Формула обратного дифференцирования ( BDF ) - это семейство неявных методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений . Это линейные многоступенчатые методы, которые для данной функции и времени аппроксимируют производную этой функции, используя информацию из уже вычисленных моментов времени, тем самым повышая точность приближения. Эти методы особенно используются для решения жестких дифференциальных уравнений . Впервые эти методы были введены Чарльзом Ф. Кертиссом и Джозефом О. Хиршфельдером в 1952 г. [1]
Общая формула
BDF используется для решения задачи начального значения
Общая формула для BDF может быть записана как [2]
где обозначает размер шага и . С оценивается для неизвестного , Методы BDF являются неявными и, возможно, требуют решения нелинейных уравнений на каждом шаге. Коэффициенты а также выбираются так, чтобы метод достигал порядка , что является максимально возможным.
Вывод коэффициентов
Исходя из формулы один приближается а также , где - интерполяционный полином Лагранжа для точек. Используя это и умножение на приходит к методу заказа BDF .
Конкретные формулы
S -шагового с без рецидива с <7 являются: [3]
- BDF1: (это обратный метод Эйлера )
- BDF2:
- BDF3:
- BDF4:
- BDF5:
- BDF6:
Методы с s > 6 не являются устойчивыми к нулю, поэтому их нельзя использовать. [4]
Стабильность
Об устойчивости численных методов решения жестких уравнений свидетельствует их область абсолютной устойчивости. Для методов BDF эти области показаны на графиках ниже.
В идеале область содержит левую половину комплексной плоскости, и в этом случае метод называется A-устойчивым. Однако линейные многоступенчатые методы порядка больше 2 не могут быть A-стабильными . Область устойчивости методов BDF более высокого порядка содержит большую часть левой полуплоскости и, в частности, всю отрицательную действительную ось. Методы BDF являются наиболее эффективными линейными многоступенчатыми методами такого рода. [4]
BDF1
BDF2
BDF3
BDF4
BDF5
BDF6
Рекомендации
Цитаты
- Перейти ↑ Curtiss, CF, & Hirschfelder, JO (1952). Интегрирование жестких уравнений. Слушания Национальной академии наук, 38 (3), 235-243.
- ^ Ашер и Петцольд 1998 , §5.1.2, стр. 129
- ^ Iserles 1996 , стр. 27 (для s = 1, 2, 3); Süli & Mayers 2003 , стр. 349 (для всех х )
- ^ а б Süli & Mayers 2003 , стр. 349
Упомянутые работы
- Ашер, УМ; Петцольд, Л. Р. (1998), Компьютерные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-алгебраических уравнений , SIAM, Филадельфия, ISBN 0-89871-412-5.
- Изерлес, Ари (1996), Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55655-2.
- Сули, Эндре; Майерс, Дэвид (2003), Введение в численный анализ , Cambridge University Press , ISBN 0-521-00794-1.
дальнейшее чтение
- Методы BDF на вики-странице SUNDIALS (SUNDIALS - это библиотека, реализующая методы BDF и аналогичные алгоритмы).