В математике , А двойственность переводит понятия, теорему или математические структуры в другие понятия, теорему или структуры, в моде один-к-одному, часто (но не всегда) с помощью инволюции операции: если сопряженное А это В , то сопряженное B является . Такие инволюции иногда имеют неподвижные точки , так что двойственным к A является сам A. Например, теорема Дезарг является автодуальной в этом смысле под стандартной двойственностью в проективной геометрии .
В математическом контексте двойственность имеет множество значений. [1] Он был описан как «очень распространенная и важная концепция в (современной) математике» [2] и «важная общая тема, которая проявляется почти во всех областях математики». [3]
Многие математические двойственности между объектами двух типов соответствуют парам , билинейные функции от объекта одного типа и другого объекта второго типа к некоторому семейству скаляров. Например, двойственность линейной алгебры соответствует таким образом билинейным отображениям из пар векторных пространств в скаляры, двойственность между распределениями и ассоциированными тестовыми функциями соответствует спариванию, в котором одно интегрирует распределение по тестовой функции, а двойственность Пуанкаре соответствует аналогично к числу пересечения , рассматриваемому как спаривание подмногообразий данного многообразия. [4]
С точки зрения теории категорий двойственность также может рассматриваться как функтор , по крайней мере, в области векторных пространств. Этот функтор сопоставляет каждому пространству его двойственное пространство, а конструкция обратного отсчета сопоставляет каждой стрелке f : V → W ее двойственное f ∗ : W ∗ → V ∗ .
Вводные примеры
По словам Майкла Атьи ,
Двойственность в математике - это не теорема, а «принцип». [5]
Следующий список примеров показывает общие черты многих дуальностей, но также указывает, что точное значение двойственности может варьироваться от случая к случаю.
Дополнение подмножества
Простой, может быть, самый простой, двойственность возникает из рассмотрения подмножеств фиксированного набора S . Для любого подмножества ⊆ S , то дополнением с [6] состоит из всех этих элементов в S , которые не содержатся в A . Это снова подмножество S . Принятие дополнения имеет следующие свойства:
- Применяя его дважды возвращает исходный набор, то есть ( с ) с = A . Об этом говорят, говоря, что операция взятия дополнения является инволюцией .
- Включение множеств A ⊆ B превращается во включение в противоположном направлении B c ⊆ A c .
- Для двух подмножеств A и B в S , A содержится в B c тогда и только тогда, когда B содержится в A c .
Эта двойственность проявляется в топологии как двойственность между открытыми и замкнутыми подмножествами некоторого фиксированного топологического пространства X : подмножество U в X замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение в X открыто. По этой причине многие теоремы о замкнутых множествах двойственны теоремам об открытых множествах. Например, любое объединение открытых множеств открыто, поэтому двойственно любое пересечение замкнутых множеств замкнуто. Интерьер множества является крупнейшим открытое множество , содержащееся в нем, и замыкание множества наименьшее замкнутое множество, содержащее его. Из - за двойственности, дополнение интерьера любого множества U равно замыканию дополнения U .
Двойной конус
Двойственность в геометрии обеспечивается конструкцией двойного конуса . Учитывая набор точек на плоскости (или, в более общем смысле, указывает на ) двойственный конус определяется как множество состоящий из этих точек удовлетворение
- Применение операции дважды дает, возможно, больший набор: для всех , содержится в . (Для некоторых, а именно конусы, на самом деле они равны.)
Два других свойства переносятся без изменений:
- По-прежнему верно, что включение превращается во включение в обратном направлении ().
- Учитывая два подмножества а также самолета, содержится в если и только если содержится в .
Двойное векторное пространство
Очень важный пример двойственности возникает в линейной алгебре, когда любому векторному пространству V сопоставляется его двойственное векторное пространство V * . Его элементами являются линейные функционалы , где k - поле, над которым определено V. Три свойства двойственного конуса переносятся на этот тип двойственности при замене подмножеств конусавекторным пространством и включения таких подмножеств линейными отображениями. Это:
- Применение операции взятия двойного векторного пространства дважды дает другое векторное пространство V ** . Всегда есть отображение V → V ** . Для некоторого V , а именно конечномерных векторных пространств , это отображение является изоморфизмом .
