Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Диаграмма Юнга , представляющий визуально разложение вежливую 15 = 4 + 5 + 6

В теории чисел , А число вежливы является положительным целым числом , которое может быть записано в виде суммы двух или более последовательных положительных целых чисел. Невежливое положительное целое число называется невежливым . [1] [2] Невежливые числа - это в точности степени двойки , а вежливые числа - это натуральные числа , не являющиеся степенями двойки.

Вежливые числа также называются номерами лестниц, потому что диаграммы Юнга, которые графически представляют разбиение вежливого числа на последовательные целые числа (во французской нотации рисования этих диаграмм), напоминают лестницы . [3] [4] [5] Если все числа в сумме строго больше единицы, числа, образованные таким образом, также называются трапециевидными числами, потому что они представляют собой образцы точек, расположенных в форме трапеции . [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]

Проблема представления чисел в виде суммы последовательных целых чисел и подсчет числа представлений этого типа была изучена Сильвестром , [13] Мейсон, [14] [15] LEVEQUE , [16] и многих других более поздних авторы. [1] [2] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] Вежливые числа описывают возможное количество сторон многоугольника Рейнхардта . [24]

Примеры и характеристика [ править ]

Первые несколько вежливых номеров

3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (последовательность A138591 в OEIS ).

Невежливые числа - это в точности степени двойки . [13] Из теоремы Ламбека – Мозера следует, что n- е вежливое число - это f ( n  + 1), где

Вежливость [ править ]

Вежливость положительного числа определяются как число способов он может быть выражен в виде суммы последовательных целых чисел. Для каждого х , вежливость х равно число нечетных делителей из й которые больше единицы. [13] Вежливость чисел 1, 2, 3, ...

0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 3, ... (последовательность A069283 в OEIS ).

Например, вежливость числа 9 равна 2, потому что оно имеет два нечетных делителя, 3 и само себя, и два вежливых представления.

9 = 2 + 3 + 4 = 4 + 5;

вежливость 15 равна 3, потому что у него три нечетных делителя: 3, 5 и 15, и (как известно игрокам в криббедж ) [25] три вежливых представления

15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8.

Простой способ вычислить вежливость положительного числа, разложив число на его простые множители , взяв степени всех простых множителей больше 2, прибавив 1 ко всем из них, умножив полученные таким образом числа друг на друга и вычтя 1. Например, 90 имеет вежливость 5, потому что ; степени 3 и 5 равны 2 и 1 соответственно, и применяя этот метод .

Построение вежливых представлений из нечетных делителей [ править ]

Чтобы увидеть связь между нечетными делителями и вежливыми представлениями, предположим, что число x имеет нечетный делитель y  > 1. Тогда y последовательных целых чисел с центром на x / y (так что их среднее значение равно x / y ) имеют x в качестве суммы:

Некоторые члены этой суммы могут быть нулевыми или отрицательными. Однако, если термин равен нулю, его можно опустить, и любые отрицательные термины могут использоваться для отмены положительных, что приведет к вежливому представлению для x . (Требование, чтобы y  > 1 соответствовало требованию, чтобы вежливое представление имело более одного члена; применение той же конструкции для y  = 1 просто привело бы к тривиальному одночленному представлению x  =  x .) Например, вежливое число x  = 14 имеет единственный нетривиальный нечетный делитель, 7. Следовательно, это сумма 7 последовательных чисел с центром 14/7 = 2:

14 = (2-3) + (2-3) + (2-1) + 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3).

Первый член, -1, отменяет более поздний +1, а второй член, ноль, может быть опущен, что приводит к вежливому представлению

14 = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) = 2 + 3 + 4 + 5.

И наоборот, любое вежливое представление x может быть сформировано из этой конструкции. Если представление имеет нечетное количество терминов, x / y является средним термином, а если оно имеет четное количество терминов и его минимальное значение равно m, оно может быть расширено уникальным способом до более длинной последовательности с той же суммой и нечетное количество членов, включая 2 m  - 1 чисел - ( m  - 1), - ( m  - 2), ..., −1, 0, 1, ..., m  - 2, m  - 1 . После этого расширения снова x / yэто средний срок. С помощью этой конструкции вежливые представления числа и его нечетных делителей больше единицы могут быть помещены во взаимно однозначное соответствие , давая биективное доказательство характеристики вежливых чисел и вежливости. [13] [26] В более общем смысле, та же идея дает соответствие два к одному между, с одной стороны, представлениями в виде суммы последовательных целых чисел (допускающей ноль, отрицательные числа и одночленные представления) и другие нечетные делители (включая 1). [15]

