В геометрии , то тетракис квадратной плитки является плитка из евклидовой плоскости . Это квадратная мозаика, каждый квадрат которой разделен на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника от центральной точки, образующих бесконечное расположение линий . Его также можно сформировать, разделив каждый квадрат сетки на два треугольника по диагонали, причем диагонали чередуются по направлению, или путем наложения двух квадратных сеток, одна из которых повернута на 45 градусов относительно другой и масштабирована с коэффициентом √2 .
Квадратная плитка Тетракис | |
---|---|
Тип | Двойной полурегулярный тайлинг |
Лица | 45-45-90 треугольник |
Диаграмма Кокстера | |
Группа симметрии | p4m, [4,4], * 442 |
Группа вращения | р4, [4,4] + , (442) |
Двойной многогранник | Усеченная квадратная мозаика |
Конфигурация лица | V4.8.8 |
Характеристики | лицо-переходный |
Конуэй называет его kisquadrille , [1] представлен элементом кис операции , которая добавляет центральную точку и треугольники , чтобы заменить грани квадратной плитки (кадриль). Ее также называют решеткой Юнион Джек из-за сходства с британским флагом треугольников, окружающих его вершины степени 8. [2]
Он помечен как V4.8.8, потому что каждая грань равнобедренного треугольника имеет два типа вершин: один с 4 треугольниками и два с 8 треугольниками.
Как двойная однородная мозаика
Это двойная тесселяция из усеченной квадратной плитки , которая имеет один квадрат и два восьмиугольники в каждой вершине. [3]
Приложения
Часть квадратной плитки тетракис размером 5 × 9 используется для формирования доски для малагасийской настольной игры Fanorona . В этой игре фигуры помещаются в вершины плитки и перемещаются по краям, захватывая части другого цвета, пока одна сторона не захватит все части другой стороны. В этой игре вершины мозаики степени 4 и степени 8 называются соответственно слабыми и сильными пересечениями, и это различие играет важную роль в стратегии игры. [4] Аналогичная доска также используется в бразильской игре Adugo и в игре Hare and Hounds .
Квадратная плитка тетракис использовалась для набора памятных почтовых марок, выпущенных Почтовой службой США в 1997 году, с чередованием двух разных марок. По сравнению с более простым шаблоном для треугольных штампов, в котором все диагональные перфорации параллельны друг другу, шаблон тетракис имеет то преимущество, что при сгибании по любому из его перфораций другие перфорации выстраиваются друг с другом, что делает возможным повторное сгибание. [5]
Эта плитка также является основой для часто используемых в квилтинге узоров «вертушка», «ветряная мельница» и «битая посуда» . [6] [7] [8]
Симметрия
Тип симметрии:
- с расцветкой: см; примитивные клетки 8 треугольников, А фундаментальная область 2 треугольника (1/2 для каждого цвета)
- с темными треугольниками черным и светлыми белыми: p4g; примитивная ячейка - это 8 треугольников, фундаментальная область - 1 треугольник (по 1/2 для черного и белого)
- с черными краями и белыми внутренними частями: p4m; примитивная ячейка - это 2 треугольника, фундаментальная область 1/2
Ребра квадратной мозаики тетракиса образуют симплициальное расположение линий , свойство, которое она разделяет с треугольной мозаикой и мозаикой кисромбиля .
Эти линии образуют оси симметрии группы отражений ( группа обоев [4,4], (* 442) или p4m), которая имеет треугольники мозаики в качестве основных областей . Эта группа изоморфна , но не совпадает с группой автоморфизмов мозаики, которая имеет дополнительные оси симметрии, разделяющие треугольники пополам, и которая имеет полутреугольники в качестве основных областей.
Есть много малых подгрупп индекса p4m, [4,4] симметрии ( обозначение орбифолда * 442 ), которые можно увидеть по отношению к диаграмме Кокстера , с узлами, окрашенными в соответствии с линиями отражения, и точками вращения, помеченными численно. Вращательная симметрия показана чередующимися областями белого и синего цвета, при этом одна основная область для каждой подгруппы залита желтым цветом. Отражения скольжения показаны пунктирными линиями.
Подгруппы могут быть выражены как диаграммы Кокстера вместе с фундаментальными диаграммами предметной области.
Подгруппы малого индекса в p4m, [4,4], (* 442) | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
индекс | 1 | 2 | 4 | ||||||||
Фундаментальная диаграмма предметной области | |||||||||||
Обозначение Кокстера Диаграмма Кокстера | [ 1 , 4, 1 , 4, 1 ] = [4,4] | [1 + , 4,4] знак равно | [4,4,1 + ] знак равно | [4,1 + , 4] знак равно | [1 + , 4,4,1 + ] знак равно | [4 + , 4 + ] = [(4,4 + , 2 + )] | |||||
Орбифолд | * 442 | * 2222 | 22 × | ||||||||
Полупрямые подгруппы | |||||||||||
индекс | 2 | 4 | |||||||||
Диаграмма | |||||||||||
Coxeter | [4,4 + ] | [ 4+ , 4] | [(4,4,2 + )] | [1 + , 4,1 + , 4] = [(2 + , 4,4)] знак равно знак равно | [4,1 + , 4,1 + ] = [(4,4,2 + )] знак равно знак равно | ||||||
Орбифолд | 4 * 2 | 2 * 22 | |||||||||
Прямые подгруппы | |||||||||||
Индекс | 2 | 4 | 8 | ||||||||
Диаграмма | |||||||||||
Coxeter | [4,4] + | [1 + , 4,4 + ] = [4,4 + ] + знак равно | [4 + , 4,1 + ] = [4 + , 4] + знак равно | [(4,1 + , 4,2 + )] = [(4,4,2 + )] + знак равно | [1 + , 4,1 + , 4,1 + ] = [(4 + , 4 + , 2 + )] = [4 + , 4 + ] + знак равно | ||||||
Орбифолд | 442 | 2222 |
Смотрите также
- Замощения правильных многоугольников
- Список однородных мозаик
- Порог перколяции
Заметки
- ^ Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5«Архивная копия» . Архивировано из оригинала на 2010-09-19 . Проверено 20 января 2012 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка ) (Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, таблица на стр. 288)
- ^ Стивенсон, Джон, "Модель Изинга с антиферромагнитной связью ближайших соседей: спиновые корреляции и точки нарушения", Phys. Rev. B , 1 (11): 4405-4409, DOI : 10,1103 / PhysRevB.1.4405.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Двойная тесселяция» . MathWorld .
- ^ Белл, RC (1983), «Фанорона», The Boardgame Book , Exeter Books, стр. 150–151, ISBN 0-671-06030-9
- ^ Фредериксон, Грег Н. (2006), Фортепианные диссекции , А.К. Петерс, стр. 144.
- ^ Библия для квилтинга , Creative Publishing International, 1997, стр. 55, ISBN 9780865732001.
- ^ Зиман, Нэнси (2011), Лоскутное одеяло с уверенностью , Krause Publications, стр. 66, ISBN 9781440223556.
- ^ Фассетт, Каффе (2007), Калейдоскоп квилтов Каффе Фассетта: двадцать дизайнов из рябины для пэчворка и квилтинга , Taunton Press, стр. 96, ISBN 9781561589388.
Рекомендации
- Грюнбаум, Бранко и Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Глава 2.1: Регулярные и однородные мозаики , стр. 58-65)
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc. стр. 40. ISBN 0-486-23729-X.
- Кейт Кричлоу, Порядок в космосе: справочник по дизайну , 1970, стр. 77-76, узор 8