Многогранное соединение представляет собой фигура , которая состоит из нескольких , обмена многогранников общего центра . Они являются трехмерными аналогами многоугольных соединений, таких как гексаграмма .
Внешние вершины соединения могут быть соединены в выпуклый многогранник, называемый его выпуклой оболочкой . Соединение - это огранка его выпуклой оболочки.
Другой выпуклый многогранник образован небольшим центральным пространством, общим для всех членов соединения. Этот многогранник можно использовать как сердцевину для набора звездочек .
Обычные соединения [ править ]
Регулярное многогранное соединение может быть определенно как соединение , которое, как правильный многогранник , является вершина-симметрическим , ребро транзитивна и лицом транзитивна . В отличие от многогранников, это не эквивалентно тому, что группа симметрии транзитивно действует на свои флаги ; соединение двух тетраэдров - единственное правильное соединение с таким свойством. Есть пять правильных соединений многогранников:
| Обычное соединение (символ Кокстера) | Картина | Сферический | Выпуклый корпус | Общее ядро | Группа симметрии | Подгруппа, ограниченная одним компонентом | Двойной регулярный состав |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Два тетраэдра {4,3} [2 {3,3}] {3,4} |  |  | Куб | Октаэдр | * 432 [4,3] O ч | * 332 [3,3] T d | Два тетраэдра |
| Пять тетраэдров {5,3} [5 {3,3}] {3,5} |  |  | Додекаэдр | Икосаэдр | 532 [5,3] + я | 332 [3,3] + Т | Хиральный близнец (энантиоморф) |
| Десять тетраэдров 2 {5,3} [10 {3,3}] 2 {3,5} |  |  | Додекаэдр | Икосаэдр | * 532 [5,3] I ч | 332 [3,3] т | Десять тетраэдров |
| Пять кубиков 2 {5,3} [5 {4,3}] | Додекаэдр [1] | Ромбический триаконтаэдр [1] | * 532 [5,3] I ч | 3 * 2 [3,3] Т ч | Пять октаэдров | ||
| Пять октаэдров [5 {3,4}] 2 {3,5} | Икосидодекаэдр [1] | Икосаэдр [1] | * 532 [5,3] I ч | 3 * 2 [3,3] Т ч | Пять кубиков |
Самым известным является правильное соединение двух тетраэдров , часто называемое стелла-октангулой , имя, данное ему Кеплером . Вершины двух тетраэдров определяют куб , а их пересечение определяет правильный октаэдр , который имеет те же плоскости граней, что и соединение. Таким образом, соединение двух тетраэдров представляет собой звездчатую форму октаэдра и фактически является его единственной конечной звездчатой формой.
Правильное соединение пяти тетраэдров бывает двух энантиоморфных версий, которые вместе составляют правильное соединение десяти тетраэдров. [1] Правильное соединение десяти тетраэдров также может быть построено с пятью октангулами Stellae. [1]
Каждое из правильных тетраэдрических соединений самодуально или двойственно своему хиральному двойнику; правильное соединение пяти кубов и правильное соединение пяти октаэдров двойственно друг другу.
Следовательно, правильные полиэдрические соединения также можно рассматривать как двойственно-регулярные .
Обозначения Кокстера для обычных соединений даны в таблице выше, включая символы Шлефли . Материал в квадратных скобках, [ d { p , q }], обозначает компоненты соединения: d отдельные { p , q } 's. Материал перед квадратными скобками обозначает расположение вершин соединения: c { m , n } [ d { p , q }] - это соединение d { p , q }, разделяющих вершины соединения { m ,n } насчитали c раз. Материал после квадратных скобок обозначает расположение граней соединения: [ d { p , q }] e { s , t } - это соединение d { p , q }, имеющих общие грани { s , t }, подсчитано е раз. Их можно комбинировать: таким образом, c { m , n } [ d { p , q }] e { s , t} представляет собой соединение d { p , q }, разделяющих вершины { m , n }, подсчитанных c раз, и граней { s , t }, подсчитанных e раз. Это обозначение можно обобщить на соединения любого количества измерений. [2]
Двойные соединения [ править ]
Двойное соединение состоит из многогранника и его сопряженного, расположенное взаимно вокруг общей intersphere или midsphere, таким образом, чтобы край одного многогранника пересекает двойной край двойного многогранника. Есть пять двойственных соединений правильных многогранников.