Другое обобщение этого результата утверждает, что для любого n количество разбиений n на нечетные числа, имеющие k различных значений, равно количеству разбиений n на различные числа, имеющие k максимальных серий последовательных чисел. [13] [27] [28] Здесь серия представляет собой одно или несколько последовательных значений, так что следующее большее и следующее меньшее последовательные значения не являются частью раздела; например, раздел 10 = 1 + 4 + 5 имеет два прогона, 1 и 4 + 5. Вежливое представление имеет один прогон, а раздел с одним значением d эквивалентен факторизации n как произведения d⋅ ( n / d ), поэтому частный случай k  = 1 этого результата снова устанавливает эквивалентность между вежливыми представлениями и нечетными множителями (включая в этом случае тривиальное представление n  =  n и тривиальный нечетный множитель 1).

Трапециевидные числа [ править ]

Если вежливое представление начинается с 1, представленное таким образом число является треугольным числом.

В более общем смысле, это разница двух непоследовательных треугольных чисел.

В любом случае оно называется трапециевидным числом. То есть вежливые числа - это просто числа в форме трапеции. Можно также рассматривать вежливые числа, единственные вежливые представления которых начинаются с 1. Единственными такими числами являются треугольные числа только с одним нетривиальным нечетным делителем, поскольку для этих чисел, согласно описанной ранее биекции , нечетный делитель соответствует треугольному представлению и других вежливых представлений быть не может. Таким образом, вежливые числа, единственное вежливое представление которых начинается с 1, должны иметь форму степени двойки, умноженной на нечетное простое число. Как отмечают Джонс и Лорд [12], существует ровно два типа треугольных чисел этой формы:

  1. четные совершенные числа 2 n  - 1 (2 n  - 1), образованные произведением простого числа Мерсенна 2 n  - 1 на половину ближайшей степени двойки , и
  2. произведения 2 n  - 1 (2 n  + 1) простого числа Ферма 2 n  + 1 с половиной ближайшей степени двойки.

(последовательность A068195 в OEIS ). Например, совершенное число 28 = 2 3 - 1 (2 3  - 1) и число 136 = 2 4 - 1 (2 4  + 1) являются вежливыми числами этого типа. Предполагается, что существует бесконечно много простых чисел Мерсенна, и в этом случае существует также бесконечно много вежливых чисел этого типа.

Ссылки [ править ]

