В этой таблице показаны 11 выпуклых равномерных мозаик (регулярных и полурегулярных) евклидовой плоскости и их двойственные мозаики.
На плоскости три правильных и восемь полуправильных мозаик . Полуправильные мозаики образуют новые мозаики из своих двойников, каждая из которых состоит из неправильных граней одного типа.
Джон Конвей называет эти однородные двойственные каталонскими мозаиками , параллельными каталонским твердым многогранникам.
Равномерные мозаики перечислены по их конфигурации вершин , последовательности граней, которые существуют на каждой вершине. Например, 4.8.8 означает один квадрат и два восьмиугольника на вершине.
Эти 11 однородных мозаик имеют 32 одинаковых цвета . Равномерная раскраска позволяет по-разному раскрашивать многоугольники с одинаковыми сторонами в вершине, сохраняя при этом однородность вершин и трансформационное соответствие между вершинами. (Примечание: Некоторые из разбиения изображений , показанных ниже, не цвет-форма)
В дополнение к 11 выпуклым однородным мозаикам, есть также 14 невыпуклых мозаик , использующих звездчатые многоугольники и конфигурации вершин с обратной ориентацией.
Лавес мозаики
В 1987 книге, Замощение и паттерны , Грюнбаум называют вершинными неоднородны тайлингами архимедовыми параллельно с Архимеда твердых тел . Их двойственные мозаики называются мозаиками Лавеса в честь кристаллографа Фрица Лавеса . [1] [2] Их еще называют мозаиками Шубникова – Лавеса в честь Алексея Шубникова . [3] Джон Конвей назвал однородные двойственные каталонскими мозаиками , параллельными каталонским твердым многогранникам.
У мозаик Лавеса есть вершины в центрах правильных многоугольников и ребра, соединяющие центры правильных многоугольников, которые имеют общее ребро. В плитках из разбиений Лавеса называются планигонами . Сюда входят 3 правильных плитки (треугольник, квадрат и шестиугольник) и 8 неправильных плиток. [4] Каждая вершина имеет равномерно расположенные рёбра. Трехмерные аналоги планигонов называются стереоэдрами .
Эти двойные мозаики перечислены по их конфигурации граней , количеству граней в каждой вершине грани. Например, V4.8.8 означает плитки равнобедренного треугольника с одним углом с четырьмя треугольниками и двумя углами с восемью треугольниками. Ориентация вершинных планигонов (до D 12 ) согласуется с диаграммами вершин в следующих разделах.
Треугольники | Четырехугольники | Пятиугольники | Шестиугольник | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
V6 3 | V4.8 2 | V4.6.12 | Версия 3.12 2 | V4 4 | В (3,6) 2 | V3.4.6.4 | V3 2 .4.3.4 | V3 4 .6 | V3 3 .4 2 | V3 6 |
Выпуклые равномерные мозаики евклидовой плоскости
Все отражательные формы могут быть выполнены с помощью конструкций Витхоффа , представленных символами Витхоффа , или диаграммами Кокстера-Дынкина , каждая из которых работает с одним из трех треугольников Шварца (4,4,2), (6,3,2) или (3,3 , 3) с симметрией, представленной группами Кокстера : [4,4], [6,3] или [3 [3] ]. Альтернативные формы, такие как пренебрежение, также могут быть представлены специальными надписями внутри каждой системы. Только одну однородную мозаику нельзя построить с помощью процесса Уайтхоффа, но можно сделать удлинением треугольной мозаики. Также существует конструкция ортогонального зеркала [∞, 2, ∞], рассматриваемая как два набора параллельных зеркал, образующих прямоугольную фундаментальную область. Если область квадратная, эта симметрия может быть увеличена диагональным зеркалом до семейства [4,4].
Семьи:
- (4,4,2), , [4,4] - Симметрия правильной квадратной мозаики
- , [∞, 2, ∞]
- (6,3,2), , [6,3] - Симметрия правильной шестиугольной мозаики и треугольной мозаики .
