Средний порядок арифметической функции

В теории чисел , средний порядок арифметической функции некоторая проще или лучше понимала функция , которая принимает то же значение «в среднем».

Позвольте быть арифметической функцией . Будем говорить , что средний порядок в это , если${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {п \ Leq х} е (п) \ сим \ сумма _ {п \ Leq х} г (п)}$

как стремится к бесконечности.${\ displaystyle x}$

Общепризнано выбрать приближающуюся функцию , которая непрерывна и монотонна . Но даже в этом случае средний заказ, конечно, не уникален.${\ displaystyle g}$

В случаях, когда лимит

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n\leq N}f(n)=c}$

существует, говорят, что имеет среднее значение ( среднее значение ) .${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$

Примеры [ править ]

• Средний порядок г ( п ) , то число делителей из п , является лог - н ;
• Средний порядок сг ( п ) , то сумма делителей из п является п π ²  /6 ;
• Средний порядок φ ( n ) , тотальной функции Эйлера от n , равен 6 n  / π ² ;
• Средний порядок r ( n ) , количество способов выразить n как сумму двух квадратов, равен π ;
• Средний порядок представления натурального числа в виде суммы трех квадратов составляет 4π n  / 3 ;
• Среднее количество разложений натурального числа в сумму одного или нескольких последовательных простых чисел равно n log2 ;
• Средний порядок ω ( n ) , количества различных простых делителей числа n , равен log log n ;
• Средний порядок Q ( п ) , с числом простых множителей в п , является loglog п ;
• Теорема о простых числах эквивалентна утверждению, что функция фон Мангольдта Λ ( n ) имеет средний порядок 1;
• Среднее значение ц ( п ) , то функция Мебиуса , равна нулю; это снова эквивалентно теореме о простых числах .

Расчет средних значений с использованием ряда Дирихле [ править ]

В случае формы${\displaystyle F}$

${\displaystyle F(n)=\sum _{d\mid n}f(d),}$

для некоторой арифметической функции есть,${\displaystyle f(n)}$

${\displaystyle \sum _{n\leq x}F(n)=\sum _{d\leq x}f(d)\sum _{n\leq x,d\mid n}1=\sum _{d\leq x}f(d)[x/d]=x\sum _{d\leq x}{\frac {f(d)}{d}}{\text{ }}+O(\sum _{d\leq x}|f(d)|).\qquad \qquad (1)}$

Обобщения предыдущей идентичности найдены здесь . Это тождество часто обеспечивает практический способ вычисления среднего значения в терминах дзета-функции Римана . Это показано в следующем примере.

Плотность k-й степени свободных целых чисел в N [ править ]

Для целого множество из K -й мощности , свободная от целых чисел${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle Q_{k}}$

${\displaystyle Q_{k}:=\{n\in \mathbb {Z} \mid n{\text{ is not divisible by }}d^{k}{\text{ for any integer }}d\geq 2\}.}$

Мы вычисляем естественную плотность этих чисел в N , то есть среднее значение , обозначенное как , в терминах дзета-функции .${\displaystyle 1_{Q_{k}}}$${\displaystyle \delta (n)}$

Функция мультипликативна, и, поскольку она ограничена единицей, ее ряд Дирихле абсолютно сходится в полуплоскости , и существует произведение Эйлера${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}$

${\displaystyle \sum _{Q_{k}}n^{-s}=\sum _{n}\delta (n)n^{-s}=\prod _{p}(1+p^{-s}+\cdots +p^{-s(k-1)})=\prod _{p}\left({\frac {1-p^{-sk}}{1-p^{-s}}}\right)={\frac {\zeta (s)}{\zeta (sk)}}.}$

По формуле обращения Мёбиуса получаем

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (ks)}}=\sum _{n}\mu (n)n^{-ks},}$

где - функция Мёбиуса . Эквивалентно,${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (ks)}}=\sum _{n}f(n)n^{-s},}$

где ${\displaystyle f(n)={\begin{cases}\;\;\,\mu (d)&n=d^{k}\\\;\;\,0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

