В геометрии , Наполеон точки являются парой специальных точек , связанных с плоскостью треугольника . Обычно считается, что существование этих точек было обнаружено Наполеоном Бонапартом , императором Франции с 1804 по 1815 год, но многие ставят под сомнение это мнение. [1] Наполеон точка треугольник центры , и они перечислены в качестве точек X (17) и Х (18) в Кларке Kimberling «ы Энциклопедии Triangle центров .
Название «точки Наполеона» также применялось к другой паре центров треугольника, более известной как изодинамические точки . [2]
Определение точек
Первая точка Наполеона
Пусть ABC - произвольный плоский треугольник . На сторонах треугольника BC , CA , AB постройте нарисованные наружу равносторонние треугольники DBC , ECA и FAB соответственно. Пусть центроиды этих треугольников равны X , Y и Z соответственно. Тогда прямые AX , BY и CZ являются одновременно . Точка совпадения N1 - это первая точка Наполеона или внешняя точка Наполеона треугольника ABC .
Треугольник XYZ называется внешним треугольником Наполеона треугольника ABC . Теорема Наполеона утверждает, что этот треугольник является равносторонним треугольником .
В Clark Kimberling «s Энциклопедия Triangle центров , первая точка Наполеона обозначается X (17). [3]
- В трилинейные координаты из N1:
- В барицентрические координаты из N1:
Вторая точка Наполеона
Пусть ABC - произвольный плоский треугольник . На сторонах треугольника BC , CA , AB постройте нарисованные внутрь равносторонние треугольники DBC , ECA и FAB соответственно. Пусть центроиды этих треугольников равны X , Y и Z соответственно. Тогда линии AX , BY и CZ параллельны. Точка совпадения N2 - это вторая точка Наполеона или внутренняя точка Наполеона треугольника ABC .
Треугольник XYZ называется внутренним треугольником Наполеона треугольника ABC . Теорема Наполеона утверждает, что этот треугольник является равносторонним треугольником.
В Энциклопедии центров треугольников Кларка Кимберлинга вторая точка Наполеона обозначена X (18). [3]
- Трилинейные координаты N2:
- Барицентрические координаты N2:
Две точки, тесно связанные с точками Наполеона, - это точки Ферма-Торричелли (X13 и X14 ETC). Если вместо построения линий, соединяющих центроиды равносторонних треугольников с соответствующими вершинами, теперь построить линии, соединяющие вершины равносторонних треугольников с соответствующими вершинами треугольника, то три построенные таким образом линии снова будут параллельными. Точки совпадения называются точками Ферма-Торричелли, иногда обозначаются F1 и F2. Пересечение линии Ферма (т. Е. Линии, соединяющей две точки Ферма-Торричелли) и линии Наполеона (т. Е. Линии, соединяющей две точки Наполеона) является симедианной точкой треугольника (X6 ETC).
Обобщения
Результаты о существовании точек Наполеона можно обобщить по-разному. При определении точек Наполеона мы начинаем с равносторонних треугольников, нарисованных на сторонах треугольника ABC, а затем рассматриваем центры X , Y и Z этих треугольников. Эти центры можно представить как вершины равнобедренных треугольников, воздвигнутых на сторонах треугольника ABC с углами основания, равными π / 6 (30 градусов). Обобщения стремятся определить другие треугольники, которые при возведении над сторонами треугольника ABC имеют параллельные линии, соединяющие их внешние вершины и вершины треугольника ABC .
Равнобедренные треугольники
Это обобщение утверждает следующее: [4]
- Если три треугольника XBC, YCA и ZAB, построенные на сторонах данного треугольника ABC в качестве оснований, подобны , равнобедренны и расположены одинаково, то прямые AX, BY, CZ совпадают в точке N.
Если общий базовый угол равен , то вершины трех треугольников имеют следующие трилинейные координаты.
Трилинейные координаты N равны
Интересны несколько частных случаев.
Значение θ; Точка N 0 G , центр тяжести треугольника ABC π / 2 (или - π / 2) O , ортоцентр треугольника ABC π / 4 (или - π / 4) В пунктах Vecten π / 6 N1, первая точка Наполеона (X17) - π / 6 N2, вторая точка Наполеона (X18) π / 3 F1, первая точка Ферма – Торричелли (X13) - π / 3 F2, вторая точка Ферма – Торричелли (X14) - A (если A < π / 2)
π - A (если A > π / 2)Вершина A - B (если B < π / 2)
π - B (если B > π / 2)Вершина B - C (если C < π / 2)
π - C (если C > π / 2)Вершина C
Кроме того, локус из N в качестве базового углаизменяется от - π / 2 до π / 2 - коническая
Эта коника представляет собой прямоугольную гиперболу и называется гиперболой Киперта в честь Людвига Киперта (1846–1934), математика, открывшего этот результат. [4] Эта гипербола - единственная коника, которая проходит через пять точек A, B, C, G и O.
