Схема Бернулли

В математике , то схема Бернулли или сдвиг Бернулли является обобщением процесса Бернулли более двух возможных исходов. ^[1]^[2] Схемы Бернулли естественным образом появляются в символической динамике и поэтому важны при изучении динамических систем . Многие важные динамические системы (такие как системы с аксиомой A ) демонстрируют репеллер, который является произведением множества Кантора и гладкого многообразия , а динамика на множестве Кантора изоморфна динамике сдвига Бернулли. ^[3] По сути, этоМарковская перегородка . Термин « сдвиг» относится к оператору сдвига , который может использоваться для изучения схем Бернулли. Теорема об изоморфизме Орнштейна ^[4]^[5] показывает, что сдвиги Бернулли изоморфны, когда их энтропия равна.

Определение [ править ]

Схема Бернулли - это случайный процесс с дискретным временем, в котором каждая независимая случайная величина может принимать одно из N различных возможных значений, при этом результат i наступает с вероятностью , с i = 1, ..., N , и ${\ displaystyle p_ {i}}$

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i} = 1.}

Пространство выборки обычно обозначается как

{\ Displaystyle X = \ {1, \ ldots, N \} ^ {\ mathbb {Z}}}

как сокращение для

{\ displaystyle X = \ {x = (\ ldots, x _ {- 1}, x_ {0}, x_ {1}, \ ldots): x_ {k} \ in \ {1, \ ldots, N \} \ ; \ forall k \ in \ mathbb {Z} \}.}

Соответствующая мера называется мерой Бернулли ^[6].

{\ displaystyle \ mu = \ {p_ {1}, \ ldots, p_ {N} \} ^ {\ mathbb {Z}}}

Σ-алгебра на X есть произведение сигма алгебра; то есть это (счетное) прямое произведение σ-алгебр конечного множества {1, ..., N }. Таким образом, тройка ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

{\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}

является мерой пространства . Основа - комплекты цилиндров . Для набора цилиндров его мера равна ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle [x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$

{\ displaystyle \ mu \ left ([x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] \ right) = \ prod _ {i = 0} ^ {n} p_ {x_ {i}} }

Эквивалентное выражение, использующее обозначения теории вероятностей, имеет вид

{\ displaystyle \ mu \ left ([x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] \ right) = \ mathrm {Pr} (X_ {0} = x_ {0}, X_ {1 } = x_ {1}, \ ldots, X_ {n} = x_ {n})}

для случайных величин ${\ displaystyle \ {X_ {k} \}}$

Схема Бернулли, как и любой случайный процесс, может рассматриваться как динамическая система, если снабдить ее оператором сдвига T, где

{\ Displaystyle T (x_ {k}) = x_ {k + 1}.}

Поскольку результаты независимы, сдвиг сохраняет меру, и, таким образом, T - преобразование, сохраняющее меру . Четверной

(X,{\mathcal {A}},\mu ,T)

является динамической системой , сохраняющей меру , и называется схемой Бернулли или сдвигом Бернулли . Его часто обозначают как

BS(p)=BS(p_{1},\ldots ,p_{N}).

Схема Бернулли с N = 2 называется процессом Бернулли . Сдвиг Бернулли можно понимать как частный случай марковского сдвига , когда все элементы в матрице смежности равны единице, а соответствующий граф, таким образом, является кликой .

Совпадения и показатели [ править ]

Расстояние Хэмминга обеспечивает естественную метрику на схеме Бернулли. Еще одна важная метрика - это так называемая метрика, определяемая с помощью супремума над совпадениями строк . ^[7] ${\overline {f}}$

Позвольте и быть двумя строками символов. Матч представляет собой последовательность М пар индексов в строку, то есть пары таким образом, что понимается быть вполне упорядочено. То есть каждая отдельная подпоследовательность и упорядочены: и аналогично $A=a_{1}a_{2}\cdots a_{m}$ $B=b_{1}b_{2}\cdots b_{n}$ $(i_{k},j_{k})$ $a_{i_{k}}=b_{j_{k}},$ $(i_{k})$ $(j_{k})$ $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}\leq m$ $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{r}\leq n.$