- Линейное отображение V → W порождает отображение в противоположном направлении ( W * → V * ).
- Для двух векторных пространств V и W отображения из V в W * соответствуют отображениям из W в V * .
Особенностью этой двойственности является то, что V и V * изоморфны для некоторых объектов, а именно для конечномерных векторных пространств. Однако, это в некотором смысле повезло совпадение, для предоставления такого изоморфизма требует определенного выбора, например , на выборе основы из V . Это также верно и в том случае , если V является гильбертово пространство , с помощью по теореме Рисса .
Теория Галуа
Во всех дуальностях, обсуждавшихся ранее, двойственность объекта имеет тот же вид, что и сам объект. Например, двойственное векторное пространство снова является векторным пространством. Многие утверждения дуальности не относятся к этому типу. Напротив, такая двойственность обнаруживает тесную связь между объектами, казалось бы, разной природы. Один из примеров такой более общей двойственности взят из теории Галуа . Для фиксированного расширения Галуа K / F можно связать группу Галуа Gal ( K / E ) с любым промежуточным полем E (т. Е. F ⊆ E ⊆ K ). Эта группа является подгруппой группы Галуа G = Gal ( K / F ) . С другой стороны , для любой такой подгруппы H ⊆ G есть фиксированное поле К Н , состоящий из элементов , закрепленных элементов в H .
По сравнению с вышеизложенным, эта двойственность имеет следующие особенности:
- Расширение F ⊆ F ′ промежуточных полей приводит к включению групп Галуа в противоположном направлении: Gal ( K / F ′) ⊆ Gal ( K / F ) .
- Связывание Gal ( K / E ) с E и K H с H обратны друг другу. Это содержание основной теоремы теории Галуа .
Двойственности, меняющие порядок
Учитывая ч.у.м. Р = ( X , ≤) (сокращенно частично упорядоченного множества, то есть набор , который имеет понятие упорядочения , но в котором два элемента не обязательно могут быть расположены в порядке по отношению друг к другу), то двойное ч.у.м. Р д = ( X , ≥) состоит из того же основного множества, но с обратным соотношением . Знакомые примеры двойных частичных порядков включают:
- подмножество и SUPERSET отношение ⊂ и ⊃ на любой совокупности множеств, такие как подмножества фиксированного множества S . Это дает начало первому примеру упомянутой выше двойственности .
- на водоразделы и множественным из соотношений на целых .
- отношения потомков и предков на множестве людей.
Двойственности преобразования является инволютивно антиавтоморфизм е из частично упорядоченного множества S , то есть, порядка реверсирования инволюции е : S → S . [8] [9] В некоторых важных случаях эти простые свойства определяют преобразование однозначно с точностью до некоторых простых симметрий. Например, если F 1 , F 2 два двойственность преобразования , то их состав представляет собой порядок автоморфизм из S ; таким образом, любые два преобразования двойственности отличаются только порядковым автоморфизмом. Например, все автоморфизмы порядка а мощности установлены S = 2 R индуцируются перестановками R .
Понятие, определенное для частичного порядка P, будет соответствовать двойственному понятию на дуальном множестве P d . Например, минимальный элемент из Р будет максимальный элемент из Р д : минимальности и максимальности двойственные понятия в теории порядка. Другие пары двойственных понятий - это верхняя и нижняя границы , нижние множества и верхние множества , а также идеалы и фильтры .
В топологии открытые множества и замкнутые множества являются двойственными понятиями: дополнение открытого множества замкнуто, и наоборот. В теории матроидов семейство множеств, дополнительных к независимым наборам данного матроида, образует другой матроид, называемый двойственным матроидом .