и поэтому,

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (sk)}}=\sum _{n}(\sum _{d\mid n}f(d))n^{-s}.}$

Сравнивая коэффициенты, получаем

${\displaystyle \delta (n)=\sum _{d\mid n}f(d)n^{-s}.}$

Используя (1), получаем

${\displaystyle \sum _{d\leq x}\delta (d)=x\sum _{d\leq x}(f(d)/d)+O(x^{1/k}).}$

Мы заключаем, что,

${\displaystyle \sum _{n\in Q_{k},n\leq x}1={\frac {x}{\zeta (k)}}+O(x^{1/k}),}$

где для этого использовалось соотношение

${\displaystyle \sum _{n}(f(n)/n)=\sum _{n}f(n^{k})n^{-k}=\sum _{n}\mu (n)n^{-k}={\frac {1}{\zeta (k)}},}$

которое следует из формулы обращения Мёбиуса.

В частности, плотность целых чисел без квадратов равна .${\displaystyle \zeta (2)^{-1}={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$

Видимость точек решетки [ править ]

Мы говорим, что две точки решетки видны одна из другой, если на соединяющем их открытом отрезке прямой нет точки решетки.

Теперь, если gcd ( a , b ) = d > 1, то записывая a = da ² , b = db ^2, можно заметить, что точка ( a ² , b ² ) находится на отрезке, который соединяет (0,0) с ( a , b ) и, следовательно, ( a , b ) не видны из начала координат. Таким образом, ( a , b ) видна из начала координат, следует, что ( a , b ) = 1. Наоборот, также легко увидеть, что gcd ( a , b) = 1 означает, что на отрезке, соединяющем (0,0) с ( a , b ), нет другой точки целочисленной решетки . Таким образом, ( a , b ) виден из (0,0) тогда и только тогда, когда gcd ( a , b ) = 1.

Обратите внимание, что это вероятность того, что случайная точка на квадрате будет видна из начала координат.${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n}}}$${\displaystyle \{(r,s)\in \mathbb {N} :\max(|r|,|s|)=n\}}$

Таким образом, можно показать, что естественная плотность точек, видимых из начала координат, определяется средним значением,

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n\leq N}{\frac {\varphi (n)}{n}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (2)}}}$Также естественная плотность свободных от квадратов чисел в N . На самом деле это не совпадение. Рассмотрим K - мерную решетку, . Естественная плотность точек , которые видны из начала координат , который также является естественной плотностью K -го свободных чисел в N .${\displaystyle \mathbb {Z} ^{k}}$${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (k)}}}$

Функции делителя [ править ]

Рассмотрим обобщение :${\displaystyle d(n)}$

${\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }.}$

Верно следующее:

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)={\begin{cases}\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)={\frac {\zeta (\alpha +1)}{\alpha +1}}x^{\alpha +1}+O(x^{\beta })&{\text{if }}\alpha >0,\\\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{-1}(n)=\zeta (2)x+O(\log x)&{\text{if }}\alpha =-1,\\\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)=\zeta (-\alpha +1)x+O(x^{\max(0,1+\alpha )})&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

где .${\displaystyle \beta =max(1,\alpha )}$

Лучше средний порядок [ править ]

Это понятие лучше всего пояснить на примере. Из

${\displaystyle \sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+o(x)}$

( - постоянная Эйлера – Маскерони ) и${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\log n=x\log x-x+O(\log x),}$

имеем асимптотическое соотношение

${\displaystyle \sum _{n\leq x}(d(n)-(\log n+2\gamma ))=o(x)\quad (x\rightarrow \infty ),}$

что предполагает, что функция - лучший выбор среднего порядка, чем просто .${\displaystyle \log n+2\gamma }$${\displaystyle d(n)}$${\displaystyle \log n}$

Средние значения по F _q [x] [ править ]

Определение [ править ]

Пусть h ( x ) - функция на множестве монических многочленов над F q . Поскольку мы определяем${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(h)={\frac {1}{q^{n}}}\sum _{f{\text{ monic}},\deg(f)=n}h(f).}$

Это среднее значение (среднее значение) h на множестве монических многочленов степени n . Будем говорить , что г ( п ) является средний порядок в час , если

${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(h)\sim g(n)}$

поскольку n стремится к бесконечности.

