Усеченная 5-ячеечная

5-элементный	Усеченная 5-ячеечная	Bitruncated 5-элементный
Диаграммы Шлегеля с центром в [3,3] (клетки в противоположной точке в [3,3])

В геометрии , A усечен 5-клеток является равномерным 4-многогранником (4-мерный равномерный многогранник ) формируются как усечения регулярной 5-клетки .

Есть две степени усечения, включая битовое усечение .

Усеченная 5-ячеечная [ править ]

Усеченная 5-ячеечная
Диаграмма Шлегеля ( видны ячейки тетраэдра )
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т _0,1 {3,3,3} т {3,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	10	5 ( 3.3.3 ) 5 ( 3.6.6 )
Лица	30	20 {3} 10 {6}
Края	40
Вершины	20
Фигура вершины	Равносторонне-треугольная пирамида
Группа симметрии	А ₄ , [3,3,3], порядок 120
Характеристики	выпуклый , изогональный
Единый индекс	2 3 4

Усеченный 5-ячейку , усеченный pentachoron или усеченной 4-симплекс ограничена 10 клеток : 5 тетраэдров , и 5 усеченного тетраэдра . Каждая вершина окружена 3 усеченными тетраэдрами и одним тетраэдром; фигура вершина представляет собой продолговатый тетраэдр.

Строительство [ править ]

Усеченная 5-ячейка может быть построена из 5-ячейки путем усечения ее вершин на 1/3 длины ее края. Это преобразует 5 тетраэдрических ячеек в усеченные тетраэдры и вводит 5 новых тетраэдрических ячеек, расположенных рядом с исходными вершинами.

Структура [ править ]

Усеченные тетраэдры соединены друг с другом своими шестиугольными гранями и с тетраэдрами своими треугольными гранями.

В матрице конфигурации показаны все числа инцидентов между элементами. Диагональные числа f-вектора выводятся с помощью конструкции Wythoff , деля полного порядка группы в порядке подгруппы, удаляя по одному зеркалу за раз. ^[1]

А ₄	k -face	f _k	f ₀	f ₁		ж ₂		ж ₃		k -фигура	Заметки
А ₂	()	f ₀	20	1	3	3	3	3	1	{3} v ()	A ₄ / A ₂ = 5! / 3! = 20
А ₂ А ₁	{}	f ₁	2	10	*	3	0	3	0	{3}	А ₄ / А ₂ А ₁ = 5! / 3! / 2 = 10
А ₁ А ₁	{}	f ₁	2	*	30	1	2	2	1	{} v ()	А ₄ / А ₁ А ₁ = 5! / 2/2 = 30
А ₂ А ₁	т {3}	ж ₂	6	3	3	10	*	2	0	{}	А ₄ / А ₂ А ₁ = 5! / 3! / 2 = 10
А ₂	{3}	ж ₂	3	0	3	*	20	1	1	{}	A ₄ / A ₂ = 5! / 3! = 20
А ₃	т {3,3}	ж ₃	12	6	12	4	4	5	*	()	A ₄ / A ₃ = 5! / 4! = 5
А ₃	{3,3}	ж ₃	4	0	6	0	4	*	5	()	A ₄ / A ₃ = 5! / 4! = 5

Прогнозы [ править ]

Параллельная проекция усеченной 5-ячейки в виде первого тетраэдра в трехмерное пространство имеет следующую структуру:

Огибающая проекции представляет собой усеченный тетраэдр .
Одна из усеченных тетраэдрических ячеек выступает на всю оболочку.
Одна из тетраэдрических ячеек выступает на тетраэдр, лежащий в центре оболочки.
Четыре уплощенных тетраэдра соединены с треугольными гранями оболочки и соединены с центральным тетраэдром четырьмя радиальными ребрами. Это изображения оставшихся 4-х тетраэдрических ячеек.
Между центральным тетраэдром и 4 гексагональными гранями оболочки находятся 4 неправильных усеченных тетраэдрических объема, которые являются изображениями 4 оставшихся усеченных тетраэдрических ячеек.

Такое расположение ячеек в проекции аналогично расположению граней в проекции «лицом вперед» усеченного тетраэдра в 2-мерное пространство. Усеченная 5-ячейка является 4-мерным аналогом усеченного тетраэдра.

