формула Фаульхабера
В математике формула Фаульхабера , названная в честь математика начала 17 века Иоганна Фаульхабера , выражает сумму p -х степеней первых n положительных целых чисел .
как полиномиальная функция ( p + 1)-й степени от n , коэффициенты, включающие числа Бернулли B j , в форме, представленной Якобом Бернулли и опубликованной в 1713 году:
где падающий факториал .
Формула Фаульхабера также называется формулой Бернулли . Фаульхабер не знал свойств коэффициентов, открытых позже Бернулли. Скорее, он знал как минимум о первых 17 случаях, а также о существовании многочленов Фаульхабера для нечетных степеней, описанных ниже. [1]
Строгое доказательство этих формул и утверждения Фаульхабера о том, что такие формулы будут существовать для всех нечетных степеней, было проведено до Карла Якоби ( 1834 г.), два века спустя.
Термин полиномы Фаульхабера используется некоторыми авторами для обозначения чего-то другого, кроме приведенной выше полиномиальной последовательности. Фаульхабер заметил, что если p нечетно , то