В случаях, когда лимит,

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\text{Ave}}_{n}(h)=c}$

существует, говорят, что h имеет среднее значение ( среднее значение ) c .

Дзета-функция и ряд Дирихле в F _q [X] [ править ]

Пусть F _q [X] = A - кольцо многочленов над конечным полем F _q .

Пусть h - полиномиальная арифметическая функция (т. Е. Функция на множестве монических полиномов над A ). Соответствующий ему ряд Дирихле определяется как

${\displaystyle D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},}$

где для , установить, если и в противном случае.${\displaystyle g\in A}$${\displaystyle |g|=q^{deg(g)}}$${\displaystyle g\neq 0}$${\displaystyle |g|=0}$

Тогда полиномиальная дзета-функция имеет вид

${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.}$

Подобно ситуации в N , каждый ряд Дирихле мультипликативной функции h имеет представление произведения (произведение Эйлера):

${\displaystyle D_{h}(s)=\prod _{P}(\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{-sn}),}$

Если продукт пробегает все унитарный неприводимые многочлены P .

Например, представление произведения дзеты функции , как для целых чисел: .${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}}$

В отличие от классической дзета-функции , это простая рациональная функция:${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$

${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f}(|f|^{-s})=\sum _{n}\sum _{\text{deg(f)=n}}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}$

Аналогичным образом, если ƒ и g - две полиномиальные арифметические функции, определяется ƒ  *  g , свертка Дирихле для ƒ и g , следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\,\mid \,m}f(m)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab\,=\,m}f(a)g(b)\end{aligned}}}$

где сумма распространяется на все монические делители d числа  m или, что то же самое, на все пары ( a , b ) монических многочленов, произведение которых равно m . Тождество все еще в силе. Таким образом, как и в элементарной теории, полиномиальный ряд Дирихле и дзета-функция связаны с понятием средних значений в контексте полиномов. Следующие примеры иллюстрируют это.${\displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}$

Примеры [ править ]

Плотность k -й степени свободных многочленов в F _q [X] [ править ]

Определить , чтобы быть 1 , если есть K ей мощности бесплатно и 0 в противном случае.${\displaystyle \delta (f)}$${\displaystyle f}$

Мы вычисляем среднее значение , которое является плотностью k -й степени свободных многочленов в F _q [X] , таким же образом, как и в целых числах.${\displaystyle \delta }$

По мультипликативности :${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \sum _{f}{\frac {\delta (f)}{|f|^{s}}}=\prod _{P}(\sum _{j\mathop {=} 0}^{k-1}(|P|^{-js}))=\prod _{P}{\frac {1-|P|^{-sk}}{1-|P|^{-s}}}={\frac {\zeta _{A}(s)}{\zeta _{A}(sk)}}={\frac {1-q^{1-ks}}{1-q^{1-s}}}={\frac {\zeta _{A}(s)}{\zeta _{A}(ks)}}}$

Обозначим количество k -й степени монических многочленов степени n , получим${\displaystyle b_{n}}$

${\displaystyle \sum _{f}{\frac {\delta (f)}{|f|^{s}}}=\sum _{n}\sum _{{\text{def}}f=n}\delta (f)|f|^{-s}=\sum _{n}b_{n}q^{-sn}.}$

Произведя замену получаем:${\displaystyle u=q^{-s}}$

${\displaystyle {\frac {1-qu^{k}}{1-qu}}=\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }b_{n}u^{n}.}$

Наконец, разверните левую часть в геометрический ряд и сравните коэффициенты на обеих сторонах, чтобы сделать вывод, что${\displaystyle u^{n}}$

${\displaystyle b_{n}={\begin{cases}\;\;\,q^{n}&n\leq k-1\\\;\;\,q^{n}(1-q^{1-k})&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(\delta )=1-q^{1-k}={\frac {1}{\zeta _{A}(k)}}}$

И поскольку это не зависит от n, это также среднее значение .${\displaystyle \delta (f)}$

Функции полиномиального делителя [ править ]

