В геометрии , то вписанный в медиальном треугольнике треугольника является Spieker круг , названный в честь 19-го века немецкого геометра Теодора Spieker . [1] Его центр, центр Шпикера , помимо того, что является центром среднего треугольника, является центром масс границы треугольника с однородной плотностью. [1] Центр Шпикера - это также точка, где все три скалывателя треугольника (биссектрисы периметра с концом в средней точке стороны) пересекаются друг с другом. [1]
История [ править ]
Круг Шпикера и центр Шпикера названы в честь Теодора Шпикера , математика и профессора из Потсдама, Германия. [ необходимая цитата ] В 1862 году он опубликовал Lehrbuch der ebenen geometrie mit übungsaufgaben für höhere lehranstalten , посвященный плоской геометрии. [ необходимая цитата ] Благодаря этой публикации, повлиявшей на жизнь многих известных ученых и математиков, включая Альберта Эйнштейна , Шпикер стал математиком, в честь которого были названы круг и центр Шпикера. [1]
Строительство [ править ]
Чтобы найти круг Шпикера треугольника, необходимо сначала построить средний треугольник из середин каждой стороны исходного треугольника. [1] Затем окружность строится таким образом, что каждая сторона среднего треугольника касается окружности внутри среднего треугольника, образуя вписанную окружность . [1] Этот центр круга называется центром Шпикера.
Точки и линии Нагеля [ править ]
Круги Шпикера также имеют отношение к точкам Нагеля . Вписанный треугольника и точка Nagel образует линию внутри круга Spieker. Середина этого отрезка линии - центр Шпикера. [1] Линия Нагеля образована центром треугольника, точкой Нагеля и центром тяжести треугольника. [1] Центр Шпикера всегда будет находиться на этой линии. [1]
Девятиконечная окружность и линия Эйлера [ править ]
Круги Шпикера были впервые обнаружены Джулианом Кулиджем очень похожими на круги из девяти точек . В то время он еще не был идентифицирован как круг Шпикера, но во всей книге упоминается как «круг P». [2] Круг из девяти точек с линией Эйлера и круг Шпикера с линией Нагеля аналогичны друг другу, но не двойственны , а имеют двойное сходство. [1] Одно сходство между кругом из девяти точек и кругом Шпикера связано с их построением. Круг из девяти точек - это описанный круг среднего треугольника, а круг Шпикера - это вписанный круг среднего треугольника. [2]Что касается связанных с ними линий, центр окружности линии Нагеля относится к центру описанной окружности линии Эйлера. [1] Другой аналогичной точкой является точка Нагеля и отоцентр , при этом точка Нагеля связана с кругом Шпикера, а ортоцентр - с кругом из девяти точек. [1] Каждый круг пересекает стороны среднего треугольника, где прямые, идущие от ортоцентра или точки Нагеля к вершинам исходного треугольника, пересекаются со сторонами среднего треугольника. [2]
Шпикер конический [ править ]
Окружность из девяти точек с линией Эйлера была обобщена в конику из девяти точек. [1] С помощью аналогичного процесса, благодаря аналогичным свойствам двух окружностей, круг Шпикера также можно было обобщить в конику Шпикера. [1] Коника Шпикера все еще находится внутри среднего треугольника и касается каждой стороны среднего треугольника, однако не пересекает эти стороны треугольника в тех же точках. Если линии построены от каждой вершины среднего треугольника до точки Нагеля, то можно найти середину каждой из этих линий. [3] Кроме того, средние точки каждой стороны среднего треугольника находятся и соединяются со средней точкой противоположной линии через точку Нагеля. [3]Каждая из этих линий имеет общую среднюю точку S. [3] Каждая из этих линий отражается через S, в результате получается 6 точек внутри среднего треугольника. Проведите конус через любые 5 из этих отраженных точек, и конус коснется конечной точки. [1] Это было доказано де Вильерсом в 2006 году. [1]
Радикальный круг Шпикера [ править ]
Радикальный круг Шпикера - это круг с центром в центре Шпикера, который ортогонален трем вневписанным окружностям среднего треугольника. [4] [5]
Ссылки [ править ]
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p де Вильерс, Майкл (июнь 2006 г.). «Обобщение круга Шпикера и линии Нагеля». Пифагор . 63 : 30–37.
- ^ a b c Кулидж, Джулиан Л. (1916). Трактат о круге и сфере . Издательство Оксфордского университета. С. 53–57.
- ^ a b c де Вильерс, М. (2007). «Коника Шпикера и обобщение линии Нэгла» . Динамическое обучение математике .
- ^ Weisstein, Эрик В. "Исключает радикальный круг" . MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Радикальный круг" . MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram .
- Джонсон, Роджер А. (1929). Современная геометрия . Бостон: Хоутон Миффлин. Репринт Дувра, 1960.
- Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Congressus Numerantium . 129 : i – xxv, 1–295.
Внешние ссылки [ править ]
- Коника Шпикера и обобщение линии Нагеля в эскизах динамической геометрии Обобщает круг Шпикера и связанную с ним линию Нагеля.