- (3,3,3), , [3 [3] ]
Семейство групп [4,4]
Однородные мозаики (платоновы и архимедовы) | Вершинная фигура и двойная грань Символ (ы) Уайтхоффа Группа симметрии Диаграмма (ы) Кокстера | Двойные -равномерная тайлинги (называемый Лавес или Каталонские тайлинги) |
---|---|---|
Квадратная плитка (кадриль) | 4.4.4.4 (или 4 4 ) 4 | 2 4 п4м , [4,4], (* 442) | самодвойство (кадриль) |
Усеченная квадратная мозаика (усеченная кадриль) | 4.8.8 2 | 4 4 4 4 2 | p4m , [4,4], (* 442) или же | Квадратная плитка Тетракис (кисвадриль) |
Курносая квадратная черепица (курносая кадриль) | 3.3.4.3.4 | 4 4 2 п. 4g , [4 + , 4], (4 * 2) или же | Каир пятиугольная черепица (4-кратный пентиль) |
Группа [6,3] семейство
Платоновы и архимедовы мозаики | Вершинная фигура и двойная грань Символ (ы) Уайтхоффа Группа симметрии Диаграмма (ы) Кокстера | Двойные мозаики Лавеса |
---|---|---|
Шестиугольная черепица (гексилль) | 6.6.6 (или 6 3 ) 3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 | p6m , [6,3], (* 632) | Треугольная черепица (дельтиль) |
Трехгексагональная черепица (гексаделтилла) | (3,6) 2 2 | 6 3 3 3 | 3 п6м , [6,3], (* 632) знак равно | Ромбильная плитка (ромбиль) |
Усеченная шестиугольная мозаика (усеченный гексилль) | 3.12.12 2 3 | 6 п. 6 мин. , [6,3], (* 632) | Треугольная черепица Triakis (кисделтилле) |
Треугольная черепица (дельтиль) | 3.3.3.3.3.3 (или 3 6 ) 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3 п6м , [6,3], (* 632) знак равно | Шестиугольная черепица (гексилль) |
Ромбигексагональная черепица (rhombihexadeltille) | 3.4.6.4 3 | 6 2 п6м , [6,3], (* 632) | Дельтоидальная трехгексагональная черепица (тетрилла) |
Усеченная трехгексагональная мозаика (усеченная гексаделтилла) | 4.6.12 2 6 3 | p6m , [6,3], (* 632) | Плитка кисромбиль (kisrhombille) |
Плоская трехгексагональная черепица (курносый гексилль) | 3.3.3.3.6 | 6 3 2 п. 6 , [6,3] + , (632) | Пятиугольная черепица цветочка (6-кратный пентиль) |
Невитхоффовская равномерная мозаика
Платоновы и архимедовы мозаики | Вершинная фигура и двойная грань Символ (ы) Уайтхоффа Группа симметрии Диаграмма Кокстера | Двойные мозаики Лавеса |
---|---|---|
Удлиненная треугольная мозаика (изоснуб кадриль) | 3.3.3.4.4 2 | 2 (2 2) CMM , [∞, 2 + , ∞], (2 * 22) | Призматическая пятиугольная черепица (iso (4-) pentille) |
Равномерная окраска
Всего существует 32 равномерных раскраски 11 равномерных мозаик:
- Треугольная мозаика - 9 равномерных раскрасок, 4 вайтхоффианских, 5 неуитофианских
- Квадратная плитка - 9 раскрасок: 7 витхоффианских, 2 неуитофианских.
- Шестиугольная черепица - 3 расцветки, все wythoffian
- Тригексагональная черепица - 2 раскраски, обе вайтхоффианские
- Плоская квадратная плитка - 2 раскраски, обе чередующиеся вайтоффианские
- Усеченная квадратная мозаика - 2 раскраски, обе вайтхоффовские
- Усеченная шестиугольная мозаика - 1 раскраска, витоффиан
- Ромбитригексагональная черепица - 1 расцветка, витоффиан
- Усеченная трехгексагональная мозаика - 1 раскраска, витоффиан
- Плоская шестиугольная мозаика - 1 раскраска, чередующийся витоффиан
- Удлиненная треугольная мозаика - 1 расцветка, неуитофовская
Смотрите также
- Выпуклые однородные соты - 28 однородных трехмерных мозаик, построенных параллельно выпуклым однородным евклидовым плоским мозаикам.
- Список мозаик
- Порог перколяции
- Равномерные мозаики в гиперболической плоскости
Рекомендации
- ^ Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Freeman and Company. С. 59, 96 . ISBN 0-7167-1193-1.
- ^ Конвей, Джон Х .; Берджел, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). «Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, евклидовы плоские мозаики ». Симметрии вещей . А.К. Петерс / CRC Press . п. 288. ISBN 978-1-56881-220-5. Архивировано из оригинального 19 сентября 2010 года.
- ^ Энциклопедия математики: Орбита - уравнение Рэлея , 1991
- ^ Иванов, А.Б. (2001) [1994], "Планигон" , Математическая энциклопедия , EMS Press
дальнейшее чтение
- Конвей, Джон Х .; Берджел, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). «Глава 19, Архимедовы мозаики , таблица 19.1». Симметрии вещей . А.К. Петерс / CRC Press . ISBN 978-1-56881-220-5. Архивировано из оригинального 19 сентября 2010 года.
- Кокстер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS ; Миллер, JCP (1954). «Равномерные многогранники». Фил. Пер. 246 А: 401–450.
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X.(Раздел 2–3 Круговые упаковки, плоские мозаики и сети , стр. 34–40).
- Асаро, Лаура; Хайд, Джон; Дженсен, Мелани; Манн, Кейси; Шредер, Тайлер. "Равномерные c- раскраски ребер Архимедовых мозаик" (PDF) . Вашингтонский университет .( Кейси Манн из Вашингтонского университета )
- Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри (ноябрь 1977 г.). «Замощения правильными многоугольниками» (PDF) .
- Сеймур, Дейл; Бриттон, Джилл (1989). Введение в мозаику . Публикации Дейла Сеймура. С. 50–57, 71–74 . ISBN 978-0866514613.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Равномерная мозаика" . MathWorld .
- Равномерные мозаики на плоскости Евклида
- Мозаика на плоскости
- Мир мозаики Дэвида Бейли
- k -однородные мозаики
- n -однородные мозаики