В F _q [X] определим

${\displaystyle \sigma _{k}(m)=\sum _{f|m,{\text{ monic}}}|f|^{k}.}$

Вычислим для .${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(\sigma _{k})}$${\displaystyle k\geq 1}$

Во-первых, обратите внимание, что

${\displaystyle \sigma _{k}(m)=h*\mathbb {I} (m)}$

где и .${\displaystyle h(f)=|f|^{k}}$${\displaystyle \;\mathbb {I} (f)=1\;\;\forall {f}}$

Следовательно,

${\displaystyle \sum _{m}\sigma _{k}(m)|m|^{-s}=\zeta _{A}(s)\sum _{m}h(m)|m|^{-s}.}$

Заменим получаем,${\displaystyle q^{-s}=u}$

${\displaystyle {\text{LHS}}=\sum _{n}(\sum _{\deg(m)=n}\sigma _{k}(m))u^{n}}$, и по произведению Коши получаем,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{RHS}}&=\sum _{n}q^{n(1-s)}\sum _{n}(\sum _{\deg(m)=n}h(m))u^{n}\\&=\sum _{n}q^{n}u^{n}\sum _{l}q^{l}q^{lk}u^{l}\\&=\sum _{n}(\sum _{j\mathop {=} 0}^{n}q^{n-j}q^{jk+j})\\&=\sum _{n}(q^{n}({\frac {1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}))u^{n}.\end{aligned}}}$

Наконец мы получаем это,

${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}\sigma _{k}={\frac {1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}.}$

Заметь

${\displaystyle q^{n}{\text{Ave}}_{n}\sigma _{k}=q^{n(k+1)}({\frac {1-q^{-k(n+1)}}{1-q^{-k}}})=q^{n(k+1)}({\frac {\zeta (k+1)}{\zeta (kn+k+1)}})}$

Таким образом, если мы установим, то результат будет следующим:${\displaystyle x=q^{n}}$

${\displaystyle \sum _{\deg(m)=n,m{\text{ monic}}}\sigma _{k}(m)=x^{k+1}({\frac {\zeta (k+1)}{\zeta (kn+k+1)}})}$

что напоминает аналогичный результат для целых чисел:

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\sigma _{k}(n)={\frac {\zeta (k+1)}{k+1}}x^{k+1}+O(x^{k})}$

Количество делителей [ править ]

Позвольте быть количеством монических делителей f и пусть будет сумма по всем моникам степени n.${\displaystyle d(f)}$${\displaystyle D(n)}$${\displaystyle d(f)}$

${\displaystyle \zeta _{A}(s)^{2}=(\sum _{h}|h|^{-s})(\sum _{g}|g|^{-s})=\sum _{f}(\sum _{hg=f}1)|f|^{-s}=\sum _{f}d(f)|f|^{-s}=D_{d}(s)=\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }D(n)u^{n}}$

где .${\displaystyle u=q^{-s}}$

Раскладывая правую часть в степенной ряд, получаем,

${\displaystyle D(n)=(n+1)q^{n}.}$

Замените приведенное выше уравнение на:${\displaystyle x=q^{n}}$

${\displaystyle D(n)=x\log _{q}(x)+x}$что очень похоже на аналогичный результат для целых чисел , где - постоянная Эйлера .${\displaystyle \sum _{k\mathop {=} 1}^{n}d(k)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})}$${\displaystyle \gamma }$

О члене ошибки для целых чисел известно немного, в то время как в случае полиномов члена ошибки нет! Это связано с очень простой природой дзета-функции и тем, что у нее НЕТ нулей.${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$

Полиномиальная функция фон Мангольдта [ править ]

Полиномиальная функция фон Мангольдта определяется следующим образом:${\displaystyle \Lambda _{A}(f)={\begin{cases}\log |P|&{\mbox{if }}f=|P|^{k}{\text{ for some prime monic}}P{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Где логарифм берется по q .