Двойственности, переворачивающие измерения
Существует множество различных, но взаимосвязанных дуальностей, в которых геометрические или топологические объекты соответствуют другим объектам того же типа, но с изменением размеров характеристик объектов. Классическим примером этого является двойственность платоновых тел , в которой куб и октаэдр образуют дуальную пару, додекаэдр и икосаэдр образуют дуальную пару, а тетраэдр самодвойственен. Двойственный многогранник любых из этих многогранников может быть сформирован как выпуклая оболочка из центральных точек каждой грани многогранника первичного, так что вершины двойственного соответствуют один к одному с гранями Primal. Точно так же каждое ребро дуального соответствует ребру первичного, а каждая грань дуального соответствует вершине первичного. Эти соответствия сохраняют инцидентность: если две части прямого многогранника касаются друг друга, то же самое происходит и с соответствующими двумя частями двойственного многогранника . В более общем смысле, используя понятие полярного взаимного обращения , любой выпуклый многогранник или, в более общем смысле, любой выпуклый многогранник соответствует двойственному многограннику или двойственному многограннику с i- мерным признаком n- мерного многогранника, соответствующего ( n - i - 1) -мерная особенность двойственного многогранника. Природа двойственности, сохраняющая инцидентность, отражается в том факте, что решетки граней прямого и двойственного многогранников или многогранников сами по себе являются дуальными по теории порядка . Двойственность многогранников и двойственность теории порядка являются инволюциями : двойственный многогранник двойственного многогранника к любому многограннику является исходным многогранником, и, дважды обращая все отношения порядка, возвращается к исходному порядку. Выбор другого центра полярности приводит к геометрически различным двойственным многогранникам, но все они имеют одинаковую комбинаторную структуру.
Из любого трехмерного многогранника можно составить планарный граф , граф его вершин и ребер. Двойственный многогранник имеет двойственный граф , граф с одной вершиной на каждую грань многогранника и с одним ребром на каждые две смежные грани. Та же самая концепция двойственности плоского графа может быть обобщена на графы, которые нарисованы на плоскости, но которые не происходят из трехмерного многогранника, или, в более общем смысле, на вложения графов на поверхностях более высокого рода: можно нарисовать двойственный граф, поместив одна вершина в каждой области, ограниченная циклом ребер при встраивании, и рисование ребра, соединяющего любые две области, которые имеют общую границу. Важным примером такого типа происходит от вычислительной геометрии : двойственность для любого конечного множества S точек в плоскости между триангуляции Делоне из S и диаграммы Вороного из S . Как и в случае двойственных многогранников и двойственных многогранников, двойственность графов на поверхностях - это инволюция, обращающая размерность: каждая вершина в прямом вложенном графе соответствует области двойного вложения, каждое ребро в прямом пересекается ребром в двойственном , и каждая область прямого соответствует вершине дуального. Двойственный граф зависит от того, как встраивается прямой граф: разные плоские вложения одного графа могут привести к разным двойным графам. Матроида двойственность является алгебраическим расширением планарного графа двойственности, в том смысле , что двойное матроидом графической матроиды плоского графа изоморфно графической матроиду двойного графа.
В теории оптимизации также встречается своего рода геометрическая двойственность , но не та, которая меняет размерность на противоположную. Линейная программа может быть задана системой вещественных переменных (координат для точки в евклидовом пространстве), система линейных ограничений (указывающая, что точка лежит в полупространстве ; пересечение этих полупространств - выпуклый многогранник, допустимая область программы) и линейная функция (что оптимизировать). Каждая линейная программа имеет двойную задачу с одним и тем же оптимальным решением, но переменные в двойной задаче соответствуют ограничениям в прямой задаче и наоборот.
Двойственность в логике и теории множеств
В логике функции или отношения A и B считаются двойственными, если A (¬ x ) = ¬ B ( x ) , где ¬ - логическое отрицание . Основная двойственность этого типа - двойственность кванторов и в классической логике. Они двойственны, потому что ∃ x .¬ P ( x ) и ¬∀ x . P ( x ) эквивалентны для всех предикатов P в классической логике: если существует x, для которого P не выполняется, то неверно, что P выполняется для всех x (но обратное не выполняется конструктивно). Из этой фундаментальной логической двойственности следует несколько других:
- Говорят, что формула выполнима в определенной модели, если есть присвоения ее свободным переменным, которые делают ее истинной; он действителен, если каждое присвоение его свободным переменным делает его истинным. Выполнимость и действительность двойственны, потому что недопустимые формулы - это как раз те, отрицания которых выполнимы, а неудовлетворительные формулы - это те, отрицания которых действительны. Это можно рассматривать как частный случай предыдущего пункта, когда количественные показатели варьируются от интерпретаций.
