В математике , Смейл Аксиома определяет класс динамических систем , которые широко изучены и динамика которых относительно хорошо изучены. Ярким примером является карта подковы Смейла . Термин «аксиома А» происходит от Стивена Смейла . [1] [2] Важность таких систем демонстрируется хаотической гипотезой , которая утверждает, что «для всех практических целей» многочастичная термостатированная система аппроксимируется системой Аносова . [3]
Определение
Пусть M является гладким многообразием с диффеоморфизме F : M → M . Тогда f является аксиомой A диффеоморфизма, если выполняются следующие два условия:
- Неблуждающая набор из F , Ω ( е ), является гиперболическим множеством и компактно .
- Множество периодических точек из F является плотным в Q , ( ф ).
Для поверхностей гиперболичность неблуждающего множества подразумевает плотность периодических точек, но это уже не так в более высоких измерениях. Тем не менее, диффеоморфизмы аксиомы A иногда называют гиперболическими диффеоморфизмами , потому что часть M, где происходит интересная динамика, а именно Ω ( f ), демонстрирует гиперболическое поведение.
Диффеоморфизмы аксиомы A обобщают системы Морса – Смейла , которые удовлетворяют дополнительным ограничениям (конечное число периодических точек и трансверсальность стабильных и неустойчивых подмногообразий). Отображение подковы Смейла является аксиомой диффеоморфизма с бесконечным числом периодических точек и положительной топологической энтропией .
Характеристики
Любой диффеоморфизм Аносова удовлетворяет аксиоме A. В этом случае все многообразие M гиперболично (хотя вопрос о том, образует ли неблуждающее множество Ω ( f ) все M, остается открытым ).
Руфус Боуэн показал, что неблуждающее множество Ω ( f ) любой аксиомы A диффеоморфизма поддерживает марковское разбиение . [2] [4] Таким образом, ограничение f на некоторое общее подмножество Ω ( f ) сопряжено со сдвигом конечного типа .
Плотность периодических точек в неблуждающем множестве влечет его локальную максимальность: существует открытая окрестность U множества Ω ( f ) такая, что
Омега стабильность
Важным свойством систем Axiom A является их структурная устойчивость к малым возмущениям. [5] То есть траектории возмущенной системы остаются в топологическом соответствии 1-1 с невозмущенной системой. Это свойство важно, поскольку оно показывает, что системы аксиомы A не являются исключительными, но в определенном смысле являются «надежными».
Точнее, для любого C 1 - возмущения f ε функции f его неблуждающее множество образовано двумя компактными f ε -инвариантными подмножествами Ω 1 и Ω 2 . Первое подмножество гомеоморфно Ω ( f ) через гомеоморфизм h, который сопрягает ограничение f на Ω ( f ) с ограничением f ε на Ω 1 :
Если Ω 2 пусто, то h лежит на Ω ( f ε ). Если это так для любого возмущения f ε, то f называется омега-устойчивым . Диффеоморфизм f является омега-устойчивым тогда и только тогда, когда он удовлетворяет аксиоме A и условию отсутствия цикла (что орбита, однажды оставив инвариантное подмножество, не возвращается).
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Смейл, С. (1967), "Дифференцируемые динамические системы" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 73 : 747-817, DOI : 10,1090 / s0002-9904-1967-11798-1 , Zbl +0202,55202
- ↑ a b Ruelle (1978) с.149
- ^ См. Scholarpedia, Хаотическая гипотеза.
- ^ Боуэн, Р. (1970), "Марковские разбиения для диффеоморфизмов аксиомы A", Am. J. Math. , 92 : 725-747, DOI : 10,2307 / 2373370 , Zbl +0208,25901
- ↑ Abraham and Marsden, Foundations of Mechanics (1978) Benjamin / Cummings Publishing, см. Раздел 7.5.
- Руэлль, Дэвид (1978). Термодинамический формализм. Математические структуры классического равновесия . Энциклопедия математики и ее приложений. 5 . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-13504-3. Zbl 0401.28016 .
- Руэлль, Дэвид (1989). Хаотическая эволюция и странные аттракторы. Статистический анализ временных рядов для детерминированных нелинейных систем . Lezioni Lincee. Заметки подготовил Стефано Изола. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-36830-8. Zbl 0683.58001 .