Обратный метод Эйлера

В численном анализе и научных вычислениях , то в обратном направлении метод Эйлера (или неявный метод Эйлера ) является одним из самых основных численных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Он похож на (стандартный) метод Эйлера , но отличается тем, что является неявным методом . Обратный метод Эйлера имеет ошибку первого порядка по времени.

Описание [ править ]

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} = f (t, y)}$

с начальным значением Здесь известны функция и начальные данные и ; функция зависит от действительной переменной и неизвестна. Численный метод дает последовательность , которая приближается , где называется размером шага.${\ displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0}.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle y_ {0}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle y_ {k}}$${\ displaystyle y (t_ {0} + kh)}$${\ displaystyle h}$

Обратный метод Эйлера вычисляет приближения с использованием

${\ displaystyle y_ {k + 1} = y_ {k} + hf (t_ {k + 1}, y_ {k + 1}).}$ ^[1]

Это отличается от (прямого) метода Эйлера тем, что прямой метод использует вместо .${\ displaystyle f (t_ {k}, y_ {k})}$${\ displaystyle f (t_ {k + 1}, y_ {k + 1})}$

Обратный метод Эйлера - это неявный метод: новое приближение появляется с обеих сторон уравнения, и, следовательно, метод должен решить алгебраическое уравнение относительно неизвестного . Для нежестких задач это можно сделать с помощью итерации с фиксированной точкой :${\ displaystyle y_ {k + 1}}$${\ displaystyle y_ {k + 1}}$

${\displaystyle y_{k+1}^{[0]}=y_{k},\quad y_{k+1}^{[i+1]}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[i]}).}$

Если эта последовательность сходится (в пределах заданного допуска), тогда метод принимает свой предел в качестве нового приближения . ^[2]${\displaystyle y_{k+1}}$

В качестве альтернативы можно использовать (некоторую модификацию) метод Ньютона – Рафсона для решения алгебраического уравнения.

Вывод [ править ]

Интегрирование дифференциального уравнения от до дает${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$

${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.}$

Теперь аппроксимируем интеграл справа методом правого прямоугольника (с одним прямоугольником):

${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})\approx hf(t_{n+1},y(t_{n+1})).}$

Наконец, используйте это, как предполагается, для аппроксимации, и формула обратного метода Эйлера следует. ^[3]${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle y(t_{n})}$

Те же рассуждения приводят к (стандартному) методу Эйлера, если использовать правило левого прямоугольника вместо правого.

Анализ [ править ]

Розовая область за пределами диска показывает область устойчивости обратного метода Эйлера.

Обратный метод Эйлера имеет порядок один. Это означает , что локальная ошибка усечения (определяется как ошибки , сделанные в одном шаге) , используя большое обозначение O . Ошибка в определенное время есть .${\displaystyle O(h^{2})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle O(h)}$

Область абсолютной устойчивости для обратного метода Эйлера - это дополнение в комплексной плоскости диска с радиусом 1 с центром в 1, изображенным на рисунке. ^[4] Сюда входит вся левая половина комплексной плоскости, что делает ее пригодной для решения жестких уравнений . ^[5] На самом деле обратный метод Эйлера даже L-устойчив .

Область для дискретной устойчивой системы по обратному методу Эйлера представляет собой круг с радиусом 0,5, который расположен в точке (0,5, 0) в z-плоскости. ^[6]

Расширения и модификации [ править ]

Обратный метод Эйлера - это вариант (прямого) метода Эйлера . Другие варианты - полунеявный метод Эйлера и экспоненциальный метод Эйлера .

Обратный метод Эйлера можно рассматривать как метод Рунге – Кутты с одним этапом, описанный таблицей Бутчера:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}$

Обратный метод Эйлера также можно рассматривать как линейный многоступенчатый метод с одним шагом. Это первый метод семейства методов Адамса – Моултона , а также семейства формул обратного дифференцирования .

См. Также [ править ]

• Метод Кранка – Николсона

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бутчер, Джон С. (2003), Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-96758-3.