- В классической логике, ∧ и ∨ операторы имеют двойные в этом смысле, так как (¬ х ∧ ¬ у ) и ¬ ( х ∨ у ) эквивалентны. Это означает, что для каждой теоремы классической логики существует эквивалентная двойственная теорема. Законы Де Моргана являются примерами. В более общем смысле ∧ (¬ x i ) = ¬ ∨ x i . Левая часть истинна тогда и только тогда, когда ∀ i .¬ x i , а правая сторона тогда и только тогда, когда ¬∃ i . х я .
- В модальной логике , □ р означает , что предложение р является «обязательно» истинно, и ◊ р , что р является «возможно» истинной. Большинство интерпретаций модальной логики приписывают этим двум операторам двойное значение. Например, в семантике Крипке « p возможно истинно» означает «существует некоторый мир W такой, что p истинно в W », в то время как « p обязательно истинно» означает «для всех миров W , p истинно в W ». Двойственность □ и ◊ следует из аналогичной двойственности ∀ и ∃ . Аналогично ведут себя и другие дуальные модальные операторы. Например, темпоральная логика имеет операторы, обозначающие «будет истинным в какой-то момент в будущем» и «будет истинным всегда в будущем», которые аналогичным образом двойственны.
Из них вытекают и другие аналогичные двойственности:
- Теоретико-множественная объединение и пересечение является двойственными множество комплемента оператора ⋅ C . То есть A C ∩ B C = ( A ∪ B ) C и, в более общем смысле, ∩ AC
α= ( ∪ α ) С . Это следует из двойственности ∀ и ∃ : элемент х является членом П АC
αтогда и только тогда, когда ∀ α .¬ x ∈ A α , и является членом ( ∪ A α ) C тогда и только тогда, когда ¬∃ α . x ∈ A α .
Двойные объекты
Группа дуальностей может быть описана наделение для любого математического объекта X , множество морфизмов Нот ( Х , Г ) в некоторый фиксированный объект D , со структурой , аналогичной X . Иногда это называют внутренним Hom . В общем, это дает истинную двойственность только конкретному выбор D , и в этом случае Х * = Хомы ( Х , Г ) называются как двойные из X . Всегда существует карта от X к двузначному , то есть двойственное к двойственному,
Возвращение к двойным векторным пространствам
Построение двойственного векторного пространства
Изоморфизмы V и V ∗ и внутренние произведения пространств
Векторное пространство V изоморфно V ∗ в точности, если V конечномерно. В этом случае такой изоморфизм эквивалентен невырожденной билинейной форме
Двойственность в проективной геометрии
В некоторых проективных плоскостях можно найти геометрические преобразования, которые отображают каждую точку проективной плоскости в линию, а каждую линию проективной плоскости в точку с сохранением инцидентности. [10] Для таких плоскостей возникает общий принцип двойственности в проективных плоскостях : для любой теоремы в такой плоской проективной геометрии замена терминов «точка» и «линия» повсюду приводит к новой, равнозначной теореме. [11] Простым примером является утверждение «две точки определяют уникальную линию, линия, проходящая через эти точки» имеет двойственное утверждение, что «две прямые определяют уникальную точку, точку пересечения этих двух линий». Для дальнейших примеров см. Двойственные теоремы .
Концептуальное объяснение этого явления в некоторых плоскостях (особенно плоскостях поля) предлагает двойное векторное пространство. Фактически, точки на проективной плоскости соответствуют одномерным подвекторным пространствам [12], а прямые на проективной плоскости соответствуют подвекторным пространствам размерности 2. Двойственность в таких проективных геометриях проистекает из приписывания одномерной подпространство состоящий из этих линейных карт которые удовлетворяют . Как следствие размерности формулы из линейной алгебры , это пространство двумерно, то есть, она соответствует линиям в проективной плоскости , связанной с.
(Положительно определенная) билинейная форма
Топологические векторные пространства и гильбертовы пространства
В области топологических векторных пространств существует аналогичная конструкция, заменяющая двойственное топологическим двойственным векторным пространством. Существует несколько понятий топологического двойственного пространства, и каждое из них порождает определенное понятие двойственности. Топологическое векторное пространство который канонически изоморфен своему двузначному называется рефлексивным пространством :
Примеры:
- Как и в конечномерном случае, на каждом гильбертовом пространстве H его скалярное произведение ⟨⋅, определяет отображение что является биекцией в силу теоремы Рисса о представлении . Как следствие, каждое гильбертово пространство является рефлексивным банаховым пространством .
