Суммирование явной последовательности обозначается как последовательность сложений. Например, суммирование [1, 2, 4, 2] обозначается 1 + 2 + 4 + 2 и дает 9, то есть 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Поскольку сложение является ассоциативным и коммутативным , скобки не нужны, и результат один и тот же независимо от порядка слагаемых. Суммирование последовательности только одного элемента приводит к получению самого этого элемента. Суммирование пустой последовательности (последовательности без элементов) по соглашению приводит к 0.
Очень часто элементы последовательности определяются с помощью регулярного шаблона в зависимости от их места в последовательности. Для простых шаблонов суммирование длинных последовательностей может быть представлено с заменой большинства слагаемых эллипсами. Например, суммирование первых 100 натуральных чисел может быть записано как 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100 . В противном случае суммирование обозначается Σ-обозначением , гдеэто увеличенная заглавная греческая буква сигма . Например, сумму первых n натуральных чисел можно обозначить как
Для длинных суммирований и суммирований переменной длины (определяемых с помощью эллипсов или обозначений Σ) поиск выражений результата в замкнутой форме является общей проблемой . Например, [a]
Хотя такие формулы не всегда существуют, было обнаружено множество формул суммирования, причем некоторые из наиболее распространенных и элементарных из них перечислены в оставшейся части этой статьи.
Обозначение
Обозначение заглавной буквы
Символ суммирования
В математических обозначениях используется символ, который компактно представляет собой суммирование многих схожих терминов: символ суммирования ,, увеличенная форма прямой заглавной греческой буквы сигма . Это определяется как
где i - индекс суммирования ; a i - индексированная переменная, представляющая каждый член суммы; m - нижняя граница суммирования , а n - верхняя граница суммирования . « I = m » под символом суммирования означает, что индекс i начинается равным m . Индекс i увеличивается на единицу для каждого последующего члена, останавливаясь, когда i = n . [b]
Это читается как «сумма a i от i = m до n ».
Вот пример суммирования квадратов:
В общем, в то время как любая переменная может использоваться в качестве индекса суммирования (при условии, что не возникает двусмысленности), некоторые из наиболее распространенных включают буквы, такие как , а также . [1]
В качестве альтернативы, индекс и границы суммирования иногда не включаются в определение суммирования, если контекст достаточно ясен. Это особенно актуально, когда индекс работает от 1 до n. [2] Например, можно написать так:
Часто встречаются обобщения этой нотации, в которых предоставляется произвольное логическое условие, и предполагается, что сумма берется по всем значениям, удовлетворяющим условию. Например:
это сумма по всем (целые числа) в указанном диапазоне,
это сумма по всем элементам в наборе , а также
это сумма по всем положительным целым числам разделение . [c]
Есть также способы обобщить использование многих сигма-знаков. Например,
такой же как
Аналогичное обозначение применяется, когда дело доходит до обозначения произведения последовательности , которое похоже на его суммирование, но которое использует операцию умножения вместо сложения (и дает 1 для пустой последовательности вместо 0). Используется такая же базовая структура с, увеличенная форма греческой заглавной буквы пи , заменяющая.
Особые случаи
Можно суммировать менее 2 чисел:
Если в суммировании одно слагаемое , то оценочная сумма равна .
Если в суммировании нет слагаемых, то вычисленная сумма равна нулю , потому что ноль - это тождество для сложения. Это называется пустой суммой .
Эти вырожденные случаи обычно используются только тогда, когда обозначение суммирования дает вырожденный результат в частном случае. Например, еслив приведенном выше определении в сумме есть только один член; если, то его нет.
Формальное определение
Суммирование может быть определено рекурсивно следующим образом:
Вышеупомянутая формула чаще используется для инвертирования разностного оператора, определяется:
где f - функция, определенная на неотрицательных целых числах. Таким образом, при такой функции F , проблема в том , чтобы вычислить antidifference из F , функция такой, что . Это,Эта функция определена с точностью до добавления константы и может быть выбрана как [3]
Многие такие приближения могут быть получены с помощью следующей связи между суммами и интегралами , которая имеет место для любой возрастающей функции f :
и для любой убывающей функции f :
Для более общих приближений см. Формулу Эйлера – Маклорена .
