Ноль в степени нуля
Нуль в степени нуля , обозначаемый 0 0 , является математическим выражением , которое либо определяется как 1, либо не определяется , в зависимости от контекста. В алгебре и комбинаторике обычно определяют 0 0 = 1 . В математическом анализе выражение иногда оставляют неопределенным. Языки программирования и программное обеспечение также имеют разные способы обработки этого выражения.
Многие широко используемые формулы, включающие показатели степени натурального числа, требуют, чтобы 0 0 определялось как 1 . Например, следующие три интерпретации b 0 имеют такой же смысл для b = 0 , как и для положительных целых чисел b :
При вычислении многочленов удобно определить 0 0 как 1 . (Вещественный) полином — это выражение вида a 0 x 0 + ⋅⋅⋅ + an x n , где x — неопределённое значение, а коэффициенты a i — действительные числа . Многочлены складываются почленно и умножаются с применением закона распределения и обычных правил для показателей степени. С помощью этих операций многочлены образуют кольцо R [ x ] . Мультипликативная идентичностьR [ x ] есть многочлен x0 ; _ то есть x 0 , умноженный на любой полином p ( x ), будет просто p ( x ) . [2] Кроме того, полиномы могут быть вычислены путем приведения x к вещественному числу. Точнее, для любого заданного вещественного числа r существует единственный гомоморфизм унитальной R -алгебры ev r : R [ x ] → R такой, что ev r ( x ) = р . Поскольку ev r унитально, ev r ( x 0 ) = 1 . То есть r 0 = 1 для каждого действительного числа r , включая 0. Тот же самый аргумент применим к замене R любым кольцом . [3]
Определение 0 0 = 1 необходимо для многих полиномиальных тождеств. Например, биномиальная теорема (1 + x ) n = Σп
к =0 (н
к) x k выполняется для x = 0, только если 0 0 = 1 . [4]
Точно так же кольца степенных рядов требуют , чтобы x 0 был определен как 1 для всех специализаций x . Например, такие тождества, как 1 / 1− x = Σ∞
п =0 x n и e x = Σ∞
п =0 х н / н ! выполняется дляx= 0, только если00= 1. [5]
Пределы, включающие алгебраические операции, часто можно оценить, заменив подвыражения их пределами; если результирующее выражение не определяет первоначальный предел, выражение называется неопределенной формой . [6] Выражение 0 0 является неопределенной формой: при заданных действительных функциях f ( t ) и g ( t ), приближающихся к 0 (когда t приближается к действительному числу или ± ∞ ) при f ( t ) > 0 , предел ж ( т ) г (t ) может быть любым неотрицательным действительным числом или+∞, или можетрасходиться, в зависимости отfиg. Например, каждый предел ниже включает функцию f ( t ) g ( t ) с f ( t ), g ( t ) → 0при t → 0 + (односторонний предел), но их значения различны:
