Гомоклиническая орбита

Гомоклиническая орбита

Ориентированная гомоклиническая орбита

Закрученная гомоклиническая орбита

В математике , гомоклиническая орбита является траекторией потока в виде динамической системы , которая соединяет седловую точку равновесия к себе. Точнее, гомоклиническая орбита лежит в пересечении устойчивого многообразия и неустойчивое многообразие из равновесия .

Рассмотрим непрерывную динамическую систему, описываемую ОДУ

${\ Displaystyle {\ точка {х}} = е (х)}$

Предположим, что имеется равновесие при , тогда решение является гомоклинической орбитой, если${\ displaystyle x = x_ {0}}$${\ Displaystyle \ Phi (t)}$

${\ displaystyle \ Phi (t) \ rightarrow x_ {0} \ quad \ mathrm {as} \ quad t \ rightarrow \ pm \ infty}$

Если фазовое пространство имеет три или более измерений, то важно учитывать топологию неустойчивого многообразия седловой точки. На рисунках показаны два случая. Во-первых, когда устойчивое многообразие топологически является цилиндром, а во-вторых, когда неустойчивое многообразие топологически является лентой Мёбиуса ; в этом случае гомоклиническая орбита называется закрученной .

Дискретная динамическая система [ править ]

Гомоклинические орбиты и гомоклинические точки определяются таким же образом для повторяющихся функций , как пересечение устойчивого множества и неустойчивого множества некоторой неподвижной точки или периодической точки системы.

У нас также есть понятие гомоклинической орбиты при рассмотрении дискретных динамических систем. В таком случае, если это Диффеоморфизм из многообразия , мы говорим , что это гомоклиническая точка , если она имеет тот же прошлое и будущее - более конкретно, если существует фиксированный (или периодической) точки такая , что${\ displaystyle f: M \ rightarrow M}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \pm \infty }f^{n}(x)=p.}$

Свойства [ править ]

Существование одной гомоклинической точки подразумевает существование бесконечного числа их. ^[1] Это происходит из его определения: пересечение устойчивого и неустойчивого множества. Оба набора инвариантны по определению, что означает, что прямая итерация гомоклинической точки происходит как на стабильном, так и на нестабильном множестве. Путем повторения N раз карта приближается к точке равновесия по устойчивому множеству, но на каждой итерации она также оказывается на неустойчивом многообразии, что демонстрирует это свойство.

Это свойство предполагает, что сложная динамика возникает из-за существования гомоклинической точки. Действительно, Смейл (1967) ^[2] показал, что эти точки приводят к отображению подковообразной динамики, которое связано с хаосом.

Символическая динамика [ править ]

Используя марковское разбиение , долговременное поведение гиперболической системы может быть изучено с использованием методов символической динамики . В этом случае гомоклиническая орбита имеет особенно простое и ясное представление. Предположим, что это конечный набор из M символов. Тогда динамика точки x представлена бибесконечной цепочкой символов ${\displaystyle S=\{1,2,\ldots ,M\}}$

${\displaystyle \sigma =\{(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}}$

Периодическая точка системы просто повторяющиеся последовательности букв. Гетероклиническая орбита затем соединение двух различных периодических орбит. Это можно записать как

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}q^{\omega }}$

где - последовательность символов длины k , (конечно, ), и - другая последовательность символов длины m (аналогично ). Обозначение просто означает повторение p бесконечное количество раз. Таким образом, гетероклиническую орбиту можно понимать как переход от одной периодической орбиты к другой. Напротив, гомоклиническую орбиту можно записать как ${\displaystyle p=t_{1}t_{2}\cdots t_{k}}$${\displaystyle t_{i}\in S}$${\displaystyle q=r_{1}r_{2}\cdots r_{m}}$${\displaystyle r_{i}\in S}$${\displaystyle p^{\omega }}$

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}p^{\omega }}$

при этом промежуточная последовательность непуста и, конечно же, не является p , иначе орбита была бы просто .${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n}}$${\displaystyle p^{\omega }}$

См. Также [ править ]

• Гетероклиническая орбита
• Гомоклиническая бифуркация

Ссылки [ править ]

• Джон Гукенхаймер и Филип Холмс , Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей (Прикладные математические науки, том 42), Springer

Внешние ссылки [ править ]

• Гомоклинические орбиты на карте Хенона с Java-апплетами и комментариями