Предложение. Среднее значение равно 1 .${\displaystyle \Lambda _{A}}$

Доказательство. Пусть m - монический многочлен, и пусть - разложение m на простые числа.${\displaystyle m=\prod _{i\mathop {=} 1}^{l}P_{i}^{e_{i}}}$

У нас есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{f|m}\Lambda _{A}(f)&=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{l})|0\leq i_{j}\leq e_{j}}\Lambda _{A}(\prod _{j\mathop {=} 1}^{l}P_{j}^{i_{j}})=\sum _{j\mathop {=} 1}^{l}\sum _{i\mathop {=} 1}^{e_{i}}\Lambda _{A}(P_{j}^{i})=\sum _{j\mathop {=} 1}^{l}\sum _{i\mathop {=} 1}^{e_{i}}\log |P_{j}|\\&=\sum _{j\mathop {=} 1}^{l}e_{j}\log |P_{j}|=\sum _{j\mathop {=} 1}^{l}\log |P_{j}|^{e_{j}}=\log |(\prod _{i\mathop {=} 1}^{l}P_{i}^{e_{i}})|\\&=\log(m)\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle \mathbb {I} \cdot \Lambda _{A}(m)=\log |m|}$

и мы получаем это,

${\displaystyle \zeta _{A}(s)D_{\Lambda _{A}}(s)=\sum _{m}log|m||m|^{-s}.}$

Сейчас,

${\displaystyle \sum _{m}|m|^{s}=\sum _{n}\sum _{\deg m=n}u^{n}=\sum _{n}q^{n}u^{n}=\sum _{n}q^{n(1-s)}.}$

Таким образом,

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\sum _{m}|m|^{s}=-\sum _{n}\log(q^{n})q^{n(1-s)}=-\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}\log(q^{n})q^{-ns}=-\sum _{f}\log |f||f|^{-s}.}$

Мы получили это:

${\displaystyle D_{\Lambda _{A}}(s)={\frac {-\zeta '_{A}(s)}{\zeta _{A}(s)}}}$

Сейчас,

${\displaystyle \sum _{m}\Lambda _{A}(m)|m|^{-s}=\sum _{n}(\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)q^{-sm})=\sum _{n}(\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m))u^{n}={\frac {-\zeta '_{A}(s)}{\zeta _{A}(s)}}={\frac {q^{1-s}log(q)}{1-q^{1-s}}}=\log(q)\sum _{n\mathop {=} 1}^{\infty }q^{n}u^{n}}$

Следовательно,

${\displaystyle \sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)=q^{n}\log(q),}$

и разделив на, мы получим,${\displaystyle q^{n}}$

${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}\Lambda _{A}(m)=\log(q)=1.}$

Полиномиальная функция Эйлера [ править ]

Определим аналог многочлена функции Эйлера как количество элементов в группе . У нас есть,${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (A/fA)^{*}}$

${\displaystyle \sum _{\deg f=n,f{\text{ monic}}}\Phi (f)=q^{2n}(1-q^{-1}).}$

См. Также [ править ]

• Сумматорная функция делителя
• Нормальный порядок арифметической функции
• Экстремальные порядки арифметической функции
• Тождества суммы делителей

Ссылки [ править ]

• Харди, GH ; Райт, EM (2008) [1938]. Введение в теорию чисел . Отредактировано Д. Р. Хитом-Брауном и Дж . Х. Сильверманом . Предисловие Эндрю Уайлса . (6-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-921986-5. Руководство по ремонту  2445243 . Zbl  1159.11001 . Стр. 347–360
• Джеральд Тененбаум (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. 46 . Издательство Кембриджского университета . С. 36–55. ISBN 0-521-41261-7. Zbl  0831.11001 .
• Том М. Апостол (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов Springer по математике , ISBN 0-387-90163-9 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Майкл Розен (2000), Теория чисел в функциональных полях , Тексты для выпускников Springer по математике, ISBN 0-387-95335-3
• Хью Л. Монтгомери; Роберт К. Воан (2006), теория мультипликативных чисел , Cambridge University Press, ISBN 978-0521849036
• Майкл Баакеа; Роберт В. Мудиб; Питер А.Б. Плезантск (2000), Дифракция от видимых точек решетки и целые числа без k-й степени , Дискретная математика - Журнал