Телескопическая серия

В математике , А телескопический ряд представляет собой ряд , частичные суммы , в конечном счете , имеют только конечное число слагаемых после отмены. ^{[1] [2]} Метод исключения, при котором часть каждого члена отменяется частью следующего члена, известен как метод разностей .

Например, сериал

${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {1} {п (п + 1)}}}$

(серия обратными из прямоугольного числа ) упрощается , как

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}$

Аналогичная концепция, телескопическая продукт , ^{[3] [4] [5]} является конечным продуктом (или частичное произведение бесконечного продукта) , который может быть отменен с помощью метода дробей , чтобы быть в конечном счете , только конечное число факторов.

Например, бесконечное произведение ^[4]

${\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

упрощается как

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)&=\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\prod _{n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\times \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {{\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\times \cdots \times {\frac {N-1}{N}}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{\frac {3}{2}}\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{4}}\times \cdots \times {\frac {N+1}{N}}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{N}}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {N+1}{2}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N+1}{2N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$

В общем [ править ]

Телескопическая серия сил

Телескопические суммы - это конечные суммы, в которых пары последовательных членов компенсируют друг друга, оставляя только начальный и последний члены. ^[6]

Позвольте быть последовательность чисел. Потом, ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}}$

Если ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=-a_{0}}$

Телескопические изделия - это конечные изделия, в которых последовательные члены отменяют знаменатель с числителем, оставляя только начальные и конечные члены.

Позвольте быть последовательность чисел. Потом, ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}}}$

Если ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 1}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}}$

Больше примеров [ править ]

• Многие тригонометрические функции также допускают представление в виде разницы, что позволяет осуществлять телескопическое сокращение между последовательными членами.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

• Некоторые суммы вида

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}}$

где f и g - полиномиальные функции , частное которых может быть разбито на частичные дроби , не допускают суммирования этим методом. В частности, есть

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}={}&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\={}&\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\={}&\infty .\end{aligned}}}$

Проблема в том, что сроки не отменяют.

• Пусть k - натуральное число. потом

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}}$

где H _k - номер k- й гармоники . Все условия после 1 / ( k  - 1) отменяются.

Приложение в теории вероятностей [ править ]

В теории вероятностей , пуассоновский процесс представляет собой случайный процесс , который в простейшем случае включает в себя «вхождение» в случайные моменты времени, время ожидания до следующего появление не имеющим без памяти экспоненциального распределения , а число «вхождений» в любое время интервала , имеющих Распределение Пуассона, математическое ожидание которого пропорционально длине временного интервала. Пусть X _t будет количеством «появлений» до момента t , и пусть T _x будет временем ожидания до x- го «появления». Будем искать функцию плотности вероятности от случайной величины Т _х . Мы используем функцию вероятности массы для распределения Пуассона, которая говорит нам, что

${\displaystyle \Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}},}$

где λ - среднее количество появлений в любом временном интервале длиной 1. Обратите внимание, что событие { X _t ≥ x} совпадает с событием { T _x ≤ t }, и поэтому они имеют одинаковую вероятность. Поэтому искомая функция плотности имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}}\Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\right)\\\\&{}=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\right)\end{aligned}}}$

Сумма телескопов, уходя

${\displaystyle f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)!}}.}$

Другие приложения [ править ]

Для других приложений см .:

• Серия Гранди ;
• Доказательство того, что сумма обратных простых чисел расходится , где одно из доказательств использует телескопическую сумму;
• Статистика порядка , когда при выводе функции плотности вероятности возникает телескопическая сумма;
• Теорема Лефшеца о неподвижной точке , в которой телескопическая сумма возникает в алгебраической топологии ;
• Теория гомологий , опять же в алгебраической топологии;
• Мошенничество Эйленберга – Мазура , при котором возникает телескопическая сумма узлов;
• Алгоритм Фаддеева – Леверье ;
• Фундаментальная теорема исчисления , непрерывный аналог телескопической серии.

Примечания и ссылки [ править ]