Сумма Римана

Четыре из суммирования Римана методов для аппроксимации площади под кривыми. Правый и левый методы делают аппроксимацию, используя правую и левую конечные точки каждого подынтервала, соответственно. Методы максимума и минимума делают приближение с использованием наибольшего и наименьшего значений конечных точек каждого подынтервала соответственно. Значения сумм сходятся, когда подынтервалы уменьшаются вдвое от верхнего левого угла к нижнему правому.

В математике , сумма Римана определенный вид аппроксимации интеграла конечной суммой. Он назван в честь немецкого математика XIX века Бернхарда Римана . Одним из очень распространенных приложений является аппроксимация площади функций или линий на графике, а также длины кривых и других приближений.

Сумма вычисляется путем разделения области на формы ( прямоугольники , трапеции , параболы или кубики ), которые вместе образуют область, аналогичную измеряемой области, затем вычисляются площади для каждой из этих форм и, наконец, складываются все эти формы. небольшие участки вместе. Этот подход можно использовать для поиска численного приближения для определенного интеграла, даже если основная теорема исчисления не позволяет легко найти решение в замкнутой форме .

Поскольку область, заполненная маленькими формами, обычно не имеет точно такую ​​же форму, как измеряемая область, сумма Римана будет отличаться от измеряемой площади. Эту ошибку можно уменьшить, разделив область более мелко, используя все меньшие и меньшие формы. По мере того, как формы становятся все меньше и меньше, сумма приближается к интегралу Римана .

Определение [ править ]

Позвольте быть функцией, определенной на отрезке действительных чисел,, и${\ displaystyle f: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle [а, б]}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle P = \ left \ {[x_ {0}, x_ {1}], [x_ {1}, x_ {2}], \ dots, [x_ {n-1}, x_ {n}] \ верно\}}$,

быть разбиением I , где

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b}$.

Сумма Римана из F над I с перегородкой P определяется как${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}}$

где и . ^[1] В зависимости от того, какие из них выбраны, можно получить разные суммы Римана . В конце концов, это не имеет значения, если функция интегрируема по Риману , когда разность или ширина слагаемых приближается к нулю.${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle \Delta x_{i}}$

Некоторые особые типы сумм Римана [ править ]

Конкретный выбор дает нам различные типы сумм Римана:${\displaystyle x_{i}^{*}}$

• Если для всех i , то S называется левым правилом ^{[2] [3]} или левой суммой Римана .${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}}$
• Если для всех i , то S называется правым правилом ^{[2] [3]} или правой суммой Римана .${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}}$
• Если для всех i , то S называется правилом средней точки ^{[2] [3]} или средней суммой Римана .${\displaystyle x_{i}^{*}=(x_{i}+x_{i-1})/2}$
• Если (то есть, верхняя грань из F над ), то S определена , чтобы быть верхней суммой Римана или верхняя сумма Дарбу .${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\sup f([x_{i-1},x_{i}])}$${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$
• Если (то есть, нижняя грань из F над ), то S определяется как в меньшую сумму Римана или понизить Дарбу сумму .${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\inf f([x_{i-1},x_{i}])}$${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$

Все эти методы являются одними из основных способов выполнения численного интегрирования . Грубо говоря, функция является интегрируемой по Риману, если все суммы Римана сходятся по мере того, как разбиение «становится все более и более тонким».

Хотя технически это не является суммой Римана, среднее значение левой и правой сумм Римана представляет собой трапециевидную сумму и является одним из самых простых из очень общих способов аппроксимации интегралов с использованием взвешенных средних. За этим по сложности следуют правило Симпсона и формулы Ньютона – Котеса .

Любая сумма Римана на данном разбиении (то есть при любом выборе между и ) содержится между нижней и верхней суммами Дарбу. Это составляет основу интеграла Дарбу , который в конечном итоге эквивалентен интегралу Римана.${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle x_{i-1}}$${\displaystyle x_{i}}$

Методы [ править ]

Четыре метода суммирования Римана обычно лучше всего подходят для разбиений равного размера. Таким образом, интервал [ , ] делится на подинтервалы, каждый из которых имеет длину ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Delta x={\frac {(b-a)}{n}}.}$

Тогда точки в разделе будут

${\displaystyle a,a+\Delta x,a+2\,\Delta x,\ldots ,a+(n-2)\,\Delta x,a+(n-1)\,\Delta x,b.}$

Левая сумма Римана [ править ]

Для левой суммы Римана аппроксимация функции ее значением в левой конечной точке дает несколько прямоугольников с основанием Δ x и высотой f ( a + i Δ x ). Выполнение этого для i = 0, 1, ..., n  - 1 и сложение результирующих областей дает

${\displaystyle A_{\mathrm {left} }=\Delta x\left[f(a)+f(a+\Delta x)+f(a+2*\Delta x)+\cdots +f(b-\Delta x)\right].}$

Влево сумма Римана составляет завышению , если F является монотонно убывает на этом интервале, и недооценке , если она монотонно возрастает .