Ядро - это выпрямление обоих твердых тел. Оболочка является двойственной этому выпрямлению, а ее ромбические грани имеют пересекающиеся ребра двух тел в качестве диагоналей (и имеют четыре альтернативные вершины). Для выпуклых тел это выпуклая оболочка .
| Двойное соединение | Картина | Корпус | Основной | Группа симметрии |
|---|---|---|---|---|
| Два тетраэдра ( соединение двух тетраэдров , звездчатый октаэдр ) | Куб | Октаэдр | * 432 [4,3] O ч | |
| Куб - октаэдр ( соединение куба и октаэдра ) | Ромбический додекаэдр | Кубооктаэдр | * 432 [4,3] O ч | |
| Додекаэдр - икосаэдр ( соединение додекаэдра и икосаэдра ) | Ромбический триаконтаэдр | Икосидодекаэдр | * 532 [5,3] I ч | |
| Малый звездчатый додекаэдр - большой додекаэдр ( соединение sD и gD ) | Медиальный ромбический триаконтаэдр (выпуклый: икосаэдр ) | Додекадодекаэдр (Выпуклый: Додекаэдр ) | * 532 [5,3] I ч | |
| Большой икосаэдр - большой звездчатый додекаэдр ( соединение gI и gsD ) | Большой ромбический триаконтаэдр (Выпуклый: Додекаэдр ) | Большой икосододекаэдр (выпуклый: икосаэдр ) | * 532 [5,3] I ч |
Тетраэдр самодвойственный, поэтому двойственное соединение тетраэдра с его двойником - это правильный звездчатый октаэдр .
Октаэдрические и икосаэдрические дуальные соединения являются первыми звёздчатыми образованиями кубооктаэдра и икосододекаэдра соответственно.
Однородные соединения [ править ]
В 1976 году Джон Скиллинг опубликовал « Однородные соединения однородных многогранников», в которых перечислено 75 соединений (в том числе 6 как бесконечные призматические наборы соединений, № 20–25), состоящих из однородных многогранников с вращательной симметрией. (Каждая вершина является вершинно-транзитивной, и каждая вершина транзитивна со всеми остальными вершинами.) Этот список включает пять регулярных соединений, указанных выше. [1]
75 однородных соединений перечислены в таблице ниже. Большинство из них окрашены в индивидуальный цвет каждым элементом многогранника. Некоторые киральные пары групп граней окрашены симметрией граней внутри каждого многогранника.
- 1-19: Разное (4,5,6,9,17 - это 5 обычных соединений )
- 20-25: Призменная симметрия, встроенная в призменную симметрию ,
- 26-45: Призменная симметрия, встроенная в октаэдрическую или икосаэдрическую симметрию ,
- 46-67: Тетраэдрическая симметрия, встроенная в октаэдрическую или икосаэдрическую симметрию,
- 68-75: пары энантиоморфов
Другие соединения [ править ]
| Соединение из четырех кубиков (слева) не является ни обычным соединением, ни двойным соединением, ни однородным соединением. Его двойник, соединение четырех октаэдров (справа), представляет собой однородное соединение. | |
- Соединение трех октаэдров
- Соединение четырех кубиков
Два многогранника, которые являются составными, но их элементы жестко закреплены на месте, - это малый сложный икосододекаэдр (соединение икосаэдра и большого додекаэдра ) и большой сложный икосододекаэдр (соединение малого звездчатого додекаэдра и большого икосаэдра ). Если определение равномерного многогранника обобщить, они будут однородными.
Раздел для пар энантиоморфов в списке Скиллинга не содержит соединения двух больших курносых додецикозододекаэдров , поскольку грани пентаграммы совпадают. Удаление совпадающих граней приводит к соединению двадцати октаэдров .
4-политопные соединения [ править ]
| 75 {4,3,3} | 75 {3,3,4} |
|---|
В четырехмерном пространстве существует большое количество правильных соединений правильных многогранников. Кокстер перечисляет некоторые из них в своей книге « Регулярные многогранники» . [3] Макмаллен добавил шесть в своей статье « Новые регулярные соединения 4-многогранников» . [4]
Самостоятельные двойники:
| Сложный | Учредительный | Симметрия |
|---|---|---|
| 120 5-ячеек | 5-элементный | [5,3,3], заказ 14400 [3] |
| 120 5 ячеек (var) | 5-элементный | заказ 1200 [4] |
| 720 5 ячеек | 5-элементный | [5,3,3], заказ 14400 [3] |
| 5 24-ячеек | 24-элементный | [5,3,3], заказ 14400 [3] |
Двойные пары:
| Соединение 1 | Соединение 2 | Симметрия |
|---|---|---|
| 3 16 ячеек [5] | 3 тессеракта | [3,4,3], заказ 1152 [3] |
| 15 16 ячеек | 15 тессерактов | [5,3,3], заказ 14400 [3] |
| 75 16 ячеек | 75 мозаик | [5,3,3], заказ 14400 [3] |
| 75 16 ячеек (var) | 75 тессерактов (вар) | заказ 600 [4] |
| 300 16 ячеек | 300 мозаик | [5,3,3] + , заказ 7200 [3] |
| 600 16 ячеек | 600 мозаик | [5,3,3], заказ 14400 [3] |
| 25 24-ячеек | 25 24-ячеек | [5,3,3], заказ 14400 [3] |
Равномерные соединения и двойники с выпуклыми 4-многогранниками:
| Соединение 1 Вершинно-транзитивный | Соединение 2 Клеточно-транзитивное | Симметрия |
|---|---|---|
| 2 16 ячеек [6] | 2 тессеракта | [4,3,3], заказ 384 [3] |
| 100 24 ячейки | 100 24 ячейки | [5,3,3] + , заказ 7200 [3] |
| 200 24 ячейки | 200 24 ячейки | [5,3,3], заказ 14400 [3] |
| 5 600 ячеек | 5 120 ячеек | [5,3,3] + , заказ 7200 [3] |
| 10 600 ячеек | 10 120 ячеек | [5,3,3], заказ 14400 [3] |
| 25 24-ячеек (var) | 25 24-ячеек (var) | заказ 600 [4] |
Верхний индекс (var) в приведенных выше таблицах указывает на то, что меченые соединения отличаются от других соединений с таким же количеством компонентов.
