В математике , интегральные кривой является параметрическим кривым , которая представляет собой конкретное решение с обыкновенным дифференциальным уравнением или систему уравнений. Если дифференциальное уравнение представлено в виде векторного поля или поля наклонов , то соответствующие интегральные кривые касаются поля в каждой точке.
Интегральные кривые известны под разными другими названиями, в зависимости от природы и интерпретации дифференциального уравнения или векторного поля. В физике , интегральные кривые для электрического поля или магнитного поля , известны как силовые линии и интегральные кривые для поля скоростей в виде жидкостей известны как линии ток . В динамических системах интегральные кривые для дифференциального уравнения, управляющего системой , называются траекториями или орбитами .
Определение
Предположим, что F - векторное поле : то есть вектор-функция с декартовыми координатами ( F 1 , F 2 , ..., F n ); и x ( t ) параметрическая кривая с декартовыми координатами ( x 1 ( t ), x 2 ( t ), ..., x n ( t )). Тогда х ( т ) является интегральной кривой из F , если она является решением следующей автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
Такую систему можно записать как одно векторное уравнение
Это уравнение говорит, что вектор, касающийся кривой в любой точке x ( t ) вдоль кривой, в точности является вектором F ( x ( t )), и поэтому кривая x ( t ) касается в каждой точке векторного поля F .
Если данное векторное поле липшицево , то из теоремы Пикара – Линделёфа следует, что существует единственный поток для малого времени.
Обобщение на дифференцируемые многообразия.
Определение
Пусть M - банахово многообразие класса C r с r ≥ 2. Как обычно, T M обозначает касательное расслоение к M с его естественной проекцией π M : T M → M, задаваемой формулой
Векторное поле на M - это сечение касательного расслоения T M , т. Е. Присвоение каждой точке многообразия M касательного вектора к M в этой точке. Пусть Х векторное поле на М из класса C г -1 , и пусть р ∈ M . Интегральные кривой для Х , проходящих через р в момент времени Т 0 являются кривым α : J → М класса С г -1 , определенные на открытом интервале J от реальной линии R , содержащей т 0 , таким образом, что
Связь с обыкновенными дифференциальными уравнениями
Приведенное выше определение интегральной кривой α для векторного поля X , проходящего через точку p в момент времени t 0 , аналогично утверждению, что α является локальным решением обыкновенного дифференциального уравнения / задачи с начальным значением
Он локален в том смысле, что определен только для моментов времени в J и не обязательно для всех t ≥ t 0 (не говоря уже о t ≤ t 0 ). Таким образом, проблема доказательства существования и единственности интегральных кривых такая же, как и проблема поиска решений обыкновенных дифференциальных уравнений / задач с начальным значением и демонстрации их единственности.
Замечания о производной по времени
Выше α '( t ) обозначает производную α в момент времени t , «направление α указывает» во время t . С более абстрактной точки зрения, это производная Фреше :
В частном случае, когда М является некоторое открытое подмножество из R п , это знаком производной
где α 1 , ..., α n - координаты для α относительно обычных координатных направлений.
То же самое можно сформулировать еще более абстрактно в терминах индуцированных карт . Заметим, что касательное расслоение T J к J является тривиальным расслоением J × R и существует каноническое сечение ι этого расслоения такое, что ι ( t ) = 1 (или, точнее, ( t , 1) ∈ ι ) для всех т ∈ J . Кривая α индуцирует отображение расслоения α ∗ : T J → T M, так что следующая диаграмма коммутирует:
Тогда производная по времени α 'является композиция , α ' = α * о ι и α '( т ) является его значение в некоторой точке т ∈ J .
Рекомендации
- Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Ридинг, Массачусетс - Лондон - Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.