Правая сумма Римана [ править ]

Здесь f аппроксимируется значением в правой конечной точке. Это дает несколько прямоугольников с основанием Δ x и высотой f ( a + i  Δ x ). Выполнение этого для i = 1, ..., n и сложение результирующих областей дает

${\displaystyle A_{\mathrm {right} }=\Delta x\left[f(a+\Delta x)+f(a+2\,\Delta x)+\cdots +f(b)\right].}$

Правая сумма Римана составляет недооценке , если F является монотонно убывающей , и завышению , если она монотонно возрастает . Ошибка этой формулы будет

${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-A_{\mathrm {right} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}}}$,

где максимальное значение абсолютной величины в на интервале.${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle f^{\prime }(x)}$

Правило средней точки [ править ]

Аппроксимация f в середине интервалов дает f ( a + Δ x / 2) для первого интервала, для следующего f ( a + 3Δ x / 2) и так далее, пока f ( b  - Δ x / 2). Подводя итог по областям, дает

${\displaystyle A_{\mathrm {mid} }=\Delta x\left[f(a+{\tfrac {\Delta x}{2}})+f(a+{\tfrac {3\,\Delta x}{2}})+\cdots +f(b-{\tfrac {\Delta x}{2}})\right]}$.

Ошибка этой формулы будет

${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-A_{\mathrm {mid} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}}}$,

где максимальное значение абсолютной величины в на интервале.${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$

Трапецеидальная линейка [ править ]

В этом случае значения функции f на интервале аппроксимируются средним значением значений на левой и правой конечных точках. Таким же образом, как и выше, простой расчет с использованием формулы площади

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}h(b_{1}+b_{2})}$

для трапеции с параллельными сторонами b ₁ , b ₂ и высотой h производит

${\displaystyle A_{\mathrm {trap} }={\tfrac {1}{2}}\,\Delta x\left[f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\,\Delta x)+\cdots +f(b)\right].}$

Ошибка этой формулы будет

${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-A_{\mathrm {trap} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},}$

где - максимальное значение модуля .${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$

Приближение, полученное с помощью правила трапеций для функции, такое же, как среднее значение левой и правой сумм этой функции.

Связь с интеграцией [ править ]

Для одномерной суммы Римана по области , когда максимальный размер элемента разбиения уменьшается до нуля (то есть предел нормы разбиения стремится к нулю), для некоторых функций все суммы Римана сходятся к одному и тому же значению. Это предельное значение, если оно существует, определяется как определенный интеграл Римана функции по области,${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=\lim _{\|\Delta x\|\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}.}$

Для домена конечного размера, если максимальный размер элемента раздела уменьшается до нуля, это означает, что количество элементов раздела стремится к бесконечности. Для конечных разбиений суммы Римана всегда являются приближениями к предельному значению, и это приближение становится лучше по мере того, как разбиение становится более мелким. Следующие анимации помогают продемонстрировать, как увеличение количества разделов (при уменьшении максимального размера элемента раздела) лучше соответствует «площади» под кривой:

• Левая сумма

• Правильная сумма

• Средняя сумма

Поскольку здесь предполагается, что красная функция является гладкой функцией, все три суммы Римана сходятся к одному и тому же значению, когда количество разбиений стремится к бесконечности.

Пример [ править ]

Сравнение правых сумм функции y = x ² от 0 до 2 с интегралом от нее от 0 до 2.

Аппроксимация площади от 0 до 2, используя суммы по правому правилу. Обратите внимание, что, поскольку функция монотонно возрастает, суммы в правой части всегда будут переоценивать площадь, вносимую каждым членом в сумме (и делать это максимально).${\displaystyle y=x^{2}}$

Значение суммы Римана под кривой y = x ² от 0 до 2. По мере увеличения количества прямоугольников оно приближается к точной площади 8/3.

Например, площадь под кривой y = x ² между 0 и 2 может быть вычислена процедурно с использованием метода Римана.

