В геометрии многоугольник Рело - это кривая постоянной ширины, состоящая из дуг окружности постоянного радиуса . [1] Эти формы названы в честь их прототипа, треугольника Рело , который, в свою очередь, назван в честь немецкого инженера XIX века Франца Рёло . [2] Треугольник Рело может быть построен из равностороннего треугольника , соединив каждые две вершины дугой окружности с центром в третьей вершине, а многоугольники Рело могут быть образованы аналогичной конструкцией из любого правильного многоугольника.с нечетным числом сторон или из некоторых неправильных многоугольников. Каждую кривую постоянной ширины можно точно аппроксимировать многоугольниками Рило. Они были применены в форме монет .
Строительство
Если представляет собой выпуклый многоугольник с нечетным числом сторон, в котором каждая вершина равноудалена двум противоположным вершинам и ближе ко всем остальным вершинам, а затем заменяя каждую сторонупо дуге с центром в противоположной вершине образует многоугольник Рило. Как частный случай, это построение возможно для любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон. [1]
Каждый многоугольник Рело должен иметь нечетное количество сторон дуги окружности и может быть построен таким образом из многоугольника, выпуклой оболочки его концов дуги. Однако можно сделать другие кривые постоянной ширины из четного числа дуг с различными радиусами. [1]
Характеристики
Многоугольники Рило, основанные на правильных многоугольниках, - единственные кривые постоянной ширины, границы которых образованы конечным числом дуг окружности одинаковой длины. [3]
Каждую кривую постоянной ширины можно сколь угодно точно аппроксимировать (возможно, неправильным) многоугольником Рело той же ширины. [1]
У правильного многоугольника Рело стороны равной длины. В более общем смысле, когда многоугольник Рело имеет стороны, которые можно разделить на дуги равной длины, выпуклая оболочка конечных точек дуги является многоугольником Рейнхардта . Эти многоугольники оптимальны по нескольким причинам: они имеют максимально возможный периметр для их диаметра, максимально возможную ширину для их диаметра и максимально возможную ширину для их периметра. [4]
Приложения
Постоянная ширина этих форм позволяет использовать их в качестве монет в монетных автоматах. Например, Соединенное Королевство изготовило монеты номиналом 20 и 50 пенсов в форме правильного семиугольника Рело. [5] В канадской монете канадский луни используется еще один правильный многоугольник Рёло с 11 сторонами. [6] Однако некоторые монеты с закругленными сторонами многоугольников, такие как 12-сторонняя монета британского фунта стерлингов 2017 года , не имеют постоянной ширины и не являются многоугольниками Рело. [7]
Хотя китайский изобретатель Гуань Байхуа создал велосипед с многоугольными колесами Рило, изобретение не прижилось. [8]
Рекомендации
- ^ а б в г Мартини, Хорст; Монтехано, Луис; Оливерос, Дебора (2019), "Раздел 8.1: Рел многоугольники", тела постоянной ширины: Введение в выпуклой геометрию с приложениями , Birkhäuser, стр 167-169,. DOI : 10.1007 / 978-3-030-03868-7 , ISBN 978-3-030-03866-3, Руководство по ремонту 3930585
- ^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2011), Иконы математики: исследование двадцати ключевых образов , Dolciani Mathematical Expositions, 45 , Mathematical Association of America, стр. 155 , ISBN 978-0-88385-352-8
- ^ Фиря, WJ (1960), "Изопериметрические отношения Рели полигоны", Тихоокеанский журнал математики , 10 (3): 823-829, DOI : 10,2140 / pjm.1960.10.823 , МР 0113176
- ^ Заяц, Кевин Дж .; Моссингхофф, Майкл Дж. (2019), «Большинство полигонов Рейнхардта являются спорадическими», Geometriae Dedicata , 198 : 1–18, arXiv : 1405.5233 , doi : 10.1007 / s10711-018-0326-5 , MR 3933447
- ^ Гарднер, Мартин (1991), «Глава 18: Кривые постоянной ширины», Неожиданное свисание и другие математические отклонения , University of Chicago Press, стр. 212–221, ISBN 0-226-28256-2
- ^ Чемберленд, Марк (2015), Однозначные числа: в честь малых чисел , Princeton University Press, стр. 104–105, ISBN 9781400865697
- ^ Фрайбергер, Марианна (13 декабря 2016 г.), «Новая монета в 1 фунт равняется» , журнал Plus
- ^ дю Сотуа, Маркус (27 мая 2009 г.), «Новый велосипед изобретает колесо с пятиугольником и треугольником» , The Times. Смотрите также Ньюитц, Аннали (30 сентября 2014 г.), «Изобретатель создает действительно крутые колеса» , Gizmodo