- Двойного нормированное пространство из L р -пространстве является л д , где 1 / р + 1 / д = 1 при условии , что 1 ≤ р <∞ , но сопряженное L ∞ больше , чем L 1 . Следовательно, L 1 не рефлексивен.
- Распределения - это линейные функционалы на соответствующих пространствах функций. Они являются важным техническим средством в теории уравнений в частных производных (PDE): вместо прямого решения PDE может быть проще сначала решить PDE в «слабом смысле», т. Е. Найти распределение, которое удовлетворяет PDE и , во-вторых, показать, что решение на самом деле должно быть функцией. [13] Все стандартные пространства распределений -, , - рефлексивные локально выпуклые пространства. [14]
Другие двойные объекты
Двойной решетки из решетки L задается [ необходимы разъяснения ]
Двойные категории
Противоположная категория и присоединенные функторы
В другой группе дуальностей объекты одной теории переводятся в объекты другой теории, а карты между объектами в первой теории переводятся в морфизмы во второй теории, но с обратным направлением. Используя терминологию теории категорий , это составляет контравариантный функтор между двумя категориями C и D :
который для любых двух объектов X и Y из C дает карту
Этот функтор может быть или не быть эквивалентом категорий . Существуют различные ситуации, где такой функтор является эквивалентностью между противоположной категории C оп из C и D . Используя двойственность этого типа, каждое утверждение в первой теории может быть переведено в «двойственное» утверждение во второй теории, где направление всех стрелок должно быть изменено на противоположное. [16] Следовательно, любая двойственность между категориями C и D формально такая же, как эквивалентность между C и D op ( C op и D ). Однако во многих случаях противоположные категории не имеют внутреннего значения, что делает двойственность дополнительным, отдельным понятием. [17]
Категория, эквивалентная своей двойственной, называется самодвойственной . Примером самодвойственной категории является категория гильбертовых пространств . [18]
Многие теоретико-категориальные понятия попарны в том смысле, что они соответствуют друг другу при рассмотрении противоположной категории. Например, декартовы произведения Y 1 × Y 2 и непересекающиеся объединения множеств Y 1 ⊔ Y 2 двойственны друг другу в том смысле, что
а также
для любого множества X . Это частный случай более общего явления двойственности, при котором пределы в категории C соответствуют копределам в противоположной категории C op ; дальнейшими конкретными примерами этого являются эпиморфизмы и мономорфизм , в частности факторные модули (или группы и т. д.) против подмодулей , прямые произведения и прямые суммы (также называемые копроизведениями, чтобы подчеркнуть аспект двойственности). Поэтому в некоторых случаях доказательства некоторых утверждений можно сократить вдвое, используя такое явление двойственности. Дополнительные понятия, связанные с такой категориальной двойственностью, - это проективные и инъективные модули в гомологической алгебре , [19] расслоения и кофибрации в топологии и, в более общем смысле, категории моделей . [20]
Два функторы F : C → D и G : D → C являются сопряженными , если для всех объектов C в C и d в D
естественным образом. Собственно соответствие пределов и копределов является примером сопряжения, поскольку существует присоединение
между функтором копредела, который присваивает любой диаграмме в C, индексированной некоторой категорией I, ее копредел, и диагональным функтором, который отображает любой объект c из C в постоянную диаграмму, которая имеет c во всех местах. Вдвойне,
Пространства и функции
Двойственность Гельфанда - это двойственность между коммутативными C * -алгебрами A и компактными хаусдорфовыми пространствами X одинакова: она сопоставляет X пространство непрерывных функций (которые обращаются в нуль на бесконечности) от X до C , комплексных чисел. И наоборот, пространство Х могут быть восстановлены из А в качестве спектра из A . Двойственность Гельфанда и Понтрягина может быть выведена в значительной степени формальным, теоретико-категориальным способом. [21]
Аналогичным образом существует двойственность в алгебраической геометрии между коммутативными кольцами и аффинными схемами : для каждого коммутативного кольца А существует аффинная спектр, Spec . Обратно, аффинная схема S , один получает обратно кольцо, принимая глобальные секции структуры пучка O S . Кроме того, гомоморфизмы колец находятся во взаимно однозначном соответствии с морфизмами аффинных схем, поэтому существует эквивалентность
- (Коммутативные кольца) op ≅ (аффинные схемы) [22]
Аффинные схемы - это локальные строительные блоки схем . Таким образом, предыдущий результат говорит о том, что локальная теория схем - это то же самое, что коммутативная алгебра , изучение коммутативных колец.
