Карта подковы

Подковообразное отображение Смейла

f

представляет собой композицию трех геометрических преобразований

Смешивание в реальном шарике цветной замазки после последовательных итераций карты подковы Смейла.

В математике из теории хаоса , карта подковы является любым членом класса хаотических отображений квадрата в себя. Это основной пример изучения динамических систем . Карта была введена Смэйл , изучая поведение орбит в Ван - дер - Поля . Действие карты определяется геометрически путем сжатия квадрата, затем растягивания результата в длинную полосу и, наконец, складывания полосы в форму подковы.

Большинство точек в конечном итоге покидают квадрат под действием карты. Они переходят к боковым крышкам, где при итерации сходятся к фиксированной точке в одной из крышек. Точки, которые остаются в квадрате при повторной итерации, образуют фрактальное множество и являются частью инвариантного набора карты.

Сдавливание, растяжение и складывание подковообразной карты типично для хаотических систем, но не является необходимым или даже достаточным. ^[1]

На карте подковы сжатие и растяжение единообразны. Они компенсируют друг друга, поэтому площадь квадрата не меняется. Складывание сделано аккуратно, так что орбиты, навсегда остающиеся в квадрате, можно описать просто.

Для карты подковы:

существует бесконечное количество периодических орбит;
существуют периодические орбиты сколь угодно большого периода;
количество периодических орбит растет экспоненциально с периодом; а также
вблизи любой точки фрактального инвариантного множества находится точка периодической орбиты.

Карта подковы [ править ]

Отображение подковы $f$ является диффеоморфизмом, определенным из области $S$ плоскости в себя. Область $S$ представляет собой квадрат, увенчанный двумя полудисками. Действие $f$ определяется через композицию трех геометрически определенных преобразований. Сначала квадрат сжимается в вертикальном направлении на коэффициент $a$ $<$ $1 / 2$ . Колпачки сжимаются так, чтобы оставаться полудисками, прикрепленными к получившемуся прямоугольнику. Сокращение с коэффициентом меньше половины гарантирует, что между ветвями подковы будет промежуток. Затем прямоугольник растягивается по горизонтали с коэффициентом $1 / а$ ; колпачки остаются без изменений. Наконец, в результате чего полоса свернута в подковообразную форму и помещают обратно в $S$ .

Интересная часть динамики - это изображение квадрата в самом себе. Как только эта часть определена, карту можно расширить до диффеоморфизма , определив его действие на крышках. Колпачки сжимаются и в конечном итоге отображаются внутри одной из колпачков (левой на рисунке). Расширение f до заглавных букв добавляет фиксированную точку к неблуждающему набору карты. Чтобы упростить класс карт подковы, изогнутая область подковы не должна отображаться обратно в квадрат.

Отображение подковы взаимно однозначно, что означает, что существует обратный f ^−1, если он ограничен образом $S$ при $f$ .

Складывая сжатый и растянутый квадрат по-разному, можно получить другие типы подковообразных карт.

Варианты карты подковы

Чтобы карта оставалась однозначной, сжатый квадрат не должен перекрывать сам себя. Когда действие на квадрате продолжается до диффеоморфизма, расширение не всегда может быть выполнено на плоскости. Например, карту справа нужно расширить до диффеоморфизма сферы, используя «колпачок», который оборачивается вокруг экватора.

Отображение подковы - это диффеоморфизм аксиомы A, который служит моделью для общего поведения в поперечной гомоклинической точке , где пересекаются устойчивые и неустойчивые многообразия периодической точки.

Динамика карты [ править ]

Подковообразное отображение было разработано для воспроизведения хаотической динамики потока в окрестности заданной периодической орбиты. Окрестность выбрана в виде небольшого диска, перпендикулярного орбите . По мере развития системы точки в этом диске остаются близкими к заданной периодической орбите, отслеживая орбиты, которые в конечном итоге снова пересекают диск. Остальные орбиты расходятся.

Поведение всех орбит в диске можно определить, рассмотрев, что происходит с диском. Пересечение диска с данной периодической орбитой возвращается к себе на каждом периоде орбиты, как и точки в его окрестности. Когда этот район возвращается, его форма трансформируется. Среди точек внутри диска есть точки, которые покинут окрестность диска, а другие продолжат возвращаться. Множество точек, которые никогда не покидают окрестность данной периодической орбиты, образуют фрактал.

