Число пентатопа

Получение чисел пентатопа из выровненного влево треугольника Паскаля

Пентатопа число является числом в пятой ячейке любой строки треугольника Паскаля , начиная с 5-термином строкой 1 4 6 4 1 либо слева направо или справа налево.

Первые несколько таких чисел:

1 , 5 , 15 , 35 , 70 , 126 , 210, 330, 495 , 715, 1001 , 1365 (последовательность A000332 в OEIS )

Пентатоп с длиной стороны 5 содержит 70 3-сферу. Каждый слой представляет собой одно из первых пяти тетраэдрических чисел . Например, в нижнем (зеленом) слое всего 35 сфер.

Номера пентатопов относятся к классу фигурных чисел , которые могут быть представлены как регулярные дискретные геометрические узоры. ^[1]

Формула [ править ]

Формула для n- го числа пентатопа представлена ​​4-м возрастающим факториалом числа n, деленным на факториал 4:

${\ displaystyle P_ {n} = {\ frac {n ^ {\ overline {4}}} {4!}} = {\ frac {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} { 24}}.}$

Числа пентатопов также могут быть представлены в виде биномиальных коэффициентов :

${\ displaystyle P_ {n} = {\ binom {n + 3} {4}},}$

который представляет собой количество различных четверок, которые могут быть выбраны из n + 3 объектов, и читается вслух как « n плюс три выбирают четыре».

Свойства [ править ]

Два из каждых трех чисел пентатопа также являются пятиугольными числами . Чтобы быть точным, (3 k - 2) -й номер пентатопа всегда равен (3 к ² - к/2) -ое пятиугольное число и (3 k - 1) -е число пентатопа всегда является (3 к ² + к/2) -го пятиугольного числа. (3 к ) е число пентатопа является обобщенным пятиугольным номером , полученным путем принятия отрицательного индекса -3 к ² + к/2в формуле для пятиугольных чисел. (Эти выражения всегда дают целые числа). ^[2]

Бесконечная сумма обратных чисел всех пентатопов равна 4/3. ^[3] Это может быть получено с помощью телескопической серии .

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {4!} {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}} = {\ frac {4} { 3}}}$

Числа пентатопов также можно представить как сумму первых n тетраэдрических чисел : ^[2]

${\ displaystyle P_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} Te_ {n}}$

Отношение к одинарному тетраэдрическому числу:

${\ displaystyle P_ {n} = {\ tfrac {1} {4}} (n + 3) Te_ {n},}$

Никакое простое число не является предшественником числа пентатопа, а наибольшее полупростое число, которое является предшественником числа пентатопа, равно 1819.

Точно так же единственные простые числа, предшествующие 6-симплексному числу, - это 83 и 461.

Тест на числа пентатопов [ править ]

Мы можем вывести этот тест из формулы для числа n- го пентатопа.

Учитывая положительное целое число x , чтобы проверить, является ли оно числом пентатопа, мы можем вычислить

${\ displaystyle n = {\ frac {{\ sqrt {5 + 4 {\ sqrt {24x + 1}}}} - 3} {2}}.}$

Число x является пентатопом тогда и только тогда, когда n - натуральное число . В этом случае x - номер n- го пентатопа.

Функция генерации [ править ]

Производящая функция для чисел пентатопа является: ^[4]

${\ displaystyle {\ frac {x} {(1-x) ^ {5}}} = x + 5x ^ {2} + 15x ^ {3} + 35x ^ {4} + ...}$

Приложения [ править ]

В биохимии они представляют собой количество возможных расположений n различных полипептидных субъединиц в тетрамерном (тетраэдрическом) белке.

Ссылки [ править ]