Теорема о высоте прямоугольного треугольника или теорема о среднем геометрическом является результатом элементарной геометрии, который описывает отношение между длинами высоты на гипотенузе в прямоугольном треугольнике и двумя отрезками линии, которые он создает на гипотенузе. В нем указано, что среднее геометрическое двух сегментов равно высоте.
Теорема и приложения
Если h обозначает высоту в прямоугольном треугольнике, а p и q - отрезки гипотенузы, то теорему можно сформулировать так: [1]
или по площадям:
Последняя версия дает метод возведения прямоугольника в квадрат с помощью линейки и циркуля , то есть построение квадрата равной площади данному прямоугольнику. Для такого прямоугольника со сторонами р и ц мы обозначим его верхнюю левую вершину с D . Теперь мы расширяем отрезок q влево на p (используя дугу AE с центром на D ) и рисуем полукруг с концами A и B с новым отрезком p + q в качестве его диаметра. Тогда мы возвести перпендикулярную линию к диаметру в D , который пересекает половину окружности в С . Из-за теоремы Фалеса C и диаметр образуют прямоугольный треугольник с отрезком DC в качестве высоты, следовательно, DC - это сторона квадрата с площадью прямоугольника. Этот метод также позволяет строить квадратные корни (см. Конструктивное число ), поскольку, начиная с прямоугольника шириной 1, построенный квадрат будет иметь длину стороны, равную квадратному корню из длины прямоугольника. [1]
Другое приложение обеспечивает геометрическое доказательство неравенства AM – GM в случае двух чисел. По числам p и q строится полукруг диаметром p + q . Теперь высота представляет собой среднее геометрическое, а радиус - среднее арифметическое двух чисел. Поскольку высота всегда меньше или равна радиусу, отсюда следует неравенство. [2]
Теорема также может рассматриваться как частный случай теоремы о пересечении хорд для окружности, поскольку обратная теореме Фалеса гарантирует, что гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром его описанной окружности . [1]
Верно и обратное утверждение. Любой треугольник, в котором высота равна среднему геометрическому двух отрезков, созданных им, является прямоугольным треугольником.
История
Эту теорему обычно приписывают Евклиду (около 360–280 гг. До н.э.), который сформулировал ее как следствие предложения 8 в книге VI своих « Элементов» . В предложении 14 книги II Евклид дает метод возведения прямоугольника в квадрат, который по существу совпадает с методом, приведенным здесь. Евклид, однако, предоставляет иное, немного более сложное доказательство правильности конструкции, а не полагается на теорему о среднем геометрическом. [1] [3]
Доказательство
На основании сходства
Доказательство теоремы :
Треугольники а также являются похожи , так как :
- рассмотрите треугольники , здесь у нас есть а также , поэтому по постулату АА
- далее рассмотрим треугольники , здесь у нас есть а также , поэтому по постулату АА
Следовательно, оба треугольника а также похожи на и сами, т.е. .
Из-за подобия получаем следующее равенство соотношений, и его алгебраическая перестановка дает теорему :. [1]
Доказательство обратного:
Для обратного имеем треугольник в котором выполняется и нужно показать, что угол при C является прямым. Теперь из-за у нас также есть . Вместе с треугольники а также имеют одинаковый угол и соответствующие пары ножек с одинаковым соотношением сторон. Это означает, что треугольники похожи, что дает:
На основе теоремы Пифагора
В постановке теоремы о среднем геометрическом есть три прямоугольных треугольника , а также , из которого теорема Пифагора дает:
- , а также
Сложение первых двух двух уравнений и последующее использование третьего приводит к:
- .
Деление на два в итоге дает формулу теоремы о среднем геометрическом. [4]
На основании вскрытия и перестановки
Разрезание прямоугольного треугольника по высоте h дает два подобных треугольника, которые можно увеличить и расположить двумя альтернативными способами в больший прямоугольный треугольник с перпендикулярными сторонами длиной p + h и q + h . Для одного такого расположения требуется квадрат площадью h 2, а для другого - прямоугольник площадью pq . Поскольку оба расположения дают один и тот же треугольник, площади квадрата и прямоугольника должны быть идентичными.
На основе сопоставлений сдвига
Квадрат высоты можно преобразовать в прямоугольник равной площади со сторонами p и q с помощью трех отображений сдвига (отображения сдвига сохраняют площадь):
Рекомендации
- ^ a b c d e * Хартмут Веллштейн, Питер Кирше: Элементаргеометрия . Springer, 2009, ISBN 9783834808561 , стр. 76–77 (немецкий, онлайн-копия , стр. 76, в Google Книгах )
- ^ Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: иконы математики: исследование двадцати ключевых образов . MAA 2011, ISBN 9780883853528 , стр. 31–32 ( онлайн-копия , стр. 31, в Google Книгах )
- ^ Евклид : Элементы , книга II - опора. 14, книга VI - проп. 8, ( онлайн-копия )
- ^ Илька Агрикола , Томас Фридрих: Элементарная геометрия . AMS 2008, ISBN 9780821843475 , стр. 25 ( онлайн-копия , стр. 25, в Google Книгах )