Изображения [ редактировать ]

орфографические проекции
_К плоскости Косетер	А ₄	А ₃	А ₂
График
Двугранная симметрия	[5]	[4]	[3]

сеть
стереографическая проекция
(с центром на усеченном тетраэдре )

Альтернативные имена [ править ]

Усеченный пентатоп
Усеченный 4-симплексный
Усеченный пентахорон (аббревиатура: наконечник) (Джонатан Бауэрс)

Координаты [ править ]

В декартовы координаты для вершин происхождения в центре усеченной 5-клеток , имеющей длину ребра 2 , являются:

{\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {\ sqrt {10}}}, \ {\ sqrt {3 \ over 2}}, \ \ pm {\ sqrt {3}}, \ \ pm 1 \ right )}

\left({\frac {3}{\sqrt {10}}},\ {\sqrt {3 \over 2}},\ 0,\ \pm 2\right)

\left({\frac {3}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}},\ \pm 2\right)

\left({\frac {3}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-4}{\sqrt {3}}},\ 0\right)

\left({\frac {3}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-5}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)

\left({\frac {3}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-5}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)

\left(-{\sqrt {2 \over 5}},\ {\sqrt {2 \over 3}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}},\ \pm 2\right)

\left(-{\sqrt {2 \over 5}},\ {\sqrt {2 \over 3}},\ {\frac {-4}{\sqrt {3}}},\ 0\right)

\left(-{\sqrt {2 \over 5}},\ -{\sqrt {6}},\ 0,\ 0\right)

\left({\frac {-7}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)

\left({\frac {-7}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)

\left({\frac {-7}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {3 \over 2}},\ 0,\ 0\right)

Проще говоря, вершины усеченной 5-клетки могут быть построены на гиперплоскости в 5-пространстве как перестановки (0,0,0,1,2) или (0,1,2,2,2). Эти координаты берутся из положительных ортантных граней усеченного пентакросса и усеченного битами пентеракта соответственно.

Связанные многогранники [ править ]

Выпуклая оболочка усеченной 5-ячейки и двойственной ей (в предположении, что они конгруэнтны) представляет собой неоднородный полихорон, состоящий из 60 ячеек: 10 тетраэдров , 20 октаэдров (как треугольные антипризмы), 30 тетраэдров (как тетрагональные дифеноиды) и 40 вершин. . Его вершина - треугольный купол гексакиса .

Фигура вершины

Обрезанный бит с 5 ячейками [ править ]

Bitruncated 5-элементный
Диаграмма Шлегеля со скрытыми альтернативными ячейками.
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т _1,2 {3,3,3} 2т {3,3,3}
Диаграмма Кокстера	или же или же
Клетки	10 ( 3.6.6 )
Лица	40	20 {3} 20 {6}
Края	60
Вершины	30
Фигура вершины	( {} v {} )
двойственный многогранник	Дисфеноидальная 30-ячеечная
Группа симметрии	Aut (A ₄ ), [[3,3,3]], порядок 240
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный , изохорный
Единый индекс	5 6 7

Bitruncated 5-клетки (также называемые bitruncated pentachoron , decachoron и 10-клетки ) представляет собой 4-мерный многогранник , или 4-многогранник , состоящая из 10 клеток в форме усеченного тетраэдра .

Топологически при высшей симметрии [[3,3,3]] существует только одна геометрическая форма, содержащая 10 однородных усеченных тетраэдров. Шестиугольники всегда правильные из-за инверсионной симметрии полихорона, из которых правильный шестиугольник является единственным таким случаем среди дитригонов (изогональный шестиугольник с 3-кратной симметрией).

EL Elte определил его в 1912 г. как полуправильный многогранник.

Каждая шестиугольная грань усеченных тетраэдров соединена в комплементарной ориентации с соседним усеченным тетраэдром. Каждое ребро делится на два шестиугольника и один треугольник. Каждая вершина окружена 4 усеченными тетраэдрическими ячейками в форме вершины тетрагонального дисфеноида .