Символическое имя может быть дано всем орбитам, остающимся по соседству. Исходный соседний диск можно разделить на небольшое количество регионов. Знание последовательности, в которой орбита посещает эти регионы, позволяет точно определить орбиту. Последовательность посещения орбит обеспечивает символическое представление динамики, известной как символическая динамика .

Орбиты [ править ]

Можно описать поведение всех начальных условий отображения подковы. Начальная точка u ₀ = ( x , y ) отображается в точку u ₁ = f ( u ₀ ). Его итерация - это точка u ₂ = f ( u ₁ ) = f ² ( u ₀ ), а повторная итерация порождает орбиту u ₀ , u ₁ , u ₂ , ...

При повторной итерации карты подковы большинство орбит попадают в фиксированную точку в левой шапке. Это потому, что подкова отображает левую шапку в себя с помощью аффинного преобразования , имеющего ровно одну фиксированную точку. Любая орбита, которая попадает в левую крышку, никогда не покидает ее и сходится к фиксированной точке в левой крышке при итерации. Точки в правой крышке отображаются в левой крышке на следующей итерации, а большинство точек в квадрате отображается в шапки. При итерации большинство точек будут частью орбит, которые сходятся к фиксированной точке в левой крышке, но некоторые точки квадрата никогда не уходят.

Итерация квадрата [ править ]

Предварительные изображения квадратной области

При прямых итерациях карты подковы исходный квадрат преобразуется в серию горизонтальных полос. Точки на этих горизонтальных полосах происходят из вертикальных полос исходного квадрата. Пусть $S 0$ будет исходным квадратом, отобразите его вперед n раз и рассмотрите только точки, которые попадают обратно в квадрат $S 0$ , который представляет собой набор горизонтальных полос

{\ displaystyle H_ {n} = f ^ {n} (S_ {0}) \ cap S_ {0}.}

Точки на горизонтальных полосах произошли от вертикальных полос.

{\ displaystyle V_ {n} = f ^ {- n} (H_ {n})}

,

которые представляют собой горизонтальные полосы $H n,$ отображаемые в обратном направлении n раз. То есть точка в $V n$ при n итерациях подковы попадет в набор $H n$ вертикальных полос.

Инвариантный набор [ править ]

Пересечения, сходящиеся к инвариантному множеству

Пример инвариантной меры

Если точка должна оставаться в квадрате бесконечно долго, то она должна принадлежать множеству $Λ,$ которое отображается в себя. Необходимо определить, является ли этот набор пустым или нет. Вертикальные полосы $V 1$ отображаются в горизонтальные полосы $H 1$ , но не все точки $V 1$ отображаются обратно в $V 1$ . Только точки на пересечение из $V 1$ и $Н 1$ могут принадлежать к $Л$ , так как можно проверить с помощью следующих точек вне пересечения для более одной итерации.

Пересечение горизонтальной и вертикальной полос, $H n \cap V n$ , представляет собой квадраты, которые в пределе $n \to \infty$ сходятся к инвариантному множеству $Λ$ (это множество является пересечением канторовского множества вертикальных прямых с канторовым множеством горизонтальных прямых ^[2] ). Структуру этого множества можно лучше понять, введя систему меток для всех пересечений - символическую динамику.

Символическая динамика [ править ]

Основные области карты подковы

Так как $H п П V п \subset V 1$ , любая точка , которая находится в $Л$ при итерации должна приземлиться в левой вертикальной полосе $А$ из $V 1$ , или на правом вертикальной полосе $B$ . Нижняя горизонтальная полоса $H 1$ - это изображение $A,$ а верхняя горизонтальная полоса - это изображение $B$ , поэтому H ₁ = f (A) ∪ f (B) . Полоски $A$ и $B$ можно использовать для обозначения четырех квадратов на пересечении $V 1.$ и $H 1$ :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Lambda _ {A \ bullet A} & = f (A) \ cap A \\\ Lambda _ {A \ bullet B} & = f (A) \ cap B \\\ Лямбда _ {B \ bullet A} & = f (B) \ cap A \\\ Lambda _ {B \ bullet B} & = f (B) \ cap B \ end {align}}}

Множество $Λ B • A$ состоит из точек полосы $A,$ которые были в полосе $B$ на предыдущей итерации. Точка используется для отделения области, в которой находится точка орбиты, от области, откуда она пришла.