- расстояние между и вне ${\overline {f}}$ $A$ $B$

{\overline {f}}(A,B)=1-{\frac {2\sup |M|}{m+n}}

где супремум берется для всех совпадений между и . Это удовлетворяет неравенству треугольника только тогда, когда это не совсем истинная метрика; несмотря на это, в литературе его обычно называют «дистанцией». $M$ $A$ $B$ $m=n,$

Обобщения [ править ]

Большинство свойств схемы Бернулли следует из счетного прямого произведения , а не из конечного базового пространства. Таким образом, в качестве базового пространства можно взять любое стандартное вероятностное пространство и определить схему Бернулли как $(Y,{\mathcal {B}},\nu )$

(X,{\mathcal {A}},\mu )=(Y,{\mathcal {B}},\nu )^{\mathbb {Z} }

Это работает, потому что счетное прямое произведение стандартного вероятностного пространства снова является стандартным вероятностным пространством.

В качестве дополнительного обобщения, можно заменить целые числа с помощью счетной дискретной группы , так что $\mathbb {Z}$ $G$

(X,{\mathcal {A}},\mu )=(Y,{\mathcal {B}},\nu )^{G}

В этом последнем случае оператор сдвига заменяется групповым действием

gx(f)=x(g^{-1}f)

для групповых элементов и понимается как функция (любой прямой продукт можно понимать как набор функций , так как это экспоненциальный объект ). В качестве меры принимается мера Хаара , инвариантная относительно действия группы: $f,g\in G$ $x\in Y^{G}$ $x:G\to Y$ $Y^{G}$ $[G\to Y]$ $\mu$

\mu (gx)=\mu (x).\,

Эти обобщения также обычно называют схемами Бернулли, так как они по-прежнему разделяют большинство свойств с конечным случаем.

Свойства [ править ]

Я. Синай продемонстрировал, что энтропия Колмогорова схемы Бернулли дается формулой ^[8]^[9]

H=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}.

Это можно рассматривать как результат общего определения энтропии декартова произведения вероятностных пространств, которое следует из свойства асимптотического равнораспределения . В случае общего базового пространства ( т. Е. Несчетного базового пространства) обычно учитывается относительная энтропия . Так, например, если у кого-то есть счетное разделение базы Y , такое, что можно определить энтропию как $(Y,{\mathcal {B}},\nu )$ $Y'\subset Y$ $\nu (Y')=1$

H_{Y'}=-\sum _{y'\in Y'}\nu (y')\log \nu (y').

В общем, эта энтропия будет зависеть от раздела; Однако, для многих динамических систем , это тот случай , что символическая динамика не зависит от раздела (или , скорее, есть -изоморфизмы , соединяющие символическая динамику различных разделов, оставляя меру инвариант), и поэтому такие системы могут иметь четко определенная энтропия независимо от разбиения.

Теорема об изоморфизме Орнштейна [ править ]

Теорема об изоморфизме Орнштейна утверждает, что две схемы Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны . ^[4] Результат точный, ^[10] в том, что очень похожие, не схемные системы, такие как автоморфизмы Колмогорова , не обладают этим свойством.

Теорема об изоморфизме Орнштейна на самом деле значительно глубже: она предоставляет простой критерий, по которому многие различные сохраняющие меру динамические системы могут быть признаны изоморфными схемам Бернулли. Результат был удивительным, поскольку многие системы, которые ранее считались несвязанными, оказались изоморфными. К ним относятся все конечные ^{[ требуется пояснение ]} стационарные случайные процессы , подсдвиги конечного типа , конечные цепи Маркова , потоки Аносова и биллиарды Синая : все они изоморфны схемам Бернулли.

В обобщенном случае теорема об изоморфизме Орнштейна остается верной, если группа G является счетно бесконечной аменабельной группой .^[11]^[12]

Автоморфизм Бернулли [ править ]

Обратимо, сохраняющее меру преобразования из стандартного вероятностного пространства (пространства Лебега) называется автоморфизмом Бернулли , если она изоморфна к сдвигу Бернулли . ^[13]

Свободно Бернулли [ править ]

Система называется «в общих чертах Бернулли», если она эквивалентна Какутани сдвигу Бернулли; в случае нулевой энтропии, если она эквивалентна какутани иррациональному вращению окружности.