Усеченная по битам 5-ячейка - это пересечение двух пентахор в двойной конфигурации. Таким образом, это также пересечение пентеракта с гиперплоскостью, которая ортогонально делит длинную диагональ пентеракта пополам. В этом смысле он является 4-мерным аналогом правильного октаэдра (пересечение правильных тетраэдров в двойственной конфигурации / тессерактное деление пополам по длинной диагонали) и правильного шестиугольника (равносторонние треугольники / куб). 5-мерный аналог - это двунаправленный 5-симплекс , а -мерный аналог - многогранник, диаграмма Кокстера – Дынкина которого является линейной с кольцами на одном или двух средних узлах. $n$

Урезанная 5-ячеечная ячейка - это один из двух нерегулярных однородных 4-многогранников , транзитивных по ячейкам . Другой - это 24-ячеечная усеченная по битам ячейка , которая состоит из 48 усеченных кубов.

Симметрия [ править ]

Этот 4-многогранник имеет более высокую расширенную пентахорическую симметрию (2 × A ₄ , [[3,3,3]]), удвоенную до порядка 240, потому что элемент, соответствующий любому элементу лежащей в основе 5-ячейки, может быть заменен одним тех, которые соответствуют элементу его дуального.

Альтернативные названия [ править ]

Bitruncated 5-элементный ( Norman W. Johnson )
10-ячейка как клеточно-транзитивный 4-многогранник
Обрезанный пентахорон
Усеченный пентатоп
Bitruncated 4-симплекс
Декахорон (Акроним: дека) (Джонатан Бауэрс)

Изображения [ редактировать ]

орфографические проекции
_К плоскости Косетер	А ₄	А ₃	А ₂
График
Двугранная симметрия	[[5]] = [10]	[4]	[[3]] = [6]

стереографическая проекция сферического 4-многогранника
(с центром на грани шестиугольника)

Сеть (многогранник)

Координаты [ править ]

В декартовы координаты из происхождения в центре bitruncated 5-клеток , имеющей длину ребра 2 , являются:

Координаты
$\pm \left({\sqrt {\frac {5}{2}}},\ {\frac {5}{\sqrt {6}}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\pm \left({\sqrt {\frac {5}{2}}},\ {\frac {5}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\pm \left({\sqrt {\frac {5}{2}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {4}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\pm \left({\sqrt {\frac {5}{2}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ \pm 2\right)$	$\pm \left({\sqrt {\frac {5}{2}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ \pm {\sqrt {3}},\ \pm 1\right)$ $\pm \left({\sqrt {\frac {5}{2}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ \pm 2\right)$ $\pm \left(0,\ 2{\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {4}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\pm \left(0,\ 2{\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ \pm 2\right)$

Проще говоря, вершины усеченной битами 5-ячейки могут быть построены на гиперплоскости в 5-пространстве как перестановки (0,0,1,2,2). Они представляют собой положительные ортантные грани усеченного битами пентакросса . Еще одна конструкция из 5 пространств с центром в начале координат - это все 20 перестановок (-1, -1,0,1,1).

Связанные многогранники [ править ]

Bitruncated 5-клетки можно рассматривать как пересечение двух правильных 5-клеток в двойных положениях. знак равно ∩ .

Изотопные однородные усеченные симплексы
Тусклый.	2	3	4	5	6	7	8
Имя Коксетер	Шестиугольник знак равно t {3} = {6}	Октаэдр знак равно г {3,3} = {3 ^1,1 } = {3,4} $\left\{{\begin{array}{l}3\\3\end{array}}\right\}$	Декахорон 2т {3 3 }	Додекатерон 2r {3 4 } = {3 ^2,2 } $\left\{{\begin{array}{l}3,3\\3,3\end{array}}\right\}$	Тетрадекапетон 3 т {3 5 }	Гексадекаэксон 3r {3 6 } = {3 ^3,3 } $\left\{{\begin{array}{l}3,3,3\\3,3,3\end{array}}\right\}$	Octadecazetton 4т {3 7 }
Изображений
Фигура вершины	() v ()	{} × {}	{} v {}	{3} × {3}	{3} v {3}	{3,3} x {3,3}	{3,3} v {3,3}
Грани		{3}	т {3,3}	г {3,3,3}	2т {3,3,3,3}	2r {3,3,3,3,3}	3т {3,3,3,3,3,3}
Как пересекающиеся двойные симплексы	∩	∩	∩	∩	∩	∩	∩

Связанный правильный косой многогранник [ править ]

3D-сеть для {6,4 | 3} с парами желтых треугольников, сложенных вместе в 4D и удаленных.

