Пять лемм

В математике , особенно в гомологической алгебре и других приложениях теории абелевых категорий , лемма пяти является важной и широко используемой леммой о коммутативных диаграммах . Лемма о пяти верна не только для абелевых категорий, но также работает, например, в категории групп .

Пять лемм можно рассматривать как комбинацию двух других теорем, четырех лемм , двойственных друг другу.

Заявления [ править ]

Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму в любой абелевой категории (такой как категория абелевых групп или категория векторных пространств над данным полем ) или в категории групп .

Пять лемма утверждает , что, если строки являются точными , м и р являются изоморфизмами , л является эпиморфизмом , и д является мономорфизмом , то п также является изоморфизм.

Две леммы из четырех утверждают:
(1) Если строки в коммутативной диаграмме

точны, m и p - эпиморфизмы, q - мономорфизм, тогда n - эпиморфизм.

(2) Если строки коммутативной диаграммы

точны, m и p - мономорфизмы, l - эпиморфизм, тогда n - мономорфизм.

Доказательство [ править ]

Метод доказательства, который мы будем использовать, обычно называют поиском диаграмм . ^[1] Мы докажем пять лемм, отдельно доказывая каждую из двух четырех лемм.

Чтобы выполнить поиск диаграмм, мы предполагаем, что находимся в категории модулей над некоторым кольцом , так что мы можем говорить об элементах объектов в диаграмме и думать о морфизмах диаграммы как о функциях (фактически, гомоморфизмах ), действующих на эти элементы. Тогда морфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда он инъективен , и эпиморфизмом тогда и только тогда, когда он сюръективен . Точно так же, чтобы иметь дело с точностью, мы можем думать о ядрах и изображениях в теоретико-функциональном смысле. Доказательство будет по-прежнему применимо к любой (малой) абелевой категории, посколькуТеорема вложения Митчелла , которая утверждает, что любая малая абелева категория может быть представлена ​​как категория модулей над некоторым кольцом. Для категории групп просто превратите все аддитивные обозначения, приведенные ниже, в мультипликативные, и обратите внимание, что коммутативность абелевой группы никогда не используется.

Итак, чтобы доказать (1), предположим, что m и p сюръективны, а q инъективен.

Доказательство (1) в случае, когда .${\ Displaystyle т (с ') = 0}$

Доказательство (1) в случае, когда .${\ Displaystyle т (с ') \ neq 0}$

• Пусть c ′ - элемент C ′ .
• Так как р сюръективно, существует элемент д в D с р ( г ) = т ( с ' ).
• По коммутативности диаграммы u ( p ( d )) = q ( j ( d )).
• Поскольку im t = ker u по точности, 0 = u ( t ( c ′ )) = u ( p ( d )) = q ( j ( d )).
• Поскольку q инъективно, j ( d ) = 0, поэтому d находится в ker j = im h .
• Таким образом, существует гр в C с ч ( гр ) = D .
• Тогда t ( n ( c )) = p ( h ( c )) = t ( c ′ ). Поскольку t - гомоморфизм, отсюда следует, что t ( c ′ - n ( c )) = 0.
• По точности c ′ - n ( c ) находится в образе s , поэтому существует b ′ в B ′ с s ( b ′ ) = c ′ - n ( c ).
• Поскольку m сюръективно, мы можем найти b в B такое, что b ′ = m ( b ).
• По коммутативности n ( g ( b )) = s ( m ( b )) = c ′ - n ( c ).
• Поскольку n - гомоморфизм, n ( g ( b ) + c ) = n ( g ( b )) + n ( c ) = c ′ - n ( c ) + n ( c ) = c ′ .
• Следовательно, n сюръективно.

Затем, чтобы доказать (2), предположим, что m и p инъективны, а l сюръективен.

Доказательство (2).

• Пусть c в C таково, что n ( c ) = 0.
• t ( n ( c )) тогда 0.
• По коммутативности p ( h ( c )) = 0.
• Поскольку p инъективен, h ( c ) = 0.
• По точности существует элемент b из B такой, что g ( b ) = c .
• По коммутативности s ( m ( b )) = n ( g ( b )) = n ( c ) = 0.
• По точности тогда существует элемент a ′ из A ′ такой, что r ( a ′ ) = m ( b ).
• Так как л сюръективна, есть в А такое , что л ( ) = а ' .
• По коммутативности m ( f ( a )) = r ( l ( a )) = m ( b ) .
• Поскольку m инъективно, f ( a ) = b .
• Итак, c = g ( f ( a )).
• Поскольку композиция g и f тривиальна, c = 0.
• Следовательно, n инъективно.

Объединение двух четырех лемм доказывает всю лемму о пяти.

Приложения [ править ]

Лемма пяти часто применяется к длинным точным последовательностям : при вычислении гомологий или когомологий данного объекта обычно используется более простой подобъект, гомологии / когомологии которого известны, и получается длинная точная последовательность, которая включает неизвестные группы гомологий исходного объекта. объект. Одного этого часто недостаточно для определения неизвестных групп гомологий, но если можно сравнить исходный объект и подобъект с хорошо изученными посредством морфизмов, то индуцируется морфизм между соответствующими длинными точными последовательностями, и тогда можно будет выполнить лемму из пяти использоваться для определения неизвестных групп гомологии.

См. Также [ править ]

• Краткая лемма пять , частный случай леммы пять для коротких точных последовательностей
• Лемма о змее , еще одна лемма, доказанная поиском диаграмм
• Девять лемм

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• WR Scott: Group Theory , Prentice Hall, 1964.
• Мэсси, Уильям С. (1991), Базовый курс алгебраической топологии , Тексты для выпускников по математике, 127 (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-97430-9