  1. ^ Б Адамс, Кен (март 1993), "Как вежливы это х ?", Математическая газета , 77 (478): 79-80, DOI : 10,2307 / 3619263 , JSTOR  3619263.
  2. ^ Б Griggs, Терри С. (декабрь 1991), "невежливо Числа", Математическая газета , 75 (474): 442-443, DOI : 10,2307 / 3618630 , JSTOR 3618630 .
  3. ^ Мейсон, Джон; Бертон, Леоне ; Стейси, Кэй (1982), Математическое мышление , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-10238-3.
  4. ^ Стейси, К .; Гровс, С. (1985), Стратегии решения проблем , Мельбурн: широта.
  5. ^ Стейси, К .; Скотт, Н. (2000), «Ориентация на глубокую структуру при испытании примеров: ключ к успешному решению проблем», в Carillo, J .; Contreras, LC (ред.), Resolucion de Problemas en los Albores del Siglo XXI: Una vision Internacional desde Multiples Perspectivas y Niveles Educativos (PDF) , Уэльва, Испания: Hergue, стр. 119–147, заархивировано с оригинала (PDF) на 2008-07-26 .
  6. ^ Геймер, Карлтон; Roeder, Дэвид В .; Watkins, Джон Дж (1985), "номер трапециевидного", Математика Magazine , 58 (2): 108-110, DOI : 10,2307 / 2689901 , JSTOR 2689901 .
  7. ^ Жан, Шарль-Э. (Март 1991 г.), "Les nombres trapézoïdaux" (французский) , Bulletin de l'AMQ : 6–11 .
  8. ^ Хаггард, Пол У .; Моралес, Келли Л. (1993), «Обретение отношения и модели путем исследования трапециевидные числа», Международный журнал по математическому образованию в области науки и техники , 24 (1): 85-90, DOI : 10,1080 / 0020739930240111.
  9. ^ Файнберг-Макбрайан, Кэрол (1996), "Случай трапециевидных чисел", Учитель математики , 89 (1): 16–24.
  10. ^ Смит, Джим (1997), "Трапециевидные числа", Математика в школе , 5 : 42.
  11. ^ Verhoeff, Т. (1999), "прямоугольные и трапециевидные аранжировки" , Журнал целочисленных последовательностей , 2 : 16, Bibcode : 1999JIntS ... 2 ... 16V , статья 99.1.6.
  12. ^ а б Джонс, Крис; Лорд, Ник (1999), "Характеризуя без трапециевидные числа", Математическая газета , 83 (497): 262-263, DOI : 10,2307 / 3619053 , JSTOR 3619053 .
  13. ^ a b c d e Сильвестр, JJ ; Франклин, F (1882), "Конструктивная теория перегородок, расположенный в трех действиях, InterACT и exodion", американский журнал математика , 5 (1): 251-330, да : 10.2307 / 2369545 , JSTOR 2369545 . В «Собрании математических статей Джеймса Джозефа Сильвестра» (декабрь 1904 г.) , HF Baker, ed. Сильвестр определяет класс разбиения на отдельные целые числа как количество блоков последовательных целых чисел в разбиении, поэтому в его обозначениях вежливое разбиение является первым классом.
  14. ^ Мейсон, Т. Е. (1911), «О представлениях числа как суммы последовательных целых чисел», Слушания Академии наук Индианы : 273–274.
  15. ^ Б Мейсон, Томас Е. (1912), "О представлении целых чисел в виде суммы последовательных целых чисел", Американский математический Monthly , 19 (3): 46-50, DOI : 10.2307 / 2972423 , JSTOR 2972423 , MR 1517654  .
  16. ^ Левек, WJ (1950), "О представлениях в виде суммы последовательных целых чисел", Canadian Journal математики , 2 : 399-405, DOI : 10,4153 / CJM-1950-036-3 , МР 0038368 ,
  17. ^ Понг, Вай Ян (2007), «Суммы последовательных целых чисел», College Math. J. , 38 (2): 119–123, arXiv : math / 0701149 , Bibcode : 2007math ...... 1149P , MR 2293915 .
  18. ^ Бритт, Майкл JC; Фрадин, Лилли; Филипс, Кэти; Фельдман, Дима; Купер, Леон Н. (2005), "О суммах последовательных целых чисел", Quart. Прил. Математика. , 63 (4): 791-792, DOI : 10,1090 / S0033-569X-05-00991-1 , МР 2187932 .
  19. ^ Frenzen, CL (1997), "Доказательство без слов: суммы последовательных положительных целых чисел", Math. Mag. , 70 (4): 294, JSTOR 2690871 , Руководство по ремонту 1573264  .
  20. ^ Гай, Роберт (1982), «Суммы последовательных целых чисел» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 20 (1): 36–38, Zbl 0475.10014  .
  21. ^ Апостол, Том М. (2003), «Суммы последовательных положительных целых чисел», The Mathematical Gazette , 87 (508): 98–101, JSTOR 3620570 .
  22. ^ Приелипп, Роберт В .; Kuenzi, Norbert J. (1975), "Суммы последовательных положительных целых чисел", Учитель математики , 68 (1): 18–21.
  23. ^ Паркер, Джон (1998), «Суммы последовательных целых чисел», « Математика в школе» , 27 (2): 8–11.
  24. ^ Моссинхофф, Michael J. (2011), "Перечисляя isodiametric и изопериметрические многоугольники", Журнал комбинаторной теории , серия А, 118 (6): 1801-1815, DOI : 10.1016 / j.jcta.2011.03.004 , MR 2793611 
  25. ^ Грэм, Рональд ; Кнут, Дональд ; Паташник, Орен (1988), "Проблема 2.30", Concrete Mathematics , Addison-Wesley, p. 65, ISBN 978-0-201-14236-5.
  26. ^ Вадерлинд, Пол ; Гай, Ричард К .; Ларсон, Лорен С. (2002), Пытливый решатель задач , Математическая ассоциация Америки, стр. 205–206, ISBN. 978-0-88385-806-6.
  27. ^ Эндрюс, GE (1966), "Об обобщениях теоремы раздела Эйлера", Мичиганский математический журнал , 13 (4): 491-498, DOI : 10,1307 / MMJ / 1028999609 , MR 0202617 .
  28. ^ Рамамани, V .; Venkatachaliengar, К. (1972), "Об одной теореме раздела Сильвестра", Мичиган математический журнал , 19 (2): 137-140, DOI : 10,1307 / MMJ / 1029000844 , МР 0304323 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Вежливые номера , NRICH, Кембриджский университет, декабрь 2002 г.
  • Введение в Runsums , R. Knott.
  • Есть ли какой-нибудь узор в наборе трапециевидных чисел? Вопрос дня на Intellectualism.org, 2 октября 2003 г. С диаграммой, показывающей трапециевидные числа, отмеченные цветом в зависимости от количества членов в их расширениях.