5-элементный

Обычный 5-элементный (пентахорон) (4-симплексный)
Диаграмма Шлегеля (вершины и ребра)
Тип	Выпуклый правильный 4-многогранник
Символ Шлефли	{3,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	5 {3,3}
Лица	10 {3}
Края	10
Вершины	5
Фигура вершины	( тетраэдр )
Многоугольник Петри	пятиугольник
Группа Коксетера	А 4 , [3,3,3]
Двойной	Самодвойственный
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный , равногранный
Единый индекс	1

Фигура вершины: тетраэдр

Сеть

В геометрии , то 5-клетка является четырехмерной объект ограничен 5 тетраэдрических клеток . Он также известен как C ₅ , pentachoron , ^[1] пентатопа , pentahedroid , ^[2] или четырехгранной пирамиды . Это 4- симплекс ( многогранник Кокстера ^[3] ), простейший из возможных выпуклых правильных 4-многогранников (четырехмерный аналог платонового тела ), аналог тетраэдра в трех измерениях и треугольника${\ displaystyle \ alpha _ {4}}$в двух измерениях. Пентахорон представляет собой четырехмерную пирамиду с четырехгранным основанием.

Регулярные 5-клеток ограничена 5 правильных тетраэдров , и является одним из шести правильных выпуклых 4-многогранников , представленных символом Шлефли {3,3,3}.

5 ячеек - это решение проблемы: сделайте 10 равносторонних треугольников одинакового размера, используя 10 спичек, где каждая сторона каждого треугольника представляет собой ровно одну спичку. Не существует решения в трех измерениях.

Выпуклая оболочка 5-ячеечной и ее двойственной (при условии, что они конгруэнтны) - это дисфеноидальная 30- ячеечная , двойственная по отношению к усеченным битам 5-ячейкам .

Альтернативные названия [ править ]

• Пентахорон
• 4-симплексный
• Пентатоп
• Пентаэдроид (Генри Паркер Мэннинг)
• Пен (Джонатан Бауэрс: для пентахорон) ^[4]
• Гиперпирамида , тетраэдрическая пирамида

Геометрия [ править ]

5-ячейка самодуальна , а ее вершина - тетраэдр. Его максимальное пересечение с трехмерным пространством - треугольная призма . Его двугранный угол составляет cos ⁻¹ (1/4), или примерно 75,52 °.

Как конфигурация [ править ]

Эта матрица конфигурации представляет собой 5 ячеек. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всей 5-ячейке. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Матрица этого самодвойственного многогранника идентична его повороту на 180 градусов. ^[5]

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 5 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 10 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 10 & 2 \\ 4 & 6 & 4 & 5 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}$

Строительство [ править ]

5-ячейка может быть построена из тетраэдра, добавив 5-ю вершину так, чтобы она была равноудалена от всех остальных вершин тетраэдра. (5-ячеечная представляет собой 4-мерную пирамиду с четырехгранным основанием и четырьмя четырехгранными сторонами.)

Самый простой набор координат: (2,0,0,0), (0,2,0,0), (0,0,2,0), (0,0,0,2), (φ, φ, φ, φ) с длиной ребра 2 √ 2 , где φ - золотое сечение . ^[6]

В декартовы координаты вершин происхождения в центре регулярного 5-клеток , имеющей длину ребра 2 , являются:

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

Другой набор координат с центром в начале координат в 4-пространстве можно рассматривать как гиперпирамиду с правильным тетраэдрическим основанием в 3-пространстве с длиной ребра 2 √ 2 :

${\displaystyle \left(1,1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(1,-1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,-1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,0,0,{\frac {4}{\sqrt {5}}}\right)}$

Вершины 4-симплекса (с ребром √ 2 ) проще построить на гиперплоскости в 5-пространстве, как (различные) перестановки (0,0,0,0,1) или (0,1,1 , 1,1); в этих положениях она является гранью из, соответственно, 5-orthoplex или выпрямленного penteract .

Спираль Бурдейка – Кокстера [ править ]

5-ячейка может быть построена как спираль Бурдейка – Кокстера из пяти связанных тетраэдров, свернутых в 4-мерное кольцо. 10 треугольных граней можно увидеть в двумерной сети внутри треугольной мозаики , с 6 треугольниками вокруг каждой вершины, хотя складывание в 4-х мерное приводит к совпадению ребер. Пурпурные края представляют собой многоугольник Петри 5-ячейки.

Прогнозы [ править ]

Плоскость Кокстера A ₄ проецирует 5-элементную ячейку в правильный пятиугольник и пентаграмму .

Нерегулярные 5-элементный [ править ]

Есть много форм более низкой симметрии, в том числе те, которые встречаются в фигурах вершин однородных многогранников :

Четырехгранная пирамида является частным случаем 5-клетки , в многогранной пирамиды , построенной в качестве обычного тетраэдра основания в 3-пространстве гиперплоскость , и вершиной точки над гиперплоскости. Четыре стороны пирамиды состоят из ячеек тетраэдра.