Обозначение может быть расширено до более высоких итераций карты подковы. Вертикальные полосы могут быть названы в соответствии с последовательностью визитов к полосе $A$ или полосы $B$ . Например, множество ABB ⊂ V ₃ состоит из точек из $A$ , которые все попадут в $B$ за одну итерацию и останутся в $B$ в следующей итерации:

{\ Displaystyle ABB = \ {х \ в А \, | \, е (х) \ в В \, \, \, \ mathrm {и} \, \, \, f_ {2} (х) \ в В \}.}

Работа в обратном направлении от этой траектории определяет небольшую область, установленную ABB , в пределах V ₃ .

Горизонтальные полосы названы по их предварительным изображениям вертикальных полос. В этих обозначениях пересечение V ₂ и H ₂ состоит из 16 квадратов, один из которых

\Lambda _{AB\bullet BB}=f_{2}(AB)\cap BB.

Все точки в Λ _{AB • BB} находятся в $B$ и будут оставаться в $B еще$ по крайней мере еще одну итерацию. Их предыдущая траектория перед посадкой в ББ был с последующим $B$ .

Периодические орбиты [ править ]

Любое из пересечений $Λ P • F$ горизонтальной полосы с вертикальной полосой, где P и F - последовательности A s и B s, является аффинным преобразованием небольшой области в V ₁ . Если в P есть k символов и если $f$ $-$ $k$ $(Λ$ $P • F$ $)$ и $Λ$ $P • F$ пересекаются, область $Λ$ $P • F$ будет иметь неподвижную точку. Это происходит , когда последовательность P такая же , как F . Например, $Λ$ $ABAB • ABAB$ $\subset V 4 \cap H 4$ имеет хотя бы одну неподвижную точку. Эта точка также совпадает с неподвижной точкой в Λ _{AB • AB} . Включая все больше и больше AB в части P и F метки пересечения, можно сделать площадь пересечения настолько маленькой, насколько это необходимо. Он сходится к точке, которая является частью периодической орбиты подковообразного отображения. Периодическая орбита может быть помечена простейшей последовательностью $A$ s и $B$ s, которая маркирует одну из областей, которые периодически посещаются по орбите.

Для каждой последовательности $A$ s и $B$ s существует периодическая орбита.

См. Также [ править ]

Карта Бейкера
Карта Энона

Заметки [ править ]

^ Дэвид Руэлль (2006). "Что такое странный аттрактор?" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 53 (7): 764–765.
↑ Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета.

Ссылки [ править ]

Дэвид Рюэлль (2006). "Что такое странный аттрактор?" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 53 (7): 764–765.
Стивен Смейл (1967). «Дифференцируемые динамические системы» . Бюллетень Американского математического общества . 73 (6): 747–817. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1967-11798-1 .
П. Цвитанович; Г. Гунаратне; И. Прокачча (1988). «Топологические и метрические свойства странных аттракторов типа Энона». Physical Review . 38 (3): 1503–1520. Bibcode : 1988PhRvA..38.1503C . DOI : 10.1103 / PhysRevA.38.1503 . PMID 9900529 .
Андре де Карвалью (1999). «Обрезка фронтов и формирование подков». Эргодическая теория и динамические системы . 19 (4): 851–894. arXiv : math / 9701217 . DOI : 10.1017 / S0143385799133972 .
Андре де Карвалью; Тоби Холл (2002). «Как обрезать подкову» (PDF) . Нелинейность . 15 (3): R19 – R68. Bibcode : 2002Nonli..15R..19D . DOI : 10.1088 / 0951-7715 / 15/3/201 .

Внешние ссылки [ править ]

"Смейл-Подкова" . Scholarpedia .
Евгений Демидов (2007). «Гомоклинические структуры на стандартной карте» . ibiblio.org . Проверено 11 июля 2016 .
ChaosBook.org Глава "Растянуть, согнуть, подрезать"
CHAOS VI - Глава Хаос и Подкова из фильма Джоса Лейса, Этьена Гиса и Орелиена Альвареса Хаос

[1] Дэвид Руэлль (2006). "Что такое странный аттрактор?" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 53 (7): 764–765.

[2] Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета.

[1]