Полиномиальная последовательность
В Многочлены Бернулли второго рода [1] [2] ψ п ( х )полиномов Фонтана-Бесселя , [3]
z ( 1 + z ) Икс пер ( 1 + z ) знак равно ∑ п знак равно 0 ∞ z п ψ п ( Икс ) , | z | < 1. {\ displaystyle {\ frac {z (1 + z) ^ {x}} {\ ln (1 + z)}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {n} \ psi _ {n} (x), \ qquad | z | <1.} Первые пять полиномов:
ψ 0 ( Икс ) знак равно 1 ψ 1 ( Икс ) знак равно Икс + 1 2 ψ 2 ( Икс ) знак равно 1 2 Икс 2 - 1 12 ψ 3 ( Икс ) знак равно 1 6 Икс 3 - 1 4 Икс 2 + 1 24 ψ 4 ( Икс ) знак равно 1 24 Икс 4 - 1 6 Икс 3 + 1 6 Икс 2 - 19 720 {\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \psi _{0}(x)=1\\[2mm]\displaystyle \psi _{1}(x)=x+{\frac {1}{2}}\\[2mm]\displaystyle \psi _{2}(x)={\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{12}}\\[2mm]\displaystyle \psi _{3}(x)={\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {1}{24}}\\[2mm]\displaystyle \psi _{4}(x)={\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{6}}x^{2}-{\frac {19}{720}}\end{array}}} Некоторые авторы определяют эти многочлены несколько иначе [4] [5]
z ( 1 + z ) x ln ( 1 + z ) = ∑ n = 0 ∞ z n n ! ψ n ∗ ( x ) , | z | < 1 , {\displaystyle {\frac {z(1+z)^{x}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\psi _{n}^{*}(x),\qquad |z|<1,} чтобы
ψ n ∗ ( x ) = ψ n ( x ) n ! {\displaystyle \psi _{n}^{*}(x)=\psi _{n}(x)\,n!} и может также использовать для них другую нотацию (наиболее часто используемая альтернативная нотация - b n ( x )
Полиномы Бернулли второго типа в основном изучались венгерским математиком Чарльзом Джорданом [1] [2], [3]
Интегральные представления [ править ] Полиномы Бернулли второго рода могут быть представлены через эти интегралы [1] [2]
ψ n ( x ) = ∫ x x + 1 ( u n ) d u = ∫ 0 1 ( x + u n ) d u {\displaystyle \psi _{n}(x)=\int \limits _{x}^{x+1}\!{\binom {u}{n}}\,du=\int \limits _{0}^{1}{\binom {x+u}{n}}\,du} а также [3]
ψ n ( x ) = ( − 1 ) n + 1 π ∫ 0 ∞ π cos π x − sin π x ln z ( 1 + z ) n ⋅ z x d z ln 2 z + π 2 , − 1 ≤ x ≤ n − 1 ψ n ( x ) = ( − 1 ) n + 1 π ∫ − ∞ + ∞ π cos π x − v sin π x ( 1 + e v ) n ⋅ e v ( x + 1 ) v 2 + π 2 d v , − 1 ≤ x ≤ n − 1 {\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\pi \cos \pi x-\sin \pi x\ln z}{(1+z)^{n}}}\cdot {\frac {z^{x}dz}{\ln ^{2}z+\pi ^{2}}},\qquad -1\leq x\leq n-1\,\\[3mm]\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\pi \cos \pi x-v\sin \pi x}{\,(1+e^{v})^{n}}}\cdot {\frac {e^{v(x+1)}}{v^{2}+\pi ^{2}}}\,dv,\qquad -1\leq x\leq n-1\,\end{array}}} Эти многочлены, следовательно, с точностью до константы, то первообразные от биномиального коэффициента , а также , что из падения факториала . [1] [2] [3]
Явная формула [ править ] Для произвольного n [1] [2] [3]
ψ n ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∑ l = 0 n − 1 s ( n − 1 , l ) l + 1 x l + 1 + G n , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{l=0}^{n-1}{\frac {s(n-1,l)}{l+1}}x^{l+1}+G_{n},\qquad n=1,2,3,\ldots } где s ( n , l )Стирлинга первого рода со знаком, G n коэффициенты Грегори .