Для суммирования, в котором слагаемое задается (или может быть интерполировано) интегрируемой функцией индекса, суммирование можно интерпретировать как сумму Римана, входящую в определение соответствующего определенного интеграла. Поэтому можно ожидать, например, что
так как правая часть по определению является пределом для левой стороны. Однако для данного суммирования n фиксировано, и мало что можно сказать об ошибке в приведенном выше приближении без дополнительных предположений относительно f : ясно, что для сильно осциллирующих функций сумма Римана может быть сколь угодно далека от интеграла Римана.
Идентичности
В приведенных ниже формулах используются конечные суммы; для бесконечного суммирования или конечного суммирования выражений, включающих тригонометрические функции или другие трансцендентные функции , см. список математических рядов .
Общая идентичность
( распределительность ) [4]
( коммутативность и ассоциативность ) [4]
(сдвиг индекса)
для биекции σ из конечного множества A на множество B (смена индекса); это обобщает предыдущую формулу.
(разбиение суммы с использованием ассоциативности )
(вариант предыдущей формулы)
(сумма от первого до последнего члена равна сумме от последнего до первого)
(частный случай формулы выше)
(снова коммутативность и ассоциативность)
(еще одно приложение коммутативности и ассоциативности)
(разбиение суммы на нечетную и четную части для четных индексов)
(разбиение суммы на нечетные и четные части, для нечетных индексов)
( распределенность )
(дистрибутивность допускает факторизацию)
( логарифм продукта - это сумма логарифмов факторов)
( экспонента суммы является произведением экспоненты слагаемых)
Степени и логарифм арифметических прогрессий
для любого c , не зависящего от i
(Сумма простейшей арифметической прогрессии , состоящей из первых n натуральных чисел .) [3] : 52
(Сумма первых нечетных натуральных чисел)
(Сумма первых четных натуральных чисел)
(Сумма логарифмов - это логарифм произведения)
(Сумма первых квадратов , см. Квадрат пирамидального числа .) [3] : 52
( Теорема Никомаха ) [3] : 52
В более общем смысле, есть формула Фаульхабера для
где обозначает число Бернулли , а- биномиальный коэффициент .
Индекс суммирования в показателях
В следующих суммированиях предполагается , что a отличается от 1.
(сумма геометрической прогрессии )
(частный случай для a = 1/2 )
( a, умноженное на производную геометрической прогрессии по a )
Существует очень много тождеств суммирования, включающих биномиальные коэффициенты (целая глава Конкретной математики посвящена только основным методам). Вот некоторые из самых основных.
Используя биномиальную теорему
бином Ньютона
частный случай, когда a = b = 1
, частный случай, когда p = a = 1 - b , что для выражает сумму биномиального распределения
значение в виде = Ь = 1 в производной по отношению к биномиальным теоремам
значение в виде = Ь = 1 из первообразной относительно биномиального теоремы
Вовлечение чисел перестановки
В следующих итогах - количество k -перестановок n .
, где и обозначает функцию пола .
Другие
Гармонические числа
(это номер n- й гармоники )
(это обобщенное гармоническое число )
Темпы роста
Ниже приведены полезные приближения (с использованием тета-записи ):
для действительного c больше -1
(См. Число гармоник )
для действительного c больше 1
для неотрицательного действительного c
для неотрицательных вещественных c , d
для неотрицательных вещественных b > 1, c , d
Смотрите также
Обозначения Эйнштейна
Кронштейн Айверсона
Итерированная бинарная операция
Алгоритм суммирования Кахана
Продукты последовательностей
Продукт (математика)
Суммирование по частям
∑ одинарный глиф суммирования (U + 2211 N-ARY SUMMATION )
⎲ начало парного символа (U + 23B2 SUMMATION TOP )
⎳ конец парного глифа (U + 23B3 SUMMATION BOTTOM )
Заметки
^ Подробнее см. Треугольное число .
^ Подробное описание обозначений суммирования и арифметики с суммами см. В Graham, Ronald L .; Knuth, Donald E .; Паташник, Орен (1994). «Глава 2: Итоги». Конкретная математика: Фонд компьютерных наук (PDF) (2-е изд.). Эддисон-Уэсли Профессионал. ISBN 978-0201558029.[ постоянная мертвая ссылка ]
^ Хотя имя фиктивной переменной не имеет значения (по определению), обычно используются буквы из середины алфавита ( через ) для обозначения целых чисел, если есть риск путаницы. Например, даже если не должно быть никаких сомнений в интерпретации, многим математикам может показаться немного сбивающим с толку то, что вместо в приведенных выше формулах с участием . См. Также типографские обозначения в математических формулах .