Подобные треугольники
Три треугольника XBC , YCA , ZAB, возведенные над сторонами треугольника ABC, не обязательно должны быть равнобедренными, чтобы три прямые AX , BY , CZ проходили параллельно. [5]
- Если похожие треугольники XBC, AYC, ABZ построены снаружи на сторонах любого треугольника ABC, то прямые AX, BY и CZ параллельны.
Произвольные треугольники
Совпадение линий AX , BY и CZ сохраняется даже в очень расслабленных условиях. Следующий результат устанавливает одно из самых общих условий для параллельности линий AX , BY , CZ . [5]
- Если треугольники XBC, YCA, ZAB построены снаружи на сторонах любого треугольника ABC так, что
- ∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY,
- тогда линии AX, BY и CZ параллельны.
Точка параллелизма известна как точка Якоби .
История
Кокстер и Грейцер формулируют теорему Наполеона следующим образом: если равносторонние треугольники возведены снаружи на сторонах любого треугольника, их центры образуют равносторонний треугольник . Они отмечают, что Наполеон Бонапарт был немного математиком с большим интересом к геометрии. Однако они сомневаются, что Наполеон знал достаточно геометрии, чтобы открыть приписываемую ему теорему. [1]
Самым ранним зарегистрированным появлением результата, воплощенного в теореме Наполеона, является статья в «Дамском дневнике», опубликованная в 1825 году. «Женский дневник» был ежегодным периодическим изданием, выходившим в Лондоне с 1704 по 1841 год. вопрос, заданный В. Резерфордом, Вудберн.
- VII. Квест. (1439); г-на У. Резерфорда, Вудберн ". Опишите равносторонние треугольники (все вершины обращены либо наружу, либо все внутрь) на трех сторонах любого треугольника ABC: тогда линии, соединяющие центры тяжести этих трех равносторонних треугольников, образуют линию равносторонний треугольник. Требуется демонстрация ".
Однако в этом вопросе нет упоминания о существовании так называемых точек Наполеона. Кристоф Скриба , немецкий историк математики , изучал проблему приписывания точек Наполеона Наполеону в статье в Historia Mathematica . [6]
Смотрите также
- Центр треугольника
- Теорема Наполеона
- Проблема Наполеона
- Теорема Ван Обеля
- Точка Ферма
Рекомендации
- ^ a b Кокстер, HSM; Грейцер, SL (1967). Возвращение к геометрии . Математическая ассоциация Америки. стр. 61 -64.
- ^ Ригби, Дж. Ф. (1988). «Возвращение к Наполеону». Журнал геометрии . 33 (1–2): 129–146. DOI : 10.1007 / BF01230612 . Руководство по ремонту 0963992 . S2CID 189876799 .
- ^ а б Кимберлинг, Кларк. «Энциклопедия треугольных центров» . Проверено 2 мая 2012 года .
- ^ а б Эдди, Р.Х .; Фрич Р. (июнь 1994 г.). «Коники Людвига Киперта: всеобъемлющий урок геометрии треугольника» (PDF) . Математический журнал . 67 (3): 188–205. DOI : 10.2307 / 2690610 . JSTOR 2690610 . Проверено 26 апреля 2012 года .
- ^ а б де Вильерс, Майкл (2009). Некоторые приключения в евклидовой геометрии . Динамическое обучение математике. С. 138–140. ISBN 9780557102952.
- ^ Скриба, Кристоф Дж (1981). "Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen?" . Historia Mathematica . 8 (4): 458–459. DOI : 10.1016 / 0315-0860 (81) 90054-9 .
дальнейшее чтение
- Стахель, Хельмут (2002). "Теорема Наполеона и обобщения через линейные карты" (PDF) . Вклад в алгебру и геометрию . 43 (2): 433–444 . Проверено 25 апреля 2012 года .
- Грюнбаум, Бранко (2001). «Родственник« теоремы Наполеона » » (PDF) . Геомбинаторика . 10 : 116–121 . Проверено 25 апреля 2012 года .
- Катриен Вандермейлен; и другие. "Наполеон, математик?" . Математика для Европы. Архивировано из оригинального 30 августа 2012 года . Проверено 25 апреля 2012 года .
- Богомольный Александр . «Теорема Наполеона» . Разрежьте узел! Интерактивная колонка с использованием Java-апплетов . Проверено 25 апреля 2012 года .
- «Точка Наполеона и точки Наполеона» . Архивировано из оригинального 21 января 2012 года . Проверено 24 апреля 2012 года .
- Вайсштейн, Эрик В. «Очки Наполеона» . Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram . Проверено 24 апреля 2012 года .
- Филип Лафлер. «Теорема Наполеона» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 7 сентября 2012 года . Проверено 24 апреля 2012 года .
- Ветцель, Джон Э. (апрель 1992 г.). "Обращения теоремы Наполеона" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 29 апреля 2014 года . Проверено 24 апреля 2012 года .