Формула повторения [ править ] Многочлены Бернулли второго рода удовлетворяют рекуррентному соотношению [1] [2]
ψ n ( x + 1 ) − ψ n ( x ) = ψ n − 1 ( x ) {\displaystyle \psi _{n}(x+1)-\psi _{n}(x)=\psi _{n-1}(x)} или эквивалентно
Δ ψ n ( x ) = ψ n − 1 ( x ) {\displaystyle \Delta \psi _{n}(x)=\psi _{n-1}(x)} Повторяющаяся разница дает [1] [2]
Δ m ψ n ( x ) = ψ n − m ( x ) {\displaystyle \Delta ^{m}\psi _{n}(x)=\psi _{n-m}(x)} Свойство симметрии [ править ] Основное свойство симметрии гласит [2] [4]
ψ n ( 1 2 n − 1 + x ) = ( − 1 ) n ψ n ( 1 2 n − 1 − x ) {\displaystyle \psi _{n}({\tfrac {1}{2}}n-1+x)=(-1)^{n}\psi _{n}({\tfrac {1}{2}}n-1-x)} Некоторые дополнительные свойства и конкретные значения [ править ] Некоторые свойства и конкретные значения этих многочленов включают:
ψ n ( 0 ) = G n ψ n ( 1 ) = G n − 1 + G n ψ n ( − 1 ) = ( − 1 ) n + 1 ∑ m = 0 n | G m | = ( − 1 ) n C n ψ n ( n − 2 ) = − | G n | ψ n ( n − 1 ) = ( − 1 ) n ψ n ( − 1 ) = 1 − ∑ m = 1 n | G m | ψ 2 n ( n − 1 ) = M 2 n ψ 2 n ( n − 1 + y ) = ψ 2 n ( n − 1 − y ) ψ 2 n + 1 ( n − 1 2 + y ) = − ψ 2 n + 1 ( n − 1 2 − y ) ψ 2 n + 1 ( n − 1 2 ) = 0 {\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \psi _{n}(0)=G_{n}\\[2mm]\displaystyle \psi _{n}(1)=G_{n-1}+G_{n}\\[2mm]\displaystyle \psi _{n}(-1)=(-1)^{n+1}\sum _{m=0}^{n}|G_{m}|=(-1)^{n}C_{n}\\[2mm]\displaystyle \psi _{n}(n-2)=-|G_{n}|\\[2mm]\displaystyle \psi _{n}(n-1)=(-1)^{n}\psi _{n}(-1)=1-\sum _{m=1}^{n}|G_{m}|\\[2mm]\displaystyle \psi _{2n}(n-1)=M_{2n}\\[2mm]\displaystyle \psi _{2n}(n-1+y)=\psi _{2n}(n-1-y)\\[2mm]\displaystyle \psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}}+y)=-\psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}}-y)\\[2mm]\displaystyle \psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}})=0\end{array}}} где С п числами Кошей второго рода и М п разность коэффициентов центральных . [1] [2] [3]
Расширение в ряд Ньютона [ править ] Разложение полиномов Бернулли второго рода в ряд Ньютона имеет вид [1] [2]
ψ n ( x ) = G 0 ( x n ) + G 1 ( x n − 1 ) + G 2 ( x n − 2 ) + … + G n {\displaystyle \psi _{n}(x)=G_{0}{\binom {x}{n}}+G_{1}{\binom {x}{n-1}}+G_{2}{\binom {x}{n-2}}+\ldots +G_{n}} Некоторые серии с многочленами Бернулли второго рода [ править ] Функция дигаммы Ψ ( х ) может быть разложена в ряд с полиномами Бернулли второго рода следующим образом [3]
Ψ ( v ) = ln ( v + a ) + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ψ n ( a ) ( n − 1 ) ! ( v ) n , ℜ ( v ) > − a , {\displaystyle \Psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,} и, следовательно, [3]
γ = − ln ( a + 1 ) − ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ψ n ( a ) n , ℜ ( a ) > − 1 {\displaystyle \gamma =-\ln(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}
а также
γ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 n { ψ n ( a ) + ψ n ( − a 1 + a ) } , a > − 1 {\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1} где γ [3]
Ψ ( v ) = 1 v + a − 1 2 { ln Γ ( v + a ) + v − 1 2 ln 2 π − 1 2 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ψ n + 1 ( a ) ( v ) n ( n − 1 ) ! } , ℜ ( v ) > − a , {\displaystyle \Psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,} где Γ ( x ) - гамма-функция . В Гурвице и дзета - функция Римана может быть разложена в эти полиномы следующим образом [3]
ζ ( s , v ) = ( v + a ) 1 − s s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ψ n + 1 ( a ) ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( k + v ) − s {\displaystyle \zeta (s,v)={\frac {(v+a)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}} а также
ζ ( s ) = ( a + 1 ) 1 − s s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ψ n + 1 ( a ) ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( k + 1 ) − s {\displaystyle \zeta (s)={\frac {(a+1)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-s}} а также
ζ ( s ) = 1 + ( a + 2 ) 1 − s s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ψ n + 1 ( a ) ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( k + 2 ) − s {\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {(a+2)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+2)^{-s}} Многочлены Бернулли второго рода также участвуют в следующем соотношении [3]
