В геометрии , теорема Аполлония в является теорема , связывающая длину медианы в виде треугольника с длинами его сторон. В нем говорится, что «сумма квадратов любых двух сторон любого треугольника равна удвоенному квадрату на половине третьей стороны вместе с удвоенным квадратом на медиане, делящей пополам третью сторону».
В частности, в любом треугольнике ABC , если AD - медиана, то
Это частный случай теоремы Стюарта . Для равнобедренного треугольника с | AB | = | AC | , медиана AD перпендикулярна BC, и теорема сводится к теореме Пифагора для треугольника ADB (или треугольника ADC ). Из того, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, теорема эквивалентна закону параллелограмма .
Теорема названа в честь древнегреческого математика Аполлония Пергского .
Доказательство
Теорема может быть доказана как частный случай теоремы Стюарта или может быть доказана с использованием векторов (см. Закон параллелограмма ). Следующее - независимое доказательство, использующее закон косинусов. [1]
Пусть треугольник имеет стороны a , b , c, а медиана d проведена к стороне a . Пусть m будет длиной сегментов a, образованных медианой, поэтому m равно половине a . Пусть углы, образованные между a и d , равны θ и θ ′ , где θ включает b, а θ ′ включает c . Тогда θ ′ является дополнением к θ и cos θ ′ = −cos θ . Закон косинусов для & thetas и О ' состояний,
Складываем первое и третье уравнения, чтобы получить
как требуется.
Рекомендации
- ^ Годфри, Чарльз; Сиддонс, Артур Уорри (1908). Современная геометрия . University Press. п. 20 .
Внешние ссылки
- Теорема Аполлония в PlanetMath .
- Дэвид Б. Суровски: Высшая математика средней школы . п. 27