См. Также [ править ]

Сдвиг конечного типа
Цепь Маркова
Скрытая модель Бернулли

Ссылки [ править ]

^ П. Шилдс, Теория сдвигов Бернулли , Univ. Чикаго Пресс (1973)
^ Майкл С. Кин, «Эргодическая теория и подсдвиги конечного типа», (1991), появившаяся в главе 2 в « Эргодической теории, символической динамике и гиперболических пространствах» , Тим Бедфорд, Майкл Кин и серия Кэролайн, ред. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд (1991). ISBN 0-19-853390-X
^ Пьер Гаспар, Хаос, рассеяние и статистическая механика (1998), Cambridge University Press
^ a b Орнштейн, Дональд (1970). «Сдвиги Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны» . Успехи в математике . 4 : 337–352. DOI : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90029-0 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ DS Ornstein (2001) [1994], "Теорема об изоморфизме Орнштейна" , Энциклопедия математики , EMS Press
^ Klenke Ахим (2006). Теория вероятностей . Springer-Verlag. ISBN 978-1-84800-047-6.
^ Фельдман, Джейкоб (1976). «Новые -автоморфизмы и проблема Какутани» . Израильский математический журнал . 24 (1): 16–38. DOI : 10.1007 / BF02761426 . K {\displaystyle K}
^ Я.Г. Синай, (1959) "О понятии энтропии динамической системы", Докл. РАН, 124 , с. 768–771.
^ Я. Г. Синай, (2007) " Метрическая энтропия динамической системы "
^ Хоффман, Кристофер (1999). « Контрпримерная машина» . Труды Американского математического общества . 351 : 4263–4280. K {\displaystyle K}
^ Орнштейн, Дэниел; Вайс, Бенджамин (1987). «Теоремы об энтропии и изоморфизме действий аменабельных групп» . Журнал d'Analyse Mathématique . 48 : 1–141. DOI : 10.1007 / BF02790325 .
^ Боуэн, Льюис (2012). «Всякая счетно бесконечная группа - это почти Орнштейн». Современная математика . 567 : 67–78. arXiv : 1103,4424 .
^ Питер Уолтерс (1982) Введение в эргодическую теорию , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90599-5

[1] П. Шилдс, Теория сдвигов Бернулли , Univ. Чикаго Пресс (1973)

[2] Майкл С. Кин, «Эргодическая теория и подсдвиги конечного типа», (1991), появившаяся в главе 2 в « Эргодической теории, символической динамике и гиперболических пространствах» , Тим Бедфорд, Майкл Кин и серия Кэролайн, ред. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд (1991). ISBN 0-19-853390-X

[3] Пьер Гаспар, Хаос, рассеяние и статистическая механика (1998), Cambridge University Press

[OIT-4] Орнштейн, Дональд (1970). «Сдвиги Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны» . Успехи в математике . 4 : 337–352. DOI : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90029-0 . CS1 maint: discouraged parameter (link)

[5] DS Ornstein (2001) [1994], "Теорема об изоморфизме Орнштейна" , Энциклопедия математики , EMS Press

[6] Klenke Ахим (2006). Теория вероятностей . Springer-Verlag. ISBN 978-1-84800-047-6.

[7] Фельдман, Джейкоб (1976). «Новые -автоморфизмы и проблема Какутани» . Израильский математический журнал . 24 (1): 16–38. DOI : 10.1007 / BF02761426 . K {\displaystyle K}

[8] Я.Г. Синай, (1959) "О понятии энтропии динамической системы", Докл. РАН, 124 , с. 768–771.

[9] Я. Г. Синай, (2007) " Метрическая энтропия динамической системы "

[10] Хоффман, Кристофер (1999). « Контрпримерная машина» . Труды Американского математического общества . 351 : 4263–4280. K {\displaystyle K}

[11] Орнштейн, Дэниел; Вайс, Бенджамин (1987). «Теоремы об энтропии и изоморфизме действий аменабельных групп» . Журнал d'Analyse Mathématique . 48 : 1–141. DOI : 10.1007 / BF02790325 .

[12] Боуэн, Льюис (2012). «Всякая счетно бесконечная группа - это почти Орнштейн». Современная математика . 567 : 67–78. arXiv : 1103,4424 .

[13] Питер Уолтерс (1982) Введение в эргодическую теорию , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90599-5

[1]