Некоммутативная геометрия черпает вдохновение из двойственности Гельфанда и изучает некоммутативные C * -алгебры, как если бы они были функциями в некотором воображаемом пространстве. Двойственность Таннаки – Крейна является некоммутативным аналогом двойственности Понтрягина. [23]
Связи Галуа
В ряде ситуаций две категории, которые двойственны друг другу, на самом деле возникают из частично упорядоченных множеств, т. Е. Существует некоторое понятие объекта, «меньшего», чем другой. Двойственность, которая уважает рассматриваемые порядки, известна как связь Галуа . Примером может служить стандартная двойственность в теории Галуа, упомянутая во введении: большее расширение поля соответствует - при отображении, которое сопоставляет любому расширению L ⊃ K (внутри некоторого фиксированного большего поля Ω) группу Галуа Gal (Ω / L ) - меньшая группа. [24]
Совокупность всех открытых подмножеств топологического пространства X образует полную алгебру Гейтинга . Существует двойственность, известная как двойственность камня , соединяющая трезвые пространства и пространственные локации .
- Теорема Биркгофа представления , касающиеся дистрибутивные решетки и частичные порядки
Понтрягинская двойственность
Двойственность Понтрягина дает двойственность на категории локально компактных абелевых групп : для любой такой группы G , то группа символов
- χ ( G ) = Hom ( G , S 1 )
заданные непрерывными групповыми гомоморфизмами из G в круговую группу S 1, можно наделить компактно-открытой топологией . Двойственность Понтрягина утверждает, что группа характеров снова является локально компактной абелевой и что
- G ≅ χ (χ ( G )). [25]
Более того, дискретные группы соответствуют компактным абелевым группам ; конечные группы соответствуют конечным группам. С одной стороны, Понтрягин - частный случай двойственности Гельфанда. С другой стороны, это концептуальная причина анализа Фурье , см. Ниже.
Аналитические дуальности
При анализе проблемы часто решаются путем перехода к двойственному описанию функций и операторов.
Преобразование Фурье переключает функции в векторном пространстве и его двойственное:
- Преобразование Лапласа аналогично преобразованию Фурье и меняет местами операторы умножения на полиномы с линейными дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами .
- Преобразование Лежандра - важная аналитическая двойственность, которая переключает между скоростями в лагранжевой механике и импульсами в гамильтоновой механике .
Гомологии и когомологии
Теоремы, показывающие, что определенные объекты интереса являются двойственными пространствами (в смысле линейной алгебры) других объектов интереса, часто называют дуальностями . Многие из этих двойственностей задаются билинейным спариванием двух K- векторных пространств
- ⊗ B → K .
Для идеальных пар , есть, следовательно, изоморфизм А на двух из B .
Двойственность Пуанкаре
Двойственность Пуанкаре гладкого компактного комплексного многообразия X задается спаривание сингулярных когомологий с C -коэффициентов (эквивалентно, пучок когомологий из постоянного пучка C )
- H i (X) ⊗ H 2 n - i (X) → C ,
где п представляет собой (комплекс) размерность X . [26] Двойственность Пуанкаре также может быть выражена как отношение сингулярных гомологий и когомологий де Рама , утверждая, что отображение
(интегрирование дифференциальной k -формы по 2 n - k - (вещественному) -мерному циклу) является идеальным спариванием.
Двойственность Пуанкаре также меняет размеры; это соответствует тому факту, что, если топологическое многообразие представлено как клеточный комплекс , то двойственный к комплексу (многомерное обобщение двойственного плоского графа) представляет то же самое многообразие. В двойственности Пуанкаре этот гомеоморфизм отражается в изоморфизме k- й группы гомологий и ( n - k ) -й группы когомологий .
