Механическое равновесие

Объект, лежащий на поверхности, и соответствующая диаграмма свободного тела, показывающая силы, действующие на объект. Нормальная сила N равна, напротив, и коллинеарны силы тяжести мг , так что результирующая сила и момент равен нулю. Следовательно, объект находится в состоянии статического механического равновесия.

В классической механике , А частица находится в механическом равновесии , если равнодействующая сила на этой частицы равна нулю. ^[1]^{: 39} В более широком смысле, физическая система, состоящая из многих частей, находится в механическом равновесии, если результирующая сила на каждой из ее отдельных частей равна нулю. ^[1]^{: 45–46}^[2]

В дополнение к определению механического равновесия в терминах силы существует множество альтернативных определений механического равновесия, которые все математически эквивалентны. С точки зрения количества движения, система находится в равновесии, если импульс всех ее частей постоянен. С точки зрения скорости, система находится в равновесии, если скорость постоянна. Во вращательном механическом равновесии угловой момент объекта сохраняется, а чистый крутящий момент равен нулю. ^[2] В более общем смысле, в консервативных системах , равновесие устанавливаются в точке , в конфигурационном пространстве , где градиент от потенциальной энергии по отношению к обобщенным координатам равно нуль.

Если частица в равновесии имеет нулевую скорость, эта частица находится в статическом равновесии. ^[3]^[4] Так как все частицы в равновесии имеют постоянную скорость, всегда можно найти инерциальную систему отсчета, в которой частица неподвижна относительно системы отсчета.

Стабильность [ править ]

Важным свойством систем в механическом равновесии является их устойчивость .

Тест на потенциальную энергетическую стабильность [ править ]

Если у нас есть функция, описывающая потенциальную энергию системы, мы можем определить ее равновесие с помощью расчетов. Система находится в механическом равновесии в критических точках функции, описывающей потенциальную энергию системы. Мы можем найти эти точки, используя тот факт, что производная функции в этих точках равна нулю. Чтобы определить, является ли система стабильной или нестабильной, мы применяем тест второй производной . С обозначая статическое уравнение движения системы с одной степенью свободы , мы можем выполнить следующие расчеты: ${\ displaystyle V}$

Схема шара, находящегося в неустойчивом равновесии.

Вторая производная <0: Потенциальная энергия находится на локальном максимуме, что означает, что система находится в состоянии неустойчивого равновесия. Если система перемещается на сколь угодно малое расстояние от состояния равновесия, силы системы заставляют ее перемещаться еще дальше:; ${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial q ^ {2}}}> 0}$

Схема шара, находящегося в устойчивом равновесии.

Вторая производная> 0: Потенциальная энергия находится на локальном минимуме. Это стабильное равновесие. Реакцией на небольшое возмущение являются силы, стремящиеся восстановить равновесие. Если для системы возможно более одного устойчивого состояния равновесия, любые состояния равновесия, потенциальная энергия которых выше абсолютного минимума, представляют собой метастабильные состояния:; ${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial q ^ {2}}} <0}$

Схема шара, помещенного в нейтральное положение.

Вторая производная = 0 или не существует: Состояние нейтрально до низшего порядка и почти остается в равновесии при небольшом смещении. Чтобы исследовать точную устойчивость системы, необходимо исследовать производные более высокого порядка . Состояние является нестабильным, если наименьшая ненулевая производная имеет нечетный порядок или имеет отрицательное значение, стабильным, если наименьшая ненулевая производная имеет четный порядок и положительное значение, и нейтральное, если все производные более высокого порядка равны нулю. В истинно нейтральном состоянии энергия не меняется, а состояние равновесия имеет конечную ширину. Иногда это состояние называют незначительно стабильным или состоянием безразличия.

При рассмотрении более чем одного измерения можно получить разные результаты в разных направлениях, например, устойчивость относительно смещений в x- направлении, но нестабильность в y- направлении, случай, известный как седловая точка . Обычно равновесие считается устойчивым, только если оно стабильно во всех направлениях.

Статически неопределимая система [ править ]

Иногда информации о силах, действующих на тело, недостаточно, чтобы определить, находится ли оно в равновесии или нет. Это делает его статически неопределимой системой.

Примеры [ править ]

Стационарный объект (или набор объектов) находится в «статическом равновесии», которое является частным случаем механического равновесия. Пресс-папье на столе - пример статического равновесия. Другие примеры включают скульптуру баланса камня или стопку блоков в игре Jenga , если скульптура или стопка блоков не находятся в состоянии обрушения .

Движущиеся объекты также могут находиться в равновесии. Ребенок, скользящий по горке с постоянной скоростью, будет находиться в механическом равновесии, но не в статическом равновесии (в системе отсчета земли или горки).

Другой пример механического равновесия - это человек, прижимающий пружину к определенной точке. Он или она может подтолкнуть его к произвольной точке и удерживать там, при этом сжимающая нагрузка и реакция пружины равны. В этом состоянии система находится в механическом равновесии. Когда сила сжатия снимается, пружина возвращается в исходное состояние.

Особый интерес представляет минимальное количество статических равновесий однородных выпуклых тел (когда они находятся под действием силы тяжести на горизонтальной поверхности). В плоском случае минимальное число равно 4, в то время как в трех измерениях можно построить объект только с одной устойчивой и одной неустойчивой точкой равновесия. ^{[ необходима цитата ]} Такой объект называется gömböc .

См. Также [ править ]

Динамическое равновесие
Инженерная механика
Метастабильность
Статически неопределенный
Статика
Гидростатическое равновесие

Примечания и ссылки [ править ]

^ а б Джон Л. Синдж и Байрон А. Гриффит (1949). Принципы механики (2-е изд.). Макгроу-Хилл.
^ a b Beer FP, Johnston ER, Mazurek DF, Cornell PJ и Eisenberg, ER (2009). Векторная механика для инженеров: статика и динамика (9-е изд.). Макгроу-Хилл. п. 158.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Герберт Чарльз Corben и Филипп Stehle (1994). Классическая механика (Перепечатка второго изд. 1960 г.). Courier Dover Publications. п. 113. ISBN 0-486-68063-0.
^ Лакшмана К. Рао; Дж. Лакшминарасимхан; Раджу Сетураман; Сринивасан М. Сивакумар (2004). Инженерная механика . PHI Learning Pvt. ООО п. 6. ISBN 81-203-2189-8.

Дальнейшее чтение [ править ]

Марион Дж. Б. и Торнтон СТ. (1995) Классическая динамика частиц и систем. Четвертое издание, Harcourt Brace & Company.

[Synge-1] а б Джон Л. Синдж и Байрон А. Гриффит (1949). Принципы механики (2-е изд.). Макгроу-Хилл.

[beer-2] Beer FP, Johnston ER, Mazurek DF, Cornell PJ и Eisenberg, ER (2009). Векторная механика для инженеров: статика и динамика (9-е изд.). Макгроу-Хилл. п. 158.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[Stehle-3] Герберт Чарльз Corben и Филипп Stehle (1994). Классическая механика (Перепечатка второго изд. 1960 г.). Courier Dover Publications. п. 113. ISBN 0-486-68063-0.

[Rao-4] Лакшмана К. Рао; Дж. Лакшминарасимхан; Раджу Сетураман; Сринивасан М. Сивакумар (2004). Инженерная механика . PHI Learning Pvt. ООО п. 6. ISBN 81-203-2189-8.

[1]