : w
- Х = х : у : г
являются коллинеарны тогда и только тогда , когда определитель
равно нулю. Таким образом, если x: y: z - переменная точка, уравнение прямой, проходящей через точки P и U, будет D = 0. [1] : p. 23 Отсюда каждая прямая имеет линейное уравнение, однородное по x, y, z . Каждое уравнение вида lx + my + nz = 0 в действительных коэффициентах представляет собой реальную прямую из конечных точек, если l: m: n не пропорционально a: b: c , длинам сторон, и в этом случае у нас есть геометрическое место указывает на бесконечность. [1] : стр. 40
Двойственность этого предложения состоит в том, что прямые
- pα + qβ + rγ = 0
- uα + vβ + wγ = 0 ,
- xα + yβ + zγ = 0
совпадают в точке (α, β, γ) тогда и только тогда, когда D = 0. [1] : p. 28 год
Кроме того, если при оценке определителя D используются фактические направленные расстояния , то площадь треугольника PUX равна KD , где K = abc / 8∆ 2 (и где ∆ - площадь треугольника ABC , как указано выше), если треугольник PUX имеет ту же ориентацию (по часовой стрелке или против часовой стрелки), что и треугольник ABC , в противном случае K = –abc / 8∆ 2 .
Параллельные линии
Две линии с трилинейными уравнениями а также параллельны тогда и только тогда, когда [1] : p. 98, # xi
где a, b, c - длины сторон.
Угол между двумя линиями
В касательных углах между двумя линиями с трилинейными уравнениями а также даны по [1] : с.50
Перпендикулярные линии
Таким образом, две строки с трилинейными уравнениями а также перпендикулярны тогда и только тогда, когда
Высота
Уравнение высоты от вершины A до стороны BC имеет вид [1] : стр.98, # x
Линия в терминах расстояний от вершин
Уравнение прямой с переменными расстояниями p, q, r от вершин A , B , C , противоположными сторонами которых являются a, b, c, имеет вид [1] : p. 97, # viii
Трилинейные координаты фактического расстояния
Трилинейные линии со значениями координат a ', b', c ', являющимися действительными перпендикулярными расстояниями сторон, удовлетворяют [1] : p. 11
для сторон треугольника a, b, c и площади. Это можно увидеть на рисунке в верхней части этой статьи, где внутренняя точка P разделяет треугольник ABC на три треугольника PBC , PCA и PAB с соответствующими площадями (1/2) aa ' , (1/2) bb' и (1/2) куб .
Расстояние между двумя точками
Расстояние d между двумя точками с трилинейными линиями фактического расстояния a i : b i : c i определяется как [1] : p. 46
или более симметричным способом
- .
Расстояние от точки до линии
Расстояние d от точки a ' : b' : c ' в трилинейных координатах фактических расстояний до прямой lx + my + nz = 0 равно [1] : p. 48
Квадратичные кривые
Уравнение конического сечения в переменной трехлинейной точке x : y : z имеет вид [1] : p.118
В нем нет ни линейных, ни постоянных членов.
Уравнение окружности радиуса r с центром в координатах фактического расстояния ( a ', b', c ' ) имеет вид [1] : стр.287
Circumconics
Уравнение в трехлинейных координатах x, y, z любой описанной коники треугольника имеет вид [1] : p. 192
Если параметры l, m, n соответственно равны длинам сторон a, b, c (или синусам углов напротив них), то уравнение дает описанную окружность . [1] : стр. 199
Каждая отдельная циркумконическая форма имеет уникальный центр. Уравнение в трехлинейных координатах описанной коники с центром x ': y': z ' имеет вид [1] : p. 203
Инконикс
Каждое коническое сечение, вписанное в треугольник, имеет уравнение в трехлинейных координатах: [1] : p. 208
причем ровно один или три из неустановленных признаков являются отрицательными.
Уравнение вписанной окружности можно упростить до [1] : с. 210, стр.214
в то время как уравнение, например, для вневписанной окружности, смежной с боковым сегментом, противоположным вершине A, можно записать как [1] : p. 215
Кубические кривые
Многие кубические кривые легко представить с помощью трилинейных координат. Например, центральная самоизосопряженная кубика Z (U, P) , как геометрическое место точки X, такое, что P -изоконъюгат X находится на прямой UX , задается детерминантным уравнением
К именованным кубикам Z (U, P) относятся следующие:
- Кубика Томсона : Z (X (2), X (1)) , где X (2) = центроид , X (1) = центр
- Кубика Фейербаха : Z (X (5), X (1)) , где X (5) = точка Фейербаха
- Кубика Дарбу : Z (X (20), X (1)) , где X (20) = точка Де Лоншана
- Кубика Нойберга : Z (X (30), X (1)) , где X (30) = точка бесконечности Эйлера .
Конверсии
Между трилинейными координатами и расстояниями от боковых сторон
Для любого выбора трилинейных координат x: y: z для определения местоположения точки фактические расстояния от точки до боковых сторон задаются выражением a '= kx , b' = ky , c '= kz, где k можно определить по формулев котором a , b , c - стороны соответственно BC , CA , AB , а ∆ - площадь ABC .
Между барицентрическими и трилинейными координатами
Точка с трилинейными координатами x : y : z имеет барицентрические координаты ax : by : cz, где a , b , c - длины сторон треугольника. И наоборот, точка с барицентриками α : β : γ имеет трилинейные координаты α / a : β / b : γ / c .
Между декартовыми и трилинейными координатами
Дан справочный треугольник ABC , выразите положение вершины B в терминах упорядоченной пары декартовых координат и представьте это алгебраически как вектор B , используя вершину C в качестве начала координат. Аналогичным образом определить вектор положения вершины А , как A . Тогда любая точка Р , связанная с эталонной треугольника АВС может быть определена в декартовой системе как вектор P = K 1 + K 2 B . Если эта точка P имеет трилинейные координаты x: y: z, то формула преобразования коэффициентов k 1 и k 2 в декартовом представлении в трилинейные координаты для длин сторон a , b , c, противоположных вершинам A , B , C ,
а формула преобразования из трилинейных координат в коэффициенты в декартовом представлении имеет вид
В более общем смысле, если выбрано произвольное начало координат, где декартовы координаты вершин известны и представлены векторами A , B и C, и если точка P имеет трилинейные координаты x : y : z , то декартовы координаты P являются средневзвешенное значение декартовых координат этих вершин с использованием барицентрических координат ax , by и cz в качестве весов. Следовательно, формула преобразования трилинейных координат x, y, z в вектор декартовых координат P точки имеет вид
где длины сторон | C - B | = а , | A - C | = b и | B - A | = с .
Смотрите также
- Теорема Морли о трисекторах # Треугольники Морли , дающие примеры множества точек, выраженных в трилинейных координатах
- Тернарный сюжет
- Теорема Вивиани
Рекомендации
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s Уильям Аллен Уитворт (1866) Трилинейные координаты и другие методы аналитической геометрии двух измерений: элементарный трактат , ссылка на монографии по исторической математике Корнельского университета .
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Трехлинейные координаты» . MathWorld .
- Энциклопедия треугольных центров - ETC Кларка Кимберлинга; имеет трилинейные координаты (и барицентрические) для более чем 7000 центров треугольников