Двойственность в алгебраической и арифметической геометрии
Тот же образец двойственности имеет место для гладкого проективного многообразия над сепарабельно замкнутым полем , но вместо этого используются l-адические когомологии с Q ℓ -коэфициентами. [27] Это далее обобщается на возможные особые многообразия , используя вместо этого когомологии пересечений , двойственность, называемую двойственностью Вердье . [28] Двойственность Серра или когерентная двойственность подобны утверждениям выше, но вместо этого применимы к когомологиям когерентных пучков . [29]
Оказывается, с повышением уровня общности для понимания этих теорем становится полезным или необходимым все большее количество технических знаний: современная формулировка этих двойственностей может быть сделана с использованием производных категорий и определенных функторов прямого и обратного изображений пучков (в отношении классическая аналитическая топология на многообразиях для двойственности Пуанкаре, l-адические пучки и этальная топология во втором случае и относительно когерентных пучков для когерентной двойственности).
Еще одна группа подобных утверждений двойственности встречается в арифметике : этальные когомологии конечных , локальных и глобальных полей (также известные как когомологии Галуа , поскольку этальные когомологии над полем эквивалентны групповым когомологиям (абсолютной) группы Галуа поля) допускают похожие пары. Абсолютная группа Галуа G ( F q ) конечного поля, например, изоморфна, То проконечное пополнение из Z , целых чисел. Следовательно, идеальное спаривание (для любого G -модуля M )
- H n ( G , M ) × H 1 - n ( G , Hom ( M , Q / Z )) → Q / Z [30]
является прямым следствием двойственности Понтрягина конечных групп. Для локальных и глобальных полей существуют аналогичные утверждения ( локальная двойственность и глобальная двойственность или двойственность Пуату – Тейта ). [31]
Смотрите также
- Присоединенный функтор
- Автономная категория
- Двойное абелево разнообразие
- Двойная основа
- Дуал (теория категорий)
- Двойной код
- Двойственность (электротехника)
- Двойственность (оптимизация)
- Модуль дуализации
- Дуализирующая связка
- Двойная решетка
- Двойная норма
- Двойственные числа , некоторая ассоциативная алгебра ; термин «двойственный» здесь является синонимом двойного и не имеет отношения к приведенным выше понятиям.
- Кошульская двойственность
- Двойной Лэнглендс
- Линейное программирование # Двойственность
- Список дуальностей
- Двойственность Матлиса
- Двойственность Петри
- Понтрягинская двойственность
- S-дуальность
- Т-дуальность , Зеркальная симметрия
Заметки
- Перейти ↑ Atiyah 2007 , p. 1
- ^ Кострикин 2001 , Эта цитата является первым предложением последнего раздела, названного комментариями в этом одностраничном документе.
- ^ Гауэрс 2008 , с. 187, цв. 1
- ^ Гауэрс 2008 , с. 189, цв. 2
- Перейти ↑ Atiyah 2007 , p. 1
- ^ Дополнение также обозначается как S \ A .
- ^ Точнее,- наименьший замкнутый выпуклый конус, содержащий.
- ^ Artstein-Avidan & Мильман 2007
- ^ Artstein-Avidan & Мильман 2008
- ↑ Веблен и Янг, 1965 .
- ^ (Веблен и Янг 1965 , гл. I, теорема 11)
- ^ В более общем плане можно рассматривать проективные плоскости над любым полем, например над комплексными числами, конечными полями или даже телами .
- ^ См. Эллиптическую регулярность .
- ^ Эдвардс (1965 , 8.4.7).
- ^ Фултон 1993
- Перейти ↑ Mac Lane 1998 , Ch. II.1.
- ^ (Лам 1999 , §19C)
- ^ Иржи Адамек; Дж. Росицки (1994). Локально презентабельные и доступные категории . Издательство Кембриджского университета. п. 62. ISBN 978-0-521-42261-1.
- ^ Вейбель ( 1994 )
- ^ Дуайер и Спалински ( 1995 )
- ^ Негрепонтис 1971 .
- ^ Хартсхорн 1966 , гл. II.2, особенно Предложение II.2.3
- ^ Joyal и Street ( 1991 )
- ^ См. (Lang 2002 , теорема VI.1.1) о конечных расширениях Галуа.
