Эпигруппа

В абстрактной алгебре , эпигруппа является полугруппа , в которой каждый элемент имеет силу , которая принадлежит к подгруппе . Формально для всех х в полугруппы S , существует натуральное число п и подгруппу G из S , таких , что х ^п принадлежит G .

Эпигруппы известны под множеством других названий, включая квазипериодическую полугруппу , полугруппу с групповой границей , полностью π-регулярную полугруппу, сильно π-регулярную полугруппу ( sπr ^[1] ), ^[2] или просто π-регулярную полугруппу ^{[3 ]} (хотя последнее неоднозначно).

В более общем смысле, в произвольной полугруппе элемент называется групповым, если он имеет мощность, принадлежащую подгруппе.

Эпигруппы имеют приложения к теории колец . В этом контексте изучаются многие их свойства. ^[4]

Эпигруппы впервые были изучены Дугласом Манном в 1961 году, который назвал их псевдообратимыми . ^[5]

Свойства [ править ]

Эпигруппы являются обобщением периодических полугрупп , ^[6] , таким образом , все конечные полугруппы также эпигруппы.
В класс эпигрупп входят также все вполне регулярные полугруппы и все вполне 0-простые полугруппы . ^[5]
Все эпигруппы также в конечном итоге являются регулярными полугруппами . ^[7] (также известные как π-регулярные полугруппы)
Сократимая эпигруппа является группой . ^[8]
Отношения Грина D и J совпадают для любой эпигруппы. ^[9]
Если S эпигруппа, любая регулярная подполугруппа S также является эпигруппой. ^[1]
В эпигруппе порядок Намборипад (расширенный П. Р. Джонсом) и естественный частичный порядок (Митча) совпадают. ^[10]

Примеры [ править ]

Полугруппа всех матриц над телом является эпигруппой. ^[5]
Мультипликативная полугруппа любого полупростого артинового кольца является эпигруппой. ^[4]^{: 5}
Любая алгебраическая полугруппа является эпигруппой.

Структура [ править ]

По аналогии с периодическими полугрупп, эпигруппа S является распределяли в классах его идемпотентами , которые выступают в качестве идентификаторов для каждой подгруппы. Для каждого идемпотента e группы S множество: называется классом унипотентности (тогда как для периодических полугрупп обычное название - класс кручения). ^[5] ${\ Displaystyle К_ {е} = \ {х \ в S \; | \; \ существует п> 0: \; х ^ {n} \ в G_ {е} \}}$

Подполугруппы эпигруппы не обязательно должны быть эпигруппами, но если они есть, то они называются подэпигруппами. Если эпигруппа S имеет разбиение на унипотентные подэпигруппы (т. Е. Каждая содержит один идемпотент), то это разбиение уникально, и его компоненты являются в точности классами унипотентности, определенными выше; такая эпигруппа называется унипотентно разделяемой . Однако не каждая эпигруппа обладает этим свойством. Простым контрпримером является полугруппа Брандта с пятью элементами B _2, поскольку класс унипотентности ее нулевого элемента не является подполугруппой. B ₂ на самом деле является квинтэссенцией эпигруппы, которая не является унипотентно разделяемой. Эпигруппа унипотентно разделяематогда и только тогда, когда она не содержит подполугруппы, являющейся идеальным расширением унипотентной эпигруппы посредством B ₂ . ^[5]

См. Также [ править ]

Специальные классы полугрупп

Ссылки [ править ]

^ a b Лекс Э. Реннер (2005). Линейные алгебраические моноиды . Springer. С. 27–28. ISBN 978-3-540-24241-3.
^ А. В. Келарев, Приложения эпигрупп к теории градуированных колец , Форум полугрупп , том 50, номер 1 (1995), 327–350 doi : 10.1007 / BF02573530
^ Эрик Джесперс; Ян Окнински (2007). Нётеровы полугрупповые алгебры . Springer. п. 16. ISBN 978-1-4020-5809-7.
^ a b Андрей В. Келарев (2002). Конструкции и приложения колец . World Scientific. ISBN 978-981-02-4745-4.
^ a b c d e Лев Николаевич Шеврин (2002). «Эпигруппы». У Александра Васильевича Михалева и Гюнтера Пильца (ред.). Краткий справочник по алгебре . Springer. С. 23–26. ISBN 978-0-7923-7072-7.
↑ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 4. ISBN 978-0-19-853577-5.
↑ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 50. ISBN 978-0-19-853577-5.
↑ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 12. ISBN 978-0-19-853577-5.
↑ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 28. ISBN 978-0-19-853577-5.
↑ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 48. ISBN 978-0-19-853577-5.

[Renner2005-1] Лекс Э. Реннер (2005). Линейные алгебраические моноиды . Springer. С. 27–28. ISBN 978-3-540-24241-3.

[2] А. В. Келарев, Приложения эпигрупп к теории градуированных колец , Форум полугрупп , том 50, номер 1 (1995), 327–350 doi : 10.1007 / BF02573530

[JespersOkninski2007-3] Эрик Джесперс; Ян Окнински (2007). Нётеровы полугрупповые алгебры . Springer. п. 16. ISBN 978-1-4020-5809-7.

[Kelarev2002-4] Андрей В. Келарев (2002). Конструкции и приложения колец . World Scientific. ISBN 978-981-02-4745-4.

[MikhalevPilz2002-5] Лев Николаевич Шеврин (2002). «Эпигруппы». У Александра Васильевича Михалева и Гюнтера Пильца (ред.). Краткий справочник по алгебре . Springer. С. 23–26. ISBN 978-0-7923-7072-7.

[6] Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 4. ISBN 978-0-19-853577-5.

[7] Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 50. ISBN 978-0-19-853577-5.

[8] Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 12. ISBN 978-0-19-853577-5.

[9] Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 28. ISBN 978-0-19-853577-5.

[10] Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 48. ISBN 978-0-19-853577-5.

[1]