( v + a − 1 2 ) ζ ( s , v ) = − ζ ( s − 1 , v + a ) s − 1 + ζ ( s − 1 , v ) + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ψ n + 2 ( a ) ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( k + v ) − s {\displaystyle {\big (}v+a-{\tfrac {1}{2}}{\big )}\zeta (s,v)=-{\frac {\zeta (s-1,v+a)}{s-1}}+\zeta (s-1,v)+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+2}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}} между дзета-функциями, а также в различных формулах для констант Стилтьеса , например [3]
γ m ( v ) = − ln m + 1 ( v + a ) m + 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ψ n + 1 ( a ) ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ln m ( k + v ) k + v {\displaystyle \gamma _{m}(v)=-{\frac {\ln ^{m+1}(v+a)}{m+1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {\ln ^{m}(k+v)}{k+v}}} а также
γ m ( v ) = 1 1 2 − v − a { ( − 1 ) m m + 1 ζ ( m + 1 ) ( 0 , v + a ) − ( − 1 ) m ζ ( m ) ( 0 , v ) − ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ψ n + 2 ( a ) ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ln m ( k + v ) k + v } {\displaystyle \gamma _{m}(v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}-v-a}}\left\{{\frac {(-1)^{m}}{m+1}}\,\zeta ^{(m+1)}(0,v+a)-(-1)^{m}\zeta ^{(m)}(0,v)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+2}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {\ln ^{m}(k+v)}{k+v}}\right\}} которые действительны для и . ℜ ( a ) > − 1 {\displaystyle \Re (a)>-1} v ∈ C ∖ { 0 , − 1 , − 2 , … } {\displaystyle v\in \mathbb {C} \setminus \!\{0,-1,-2,\ldots \}}
См. Также [ править ] Полиномы Бернулли Полиномы Стирлинга Коэффициенты Грегори Числа Бернулли Многочлены разности Число Поли-Бернулли Многочлены Миттаг-Леффлера Ссылки [ править ] ^ a b c d e f g h i Джордан, Чарльз (1928), "Sur des polynomes analogs aux polynomes de Bernoulli, et sur des formules de sommentation аналогов à celle de Maclaurin-Euler", Acta Sci. Математика. (Сегед) , 4 : 130–150. ^ a b c d e f g h i j Джордан, Чарльз (1965). Исчисление конечных разностей (3-е издание) . Издательская компания "Челси". ^ a b c d e f g h i j k l Благушин, Ярослав В. (2018), «Три заметки о представлениях Сера и Хассе для дзета-функций» (PDF) , INTEGERS: Электронный журнал комбинаторной теории чисел , 18A (# A3): 1–45 ^ a b Роман, С. (1984). Мрачное исчисление . Нью-Йорк: Academic Press. ^ Вайсштейн, Эрик В. Полином Бернулли второго рода . Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. Математика [ править ] 
![{\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ psi _ {0} (x) = 1 \\ [2 мм] \ displaystyle \ psi _ {1} (x) = x + {\ frac {1} { 2}} \\ [2 мм] \ displaystyle \ psi _ {2} (x) = {\ frac {1} {2}} x ^ {2} - {\ frac {1} {12}} \\ [2 мм ] \ displaystyle \ psi _ {3} (x) = {\ frac {1} {6}} x ^ {3} - {\ frac {1} {4}} x ^ {2} + {\ frac {1 } {24}} \\ [2 мм] \ displaystyle \ psi _ {4} (x) = {\ frac {1} {24}} x ^ {4} - {\ frac {1} {6}} x ^ {3} + {\ frac {1} {6}} x ^ {2} - {\ frac {19} {720}} \ end {array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9062d0915f3efe3f3e230a28beb1887424cc63)
![{\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ psi _ {n} (x) = {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {\ pi}} \ int \ limits _ { 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ pi \ cos \ pi x- \ sin \ pi x \ ln z} {(1 + z) ^ {n}}} \ cdot {\ frac {z ^ {x } dz} {\ ln ^ {2} z + \ pi ^ {2}}}, \ qquad -1 \ leq x \ leq n-1 \, \\ [3 мм] \ displaystyle \ psi _ {n} (x) = {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {\ pi}} \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ pi \ cos \ pi xv \ sin \ pi x} {\, (1 + e ^ {v}) ^ {n}}} \ cdot {\ frac {e ^ {v (x + 1)}} {v ^ {2} + \ pi ^ { 2}}} \, dv, \ qquad -1 \ leq x \ leq n-1 \, \ end {array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64da1057e93b39b008e2115dff6885629653b0a5)
![{\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ psi _ {n} (0) = G_ {n} \\ [2 мм] \ displaystyle \ psi _ {n} (1) = G_ {n-1 } + G_ {n} \\ [2 мм] \ displaystyle \ psi _ {n} (- 1) = (- 1) ^ {n + 1} \ sum _ {m = 0} ^ {n} | G_ {m } | = (- 1) ^ {n} C_ {n} \\ [2 мм] \ displaystyle \ psi _ {n} (n-2) = - | G_ {n} | \\ [2 мм] \ displaystyle \ psi _ {n} (n-1) = (- 1) ^ {n} \ psi _ {n} (- 1) = 1- \ sum _ {m = 1} ^ {n} | G_ {m} | \ \ [2 мм] \ displaystyle \ psi _ {2n} (n-1) = M_ {2n} \\ [2 мм] \ displaystyle \ psi _ {2n} (n-1 + y) = \ psi _ {2n} ( n-1-y) \\ [2 мм] \ displaystyle \ psi _ {2n + 1} (n - {\ tfrac {1} {2}} + y) = - \ psi _ {2n + 1} (n- {\ tfrac {1} {2}} - y) \\ [2 мм] \ displaystyle \ psi _ {2n + 1} (n - {\ tfrac {1} {2}}) = 0 \ end {array}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085f82d1402acafbad46d177f7db3621a241bdb7)
