Многоугольник Рейнхардта

В геометрии многоугольник Рейнхардта - это равносторонний многоугольник, вписанный в многоугольник Рило . Как и в правильных многоугольниках , каждая вершина многоугольника Рейнхардта участвует по крайней мере в одной определяющей паре диаметра многоугольника. Многоугольники Рейнхардта со сторонами существуют, часто с множеством форм, если это не степень двойки . Среди всех многоугольников со сторонами многоугольники Рейнхардта имеют наибольший возможный периметр для их диаметра, наибольшую возможную ширину для их диаметра и наибольшую возможную ширину для их периметра. Они названы в честь Карла Рейнхардта.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$, который изучал их в 1922 году. ^{[1] [2]}

Строительство [ править ]

Рел многоугольник является выпуклой формой с круговой дугой стороны, каждый с центром на вершине формы , и все они имеют одинаковый радиус; Примером может служить треугольник Рело . Эти формы представляют собой кривые постоянной ширины . Некоторые многоугольники Рило имеют стороны, иррационально кратные друг другу, но если многоугольник Рело имеет стороны, которые можно разделить на систему дуг одинаковой длины, то многоугольник, образованный выпуклой оболочкой концов этих дуг, является Многоугольник Рейнхардта. Обязательно вершины лежащего в основе многоугольника Рило также являются конечными точками дуг и вершин многоугольника Рейнхардта, но многоугольник Рейнхардта также может иметь дополнительные вершины, внутренние по отношению к сторонам многоугольника Рило.^[3]

Если это степень двойки , то невозможно сформировать многоугольник Рейнхардта со сторонами. Если - нечетное число , то правильный многоугольник со сторонами является многоугольником Рейнхардта. Любое другое натуральное число должно иметь нечетный делитель , и многоугольник Рейнхардта со сторонами может быть сформирован путем подразделения каждой дуги правильного многоугольника Рило на более мелкие дуги. Когда - нечетное простое число или двойное простое число, существует только одна форма двустороннего многоугольника Рейнхардта, но все другие значения имеют многоугольники Рейнхардта с несколькими формами. ^[1]${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle n / d}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Размеры и оптимальность [ править ]

Пары диаметров многоугольника Рейнхардта образуют множество равнобедренных треугольников со сторонами треугольника с углом при вершине , по которому можно вычислить размеры многоугольника. Если длина стороны многоугольника Рейнхардта равна 1, то его периметр равен . Диаметр многоугольника (наибольшее расстояние между любыми двумя из его точек) равна длине боковой этих равнобедренных треугольников, . Эти кривые постоянной ширины многоугольника (кратчайшее расстояние между любыми двумя параллельными поддерживая линий ) равна высоту этого треугольника, . Эти многоугольники оптимальны по трем причинам:${\ displaystyle \ pi / n}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle 1/2 \ грех (\ пи / 2n)}$${\ Displaystyle 1/2 \ загар (\ пи / 2n)}$

• У них самый большой возможный периметр среди многосторонних многоугольников с их диаметром и наименьший возможный диаметр среди многосторонних многоугольников с их периметром. ^[1]${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$
• Они имеют наибольшую возможную ширину среди многосторонних многоугольников с их диаметром и наименьший возможный диаметр среди многосторонних многоугольников с их шириной. ^[1]${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$
• Они имеют наибольшую возможную ширину среди односторонних многоугольников с их периметром и наименьший возможный периметр среди односторонних многоугольников с их шириной. ^[1]${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Связь между периметром и диаметром для этих многоугольников была доказана Рейнхардтом ^[4] и независимо повторно открыта несколько раз. ^{[5] [6]} Связь между диаметром и шириной была доказана Бездеком и Фодором в 2000 году; в их работе также исследуются оптимальные многоугольники для этой задачи, когда количество сторон является степенью двойки (для которых многоугольники Рейнхардта не существуют). ^[7]

Симметрия и перечисление [ править ]

В односторонний Reinhardt полигоны , сформированные из односторонних правильных многоугольников Рели симметричны: они могут быть повернуты на угол , чтобы получить тот же многоугольник. Многоугольники Рейнхардта с такой вращательной симметрией называются периодическими , а многоугольники Рейнхардта без вращательной симметрии - спорадическими . Если является полупростым числом или произведением степени двойки с нечетной степенью простого числа , то односторонние многоугольники Рейнхардта периодичны. В остальных случаях, когда имеет два различных нечетных простых множителя и не является произведением этих двух множителей, также существуют спорадические многоугольники Рейнхардта. ^[2]${\ displaystyle n}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle 2 \ pi / d}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Для каждого из них существует только конечное число различных односторонних многоугольников Рейнхардта. ^[3] Если - наименьший простой делитель числа , то количество различных односторонних периодических многоугольников Рейнхардта равно${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

где термин использует небольшое обозначение O . Однако количество спорадических полигонов Рейнхардта изучено хуже, и для большинства значений общего количества полигонов Рейнхардта преобладают спорадические. ^[2]${\ Displaystyle о (1)}$${\ displaystyle n}$

Номера этих многоугольников для малых значений (считая два многоугольника одинаковыми, когда их можно вращать или переворачивать, чтобы сформировать друг друга): ^[1]${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle n}$:	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21 год	22	23	24
#:	1	0	1	1	1	0	2	1	1	2	1	1	5	0	1	5	1	2	10	1	1	12

См. Также [ править ]

• Самый большой маленький многоугольник , многоугольники увеличивают площадь своего диаметра

Ссылки [ править ]