В математике , неравенство Бернулли (названный в честь Якоба Бернулли ) является неравенство , аппроксимирующая возведения в степень 1 + х . Его часто используют в реальном анализе .
Иллюстрация неравенства Бернулли, с
графиками из
а также
показаны красным и синим цветом соответственно. Здесь,
Неравенство гласит, что
для любого целого числа r ≥ 0 и любого действительного числа x ≥ −1. [1] Если показатель г есть еще , то неравенство справедливо для всех действительных чисел х . Строгий вариант неравенства гласит
для любого целого числа r ≥ 2 и любого действительного числа x ≥ −1 с x ≠ 0.
Существует также обобщенная версия, которая гласит, что для любого действительного числа r ≥ 1 и действительного числа x ≥ −1,
в то время как для 0 ≤ r ≤ 1 и действительного числа x ≥ −1,
Неравенство Бернулли часто используется как решающий шаг при доказательстве других неравенств. Само это можно доказать с помощью математической индукции , как показано ниже.
ИсторияЯкоб Бернулли впервые опубликовал неравенство в своем трактате «Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis» (Базель, 1689 г.), где он часто использовал неравенство. [2]
Согласно Джозефу Э. Хофманну, Über die Exercitatio Geometrica des MA Ricci (1963), стр. 177, неравенство на самом деле связано с Слезом в его «Mesolabum» (издание 1668 г.), глава IV «De maximis & minimis». [2]
Доказательство неравенстваПриступим к математической индукции в следующем виде:
- докажем неравенство для ,
- из справедливости для некоторого r выводим справедливость для r + 2.
При r = 0
эквивалентно 1 ≥ 1, что верно.
Аналогично при r = 1 имеем
Теперь предположим, что утверждение верно для r = k :
Тогда следует, что
поскольку также как и . По модифицированной индукции заключаем, что утверждение верно для любого целого неотрицательного числа r .
ОбобщенияОбобщение экспоненты
Показатель r можно обобщить на произвольное действительное число следующим образом: если x > −1, то
для r ≤ 0 или r ≥ 1, и
для 0 ≤ r ≤ 1.
Это обобщение можно доказать, сравнивая производные . Опять же, строгие версии этих неравенств требуют x ≠ 0 и r ≠ 0, 1.
Обобщение базы
Вместо неравенство выполняется также в виде где - действительные числа, все больше -1, все с одним знаком. Неравенство Бернулли является частным случаем, когда. Это обобщенное неравенство можно доказать с помощью математической индукции.
Доказательство
На первом этапе мы берем . В этом случае неравенство очевидно верно.
На втором шаге предполагаем выполнение неравенства для числа и вывести действительность для числа.
Мы предполагаем, что
действует. После умножения обеих сторон на положительное число мы получили:
В виде все имеют знак равенства, товары все положительные числа. Таким образом, количество в правой части может быть ограничено следующим образом:
что нужно было показать. Связанные неравенстваСледующее неравенство оценивает r -ю степень 1 + x с другой стороны. Для любых действительных чисел x , r с r > 0 имеем
где е = 2,718 ... . Это можно доказать, используя неравенство (1 + 1 / k ) k < e .
Альтернативная формаАльтернативное доказательствоИспользование AM-GM
Элементарное доказательство и x ≥ -1 можно задать с помощью взвешенного AM-GM .
Позволять быть двумя неотрицательными действительными константами. По взвешенному AM-GM на с весами соответственно получаем
Обратите внимание, что
а также
поэтому наше неравенство эквивалентно
После замены (имея в виду, что это подразумевает ) наше неравенство превращается в
что является неравенством Бернулли.
Используя формулу для геометрического ряда
Неравенство Бернулли
| | (1) |
эквивалентно
| | (2) |
и по формуле для геометрического ряда (используя y = 1 + x ) получаем
| | (3) |
что приводит к
| | ( 4 ) |
Сейчас если то по монотонности степеней каждое слагаемое , а значит, их сумма больше и, следовательно, произведение на левой стороне ( 4 ).
Если затем по тем же аргументам и, таким образом, все слагает неположительны, а значит, и их сумма. Поскольку произведение двух неположительных чисел неотрицательно, мы снова получаем ( 4 ).
Используя биномиальную теорему
Неравенство Бернулли при x ≥ 0 можно доказать с помощью биномиальной теоремы . Это тривиально верно для r = 0, поэтому предположим, что r - положительное целое число. потом Четко и поэтому как требуется.
ЗаметкиРекомендацииВнешние ссылки