Интервал [0, 2] сначала делится на n подинтервалов, каждому из которых дается ширина ; это ширина прямоугольников Римана (далее «коробки»). Поскольку должна использоваться правая сумма Римана, последовательность координат x для ящиков будет . Следовательно, последовательность высот ящиков будет . Это важный факт , и .${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{1}^{2},x_{2}^{2},\ldots ,x_{n}^{2}}$${\displaystyle x_{i}={\tfrac {2i}{n}}}$${\displaystyle x_{n}=2}$

Площадь каждого квадрата будет равна, и, следовательно, n- я правая сумма Римана будет: ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}\times x_{i}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {2}{n}}\times \left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {2}{n}}\times \left({\frac {2i}{n}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {2}{n}}\times \left({\frac {2n}{n}}\right)^{2}\\&={\frac {8}{n^{3}}}\left(1+\cdots +i^{2}+\cdots +n^{2}\right)\\&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)\\&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\right)\\&={\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\end{aligned}}}$

Если рассматривать предел как n → ∞, можно сделать вывод, что приближение приближается к фактическому значению площади под кривой по мере увеличения количества прямоугольников. Следовательно:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\right)={\frac {8}{3}}}$

Этот метод согласуется с определенным интегралом, вычисленным более механическими способами:

${\displaystyle \int _{0}^{2}x^{2}\,dx={\frac {8}{3}}}$

Поскольку функция является непрерывной и монотонно возрастающей на интервале, правая сумма Римана завышает интеграл на наибольшую величину (в то время как левая сумма Римана занижает интеграл на наибольшую величину). Этот факт, который интуитивно понятен из диаграмм, показывает, как характер функции определяет, насколько точно оценивается интеграл. Хотя простые, правые и левые суммы Римана часто менее точны, чем более продвинутые методы оценки интеграла, такие как правило трапеций или правило Симпсона .

В примере функции есть простая для поиска антипроизводная, поэтому оценка интеграла с помощью сумм Римана в основном является академическим упражнением; однако следует помнить, что не все функции имеют антипроизводные, поэтому оценка их интегралов путем суммирования практически важна.

Высшие измерения [ править ]

Основная идея, лежащая в основе суммы Римана, состоит в том, чтобы «разбить» область посредством разбиения на части, умножить «размер» каждой части на некоторое значение, которое функция принимает для этой части, и просуммировать все эти продукты. Это может быть обобщено, чтобы позволить суммы Римана для функций в областях более чем одного измерения.

Хотя интуитивно процесс разделения домена прост для понимания, технические детали того, как домен может быть разделен, становятся намного сложнее, чем в одномерном случае, и включают аспекты геометрической формы домена. ^[4]

Два измерения [ править ]

В двух измерениях домен можно разделить на несколько ячеек, например . В двух измерениях каждая ячейка может быть интерпретирована как имеющая «область», обозначенную значком . ^[5] Сумма Римана равна${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A=\cup _{i}A_{i}}$${\displaystyle \Delta A_{i}}$

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*})\,\Delta A_{i},}$

где .${\displaystyle (x_{i}^{*},y_{i}^{*})\in A_{i}}$

Три измерения [ править ]

В трех измерениях обычно используется буква для домена, например, под разделом и это «объем» ячейки, индексируемой . Тогда трехмерная сумма Римана может быть записана как ^[6]${\displaystyle V}$${\displaystyle V=\cup _{i}V_{i}}$${\displaystyle \Delta V_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*},z_{i}^{*})\,\Delta V_{i}}$

с .${\displaystyle (x_{i}^{*},y_{i}^{*},z_{i}^{*})\in V_{i}}$

Произвольное количество измерений [ править ]

Суммы Римана с более высокой размерностью следуют тому же принципу, что и от одного до двух или трех измерений. Для произвольной размерности n сумма Римана может быть записана как

${\displaystyle S=\sum _{i}f(P_{i}^{*})\,\Delta V_{i}}$

где , то есть это точка в n-мерной ячейке с n-мерным объемом .${\displaystyle P_{i}^{*}\in V_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle \Delta V_{i}}$

Обобщение [ править ]

В общих чертах суммы Римана можно записать

${\displaystyle S=\sum _{i}f(P_{i}^{*})\mu (V_{i})}$

где обозначает любую произвольную точку, содержащуюся в элементе разбиения, и является мерой на нижележащем множестве. Грубо говоря, мера - это функция, которая дает «размер» набора, в данном случае размер набора ; в одном измерении это часто можно интерпретировать как длину интервала в двух измерениях, площадь, в трех измерениях, объем и т. д.${\displaystyle P_{i}^{*}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle V_{i}}$

См. Также [ править ]

• Первообразный
• Метод Эйлера и середины метод , родственные методы решения дифференциальных уравнений
• Интеграл Лебега
• Интеграл Римана , предел сумм Римана, когда разбиение становится бесконечно тонким
• Правило Симпсона , мощный численный метод, более мощный, чем простые суммы Римана или даже правило трапеций
• Правило трапеции , численный метод на основе среднего значения левой и правой суммы Римана

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Риман Сумма» . MathWorld .
• Моделирование, показывающее сходимость сумм Римана