Регулярно перекос полиэдр , {6,4 | 3}, существует в 4-пространстве с 4 гексагональной вокруг каждой вершины, в зигзагами неплоской вершины фигуры. Эти шестиугольные грани можно увидеть на усеченной битом 5-ячейке с использованием всех 60 ребер и 30 вершин. 20 треугольных граней усеченного битом 5-ячеек можно увидеть как удаленные. Двойной правильный косой многогранник, {4,6 | 3}, аналогичным образом связан с квадратными гранями пятиугольной клетки .

Дисфеноидальная 30-ячеечная [ править ]

Дисфеноидальная 30-ячеечная
Тип	идеальный ^[2] полихорон
Символ	f _1,2 A ₄^[2]
Coxeter
Клетки	30 конгруэнтных тетрагональных дисфеноидов
Лица	60 равнобедренных равнобедренных форм (2 коротких края)
Края	40	20 длины 20 длины $\scriptstyle 1$ $\scriptstyle {\sqrt {3/5}}$
Вершины	10
Фигура вершины	( Тетраэдр Триаки )
Двойной	Bitruncated 5-элементный
Группа Коксетера	Aut (A ₄ ), [[3,3,3]], порядок 240
Вектор орбиты	(1, 2, 1, 1)
Характеристики	выпуклый , изохорный

Disphenoidal 30-клеток является двойным из bitruncated 5-клетки . Это 4-мерный многогранник (или полихорон ), полученный из 5-ячеек . Это выпуклая оболочка двух 5-ячеек в противоположных ориентациях.

Будучи двойником однородного полихорона, он клеточно-транзитивный , состоящий из 30 конгруэнтных тетрагональных дисфеноидов . Кроме того, он вершинно-транзитивен относительно группы Aut (A ₄ ).

Связанные многогранники [ править ]

Эти многогранники образуются из набора из 9 равномерных 4-многогранников, построенных из группы [3,3,3] Кокстера .

Имя	5-элементный	усеченный 5-элементный	выпрямленный 5-элементный	скошенный 5-элементный	усеченный по битам 5-элементный	усеченный 5-элементный	5-клеточный	усеченный 5-элементный	омниусеченный 5-элементный
Символ Шлефли	{3,3,3} 3r {3,3,3}	т {3,3,3} 2т {3,3,3}	r {3,3,3} 2r {3,3,3}	rr {3,3,3} r2r {3,3,3}	2т {3,3,3}	tr {3,3,3} t2r {3,3,3}	т _0,3 {3,3,3}	т _0,1,3 {3,3,3} т _0,2,3 {3,3,3}	т _0,1,2,3 {3,3,3}
Диаграмма Кокстера
Диаграмма Шлегеля
₄ Косетер плоскость графика
₃ Косетер плоскость графика
₂ Косетер плоскость графика

Ссылки [ править ]

HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  - (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Кокстер , Красота геометрии: Двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 стр. 88 (Глава 5: Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях и их топологические аналоги, Труды Лондонского математического общества, сер. 2, том 43, 1937.)
- Кокстер, Правильные косые многогранники HSM в трех и четырех измерениях. Proc. Лондонская математика. Soc. 43, 33-62, 1937.
Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
1. Выпуклая равномерная полихора на основе пентахороны - Модель 3 , Георгий Ольшевский.
Клитцинг, Ричард. «Четырехмерные однородные многогранники (полихоры)» . x3x3o3o - наконечник, o3x3x3o - дека

Конкретный

^ Клитцинг, Ричард. «x3x4o3o - подсказка» .
^ a b О совершенных 4-многогранниках. Вклад Габора Жеве в алгебру и геометрию Том 43 (2002), № 1, 243–259] Таблица 2, стр. 252

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и равномерные многогранники размерностей 2–10
Семья	А п	B n	I ₂ (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадратный	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник	5-элементный	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб.	5-полукуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб.	6-полукуб	1 22 • 2 21
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукруглый	1 32 • 2 31 • 3 21
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукруглый	1 42 • 2 41 • 4 21
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Равномерное n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - demicube	1 к2 • 2 к1 • к 21	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

[1] Клитцинг, Ричард. «x3x4o3o - подсказка» .

[Gevay-2] О совершенных 4-многогранниках. Вклад Габора Жеве в алгебру и геометрию Том 43 (2002), № 1, 243–259] Таблица 2, стр. 252