Многие равномерные 5-многогранники имеют фигуры вершин тетраэдрической пирамиды :

Симметрия [3,3,1], порядок 24

Диаграмма Шлегеля
Имя Коксетер	{} × {3,3,3}	{} × {4,3,3}	{} × {5,3,3}	т {3,3,3,3}	т {4,3,3,3}	т {3,4,3,3}

Другие равномерные 5-многогранники имеют неправильные 5-клеточные вершины. Симметрия вершинной фигуры однородного многогранника представлена ​​удалением окольцованных узлов диаграммы Кокстера.

Симметрия	[3,2,1], порядок 12		[3,1,1], порядок 6		[2 + , 4,1], порядок 8	[2,1,1], порядок 4
Диаграмма Шлегеля
Имя Коксетер	т 12 α 5	t 12 γ 5	т 012 α 5	t 012 γ 5	т 123 α 5	т 123 γ 5

Симметрия	[2,1,1], порядок 2			[2 + , 1,1], порядок 2	[] + , порядок 1
Диаграмма Шлегеля
Имя Коксетер	т 0123 α 5	t 0123 γ 5	т 0123 β 5	t 01234 α 5	t 01234 γ 5

Соединение [ править ]

Соединение двух 5-ячеек в двойных конфигурациях можно увидеть в этой проекции плоскости Кокстера A5 с красными и синими 5-ячеечными вершинами и краями. Это соединение имеет симметрию [[3,3,3]], порядок 240. Пересечение этих двух 5-ячеек представляет собой однородную усеченную по битам 5-ячейку . знак равно ∩ .

Это соединение можно рассматривать как 4D аналог 2D гексаграммы { ⁶ / ₂ } и 3D соединение двух тетраэдров .

Связанные многогранники и соты [ править ]

Пентахорон (5-клеточная) - простейшая из 9 однородных полихор, построенных из [3,3,3] группы Кокстера .

Schläfli	{3,3,3}	т {3,3,3}	г {3,3,3}	рр {3,3,3}	2т {3,3,3}	tr {3,3,3}	т 0,3 {3,3,3}	т 0,1,3 {3,3,3}	т 0,1,2,3 {3,3,3}
Coxeter
Шлегель

1 k2 фигур в размерах n
Космос	Конечный						Евклидово	Гиперболический
п	3	4	5	6	7	8	9	10
Группа Коксетера	Е 3 = А 2 А 1	Е 4 = А 4	E 5 = D 5	E 6	E 7	E 8	E 9 = = E 8 +${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	E 10 = = E 8 ++${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
Диаграмма Кокстера
Симметрия (порядок)	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[[3 2,2,1 ]]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Приказ	12	120	1,920	103 680	2 903 040	696 729 600	∞
График							-	-
Имя	1 −1,2	1 02	1 12	1 22	1 32	1 42	1 52	1 62

2 k 1 фигур в n размерах
Космос	Конечный						Евклидово	Гиперболический
п	3	4	5	6	7	8	9	10
Группа Коксетера	Е 3 = А 2 А 1	Е 4 = А 4	E 5 = D 5	E 6	E 7	E 8	E 9 = = E 8 +${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	E 10 = = E 8 ++${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
Диаграмма Кокстера
Симметрия	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[[3 1,2,1 ]]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Приказ	12	120	384	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
График							-	-
Имя	2 −1,1	2 01	2 11	2 21	2 31	2 41	2 51	2 61

Он находится в последовательности регулярных полихор : тессеракт {4,3,3}, 120-элементный {5,3,3} евклидова 4- мерного пространства и гексагональные мозаичные соты {6,3,3} гиперболического пространства. . Все они имеют четырехгранную вершину .

Это один из трех правильных 4-многогранников с тетраэдрическими ячейками, а также 16-элементный {3,3,5}, 600-элементный {3,3,5}. Порядок-6 тетраэдрические соты {3,3,6} гиперболического пространства также имеют тетраэдрическую клетку.

{3,3, p} многогранники
Космос	S 3			H 3
Форма	Конечный			Паракомпакт	Некомпактный
Имя	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	... {3,3, ∞}
Изображение
Фигура вершины	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3, ∞}

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Т. Госсет : О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900
• HSM Coxeter :
  • Кокстер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
    • п. 120, §7.2. см. иллюстрацию Рис. 7.2 A
    • п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)
  • Кокстер, HSM (1991), Регулярные комплексные многогранники (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
    • (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Hemicubes: 1 _n1 ) 
• Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Пентатоп» . MathWorld .
• Ольшевский, Георгий. «Пентахорон» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
  • 1. Выпуклая однородная полихора на основе пентахороны - Модель 1 , Георгий Ольшевский.
• Клитцинг, Ричард. «Четырехмерные однородные многогранники (полихоры) x3o3o3o - перо» .
• Der 5-Zeller (5-клеточные) Регулярные многогранники Марко Мёллера в R ⁴ (немецкий)
• Джонатан Бауэрс, Обычная полихора
• Апплеты Java3D
• пирохорон