- ^ (Лумис 1953 , стр. 151, раздел 37D)
- Перейти ↑ Griffiths & Harris 1994 , p. 56
- Перейти ↑ Milne 1980 , Ch. VI.11
- ^ Иверсен 1986 , гл. VII.3, VII.5
- ^ Хартсхорн 1966 , гл. III.7
- ^ Милн ( 2006 , пример I.1.10)
- ^ Мазур ( 1973 ); Милн ( 2006 )
Рекомендации
Двойственность в целом
- Атья, Майкл (2007), Двойственность в математике и физике , конспект лекций Института математики Университета Барселоны (IMUB).
- Кострикин, AI (2001) [1994], «Двойственность» , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Гауэрс, Тимоти (2008), «III.19 Двойственность», The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 187–190.
- Картье, Пьер (2001), «Работа безумного дня: от Гротендика до Конна и Концевича. Эволюция концепций пространства и симметрии» , Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 38 (4): 389–408, doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00913-2 , ISSN 0002-9904 , MR 1848254 (нетехнический обзор некоторых аспектов геометрии, включая дуальности)
Двойственность в алгебраической топологии
- Джеймс С. Беккер и Дэниел Генри Готтлиб, История двойственности в алгебраической топологии
Конкретные дуальности
- Арстейн-Авидан, Шири ; Мильман Виталий (2008), "Концепция двойственности для измерительных проекций выпуклых тел", журнал функционального анализа , 254 (10): 2648-66, DOI : 10.1016 / j.jfa.2007.11.008. Также сайт автора .
- Арстейн-Авидан, Шири; Мильман Виталий (2007), «Характеристика понятия двойственности» , электронные исследования Объявления в математических науках , 14 : 42-59, архивируется с оригинала на 2011-07-24 , извлекаться 2009-05-30. Также сайт автора .
- Дуайер, Уильям Г .; Спалинский, Ян (1995), "Гомотопические теории и категории моделей" , Справочник по алгебраической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 73–126, MR 1361887
- Фултон, Уильям (1993), Введение в торические многообразия , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00049-7
- Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), принципы алгебраической геометрии , библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
- Хартсхорн, Робин (1966), Вычеты и двойственность , Конспект лекций по математике, 20 , Springer-Verlag , стр. 20–48, ISBN 978-3-540-34794-1
- Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту 0463157 , OCLC 13348052
- Иверсен, Биргер (1986), когомологии пучков , Universitext, Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190
- Хоял, Андре ; Стрит, Росс (1991), «Введение в двойственность Таннаки и квантовые группы» (PDF) , теория категорий , конспект лекций по математике, 1488 , Springer-Verlag , стр. 413–492, doi : 10.1007 / BFb0084235 , ISBN 978-3-540-46435-8, Руководство по ремонту 1173027
- Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике, 189 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту 1653294
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике, 211 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
- Лумис, Линн Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Д. Ван Ностранд, стр. X + 190, hdl : 2027 / uc1.b4250788
- Mac Lane, Saunders (1998), Категории для рабочего математика (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2
- Мазур, Барри (1973), "Записка о этальных когомологиях числовых полей", Annales Scientifiques де l'Эколь Нормали , Серия 4, 6 (4): 521-552, DOI : 10,24033 / asens.1257 , ISSN 0012-9593 , MR 0344254
- Милн, Джеймс С. (1980), Étale cohomology , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7
- Милн, Джеймс С. (2006), Арифметические теоремы двойственности (2-е изд.), Чарлстон, Южная Каролина: BookSurge, LLC, ISBN 978-1-4196-4274-6, Руководство по ремонту 2261462
- Negrepontis, Джоан В. (1971), "Двойственность в анализе с точки зрения троек", журнал алгебры , 19 (2): 228-253, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (71) 90105-0 , ISSN 0021-8693 , Руководство по ремонту 0280571
- Веблен, Освальд ; Янг, Джон Уэсли (1965), Проективная геометрия. Тт. 1, 2 , Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co., MR 0179666
- Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324
- Эдвардс, RE (1965). Функциональный анализ. Теория и приложения . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356.