Средняя ширина

В геометрии средняя ширина - это мера «размера» тела; см . теорему Хадвигера, чтобы узнать больше о доступных измерениях тел. В${\ displaystyle n}$ размеры, нужно учитывать ${\ Displaystyle (п-1)}$-мерные гиперплоскости, перпендикулярные заданному направлению ${\ Displaystyle {\ шляпа {п}}}$ в ${\ displaystyle S ^ {n-1}}$, куда ${\ Displaystyle S ^ {п}}$является п-сфера (поверхность${\ Displaystyle (п + 1)}$-мерная сфера). «Ширина» тела в заданном направлении.${\ Displaystyle {\ шляпа {п}}}$- это расстояние между ближайшей парой таких плоскостей, при котором тело полностью находится между двумя гиперплоскостями (плоскости пересекаются только с границей тела). Средняя ширина - это среднее значение этой «ширины» по всем${\ Displaystyle {\ шляпа {п}}}$ в ${\ displaystyle S ^ {n-1}}$.

Определение «ширины» тела B по направлению ${\ Displaystyle {\ шляпа {п}}}$ в 2-х измерениях.

Более формально, определим компактное тело B как эквивалентное множеству точек внутри него плюс точки на границе (здесь точки обозначают элементы ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$). Опорная функция тела B определяется как

${\ displaystyle h_ {B} (n) = \ max \ {\ langle n, x \ rangle | x \ in B \}}$

куда ${\ displaystyle n}$ это направление и ${\ Displaystyle \ langle, \ rangle}$ обозначает обычный внутренний продукт на ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$. Средняя ширина тогда

${\ displaystyle b (B) = {\ frac {1} {S_ {n-1}}} \ int _ {S ^ {n-1}} h_ {B} ({\ hat {n}}) + h_ {B} (- {\ hat {n}}),}$

куда ${\ displaystyle S_ {n-1}}$ это ${\ Displaystyle (п-1)}$-размерный объем ${\ displaystyle S ^ {n-1}}$. Обратите внимание, что средняя ширина может быть определена для любого тела (которое является компактным), но это наиболее полезно для выпуклых тел (то есть тел, для которых соответствующее множество является выпуклым множеством ).

Средняя ширина выпуклых тел в малых размерах

Одно измерение

Средняя ширина сегмента линии L представляет собой длину (1-объем) L .

Два измерения

Средняя ширина ш любого компакта формы S в двух измерениях является р / π, где р представляет собой периметр выпуклой оболочки из S . Таким образом, w - это диаметр круга с таким же периметром, что и выпуклая оболочка.

Три измерения

Для выпуклых тел K в трех измерениях, средняя ширина K связана среднее значение средней кривизны , Н , по всей поверхности K . По факту,

${\ displaystyle \ int _ {\ delta K} {\ frac {H} {2 \ pi}} dS = b (K)}$

куда ${\ displaystyle \ delta K}$ граница выпуклого тела ${\ displaystyle K}$ и ${\ displaystyle dS}$интегральный элемент поверхности, ${\ displaystyle H}$- средняя кривизна в соответствующем положении на${\ displaystyle \ delta K}$. Аналогичные соотношения могут быть установлены между другими мерами и обобщениями средней кривизны, а также для других измерений. ^[1] Поскольку интеграл по средней кривизне обычно намного проще вычислить, чем среднюю ширину, это очень полезный результат.

См. Также

• Кривая постоянной ширины

Ссылки

Дальнейшее чтение

Средняя ширина обычно упоминается в любом хорошем справочнике по выпуклой геометрии, например, « Избранные темы выпуклой геометрии » Марии Мошиньской (Birkhäuser, Boston 2006). Соотношение между средней шириной и средней кривизной также выводится в этой ссылке.

Применение средней ширины в качестве одной из мер, фигурирующих в теореме Хадвигера, обсуждается у Бейфанг Чена в «Упрощенном элементарном доказательстве теоремы Хадвигера об объеме». Геом. Dedicata 105 (2004), 107–120.