Соединения с правильными звездными 4-многогранниками [ править ]
Самодвойные звездные соединения:
| Сложный | Симметрия |
|---|---|
| 5 {5,5 / 2,5} | [5,3,3] + , заказ 7200 [3] |
| 10 {5,5 / 2,5} | [5,3,3], заказ 14400 [3] |
| 5 {5 / 2,5,5 / 2} | [5,3,3] + , заказ 7200 [3] |
| 10 {5 / 2,5,5 / 2} | [5,3,3], заказ 14400 [3] |
Двойные пары составных звезд:
| Соединение 1 | Соединение 2 | Симметрия |
|---|---|---|
| 5 {3,5,5 / 2} | 5 {5 / 2,5,3} | [5,3,3] + , заказ 7200 |
| 10 {3,5,5 / 2} | 10 {5 / 2,5,3} | [5,3,3], заказ 14400 |
| 5 {5,5 / 2,3} | 5 {3,5 / 2,5} | [5,3,3] + , заказ 7200 |
| 10 {5,5 / 2,3} | 10 {3,5 / 2,5} | [5,3,3], заказ 14400 |
| 5 {5 / 2,3,5} | 5 {5,3,5 / 2} | [5,3,3] + , заказ 7200 |
| 10 {5 / 2,3,5} | 10 {5,3,5 / 2} | [5,3,3], заказ 14400 |
Однородные составные звезды и двойники :
| Соединение 1 Вершинно-транзитивный | Соединение 2 Клеточно-транзитивное | Симметрия |
|---|---|---|
| 5 {3,3,5 / 2} | 5 {5 / 2,3,3} | [5,3,3] + , заказ 7200 |
| 10 {3,3,5 / 2} | 10 {5 / 2,3,3} | [5,3,3], заказ 14400 |
Соединения с дуалами [ править ]
Двойные позиции:
| Сложный | Учредительный | Симметрия |
|---|---|---|
| 2 5-ячеечный | 5-элементный | [[3,3,3]], заказ 240 |
| 2 24-ячеечный | 24-элементный | [[3,4,3]], заказ 2304 |
| 1 тессеракт, 1 16 ячеек | тессеракт , 16 ячеек | |
| 1 120 ячеек, 1 600 ячеек | 120 ячеек , 600 ячеек | |
| 2 большие 120-ячеечные | отличный 120-ячеечный | |
| 2 большие звездчатые 120-элементные | большой звездчатый 120-элементный | |
| 1 икосаэдрический 120-элементный, 1 маленький звездчатый 120-элементный | икосаэдрический 120-элементный , маленький звездчатый 120-элементный | |
| 1 большая 120-ячеечная, 1 большая звездчатая 120-ячеечная | большой 120-элементный , большой звездчатый 120-элементный | |
| 1 большой 120-элементный, 1 большой икосаэдрический 120-элементный | большой 120 ячеек , большой икосаэдр 120 ячеек | |
| 1 большой звездчатый 120-элементный, 1 большой 600-элементный | большой звездчатый 120-элементный , большой 600-элементный |
Теория групп [ править ]
С точки зрения теории групп , если G - группа симметрии полиэдрического соединения, и группа действует транзитивно на многогранники (так, что каждый многогранник может быть отправлен любому из других, как в однородных соединениях), то если H является стабилизатор одного выбранного многогранника, многогранники можно отождествить с пространством орбит G / H - смежный класс gH соответствует тому, в какой многогранник g переводит выбранный многогранник.
Соединения мозаик [ править ]
Существует восемнадцать двухпараметрических семейств регулярных составных мозаик евклидовой плоскости. В гиперболической плоскости известно пять однопараметрических семейств и семнадцать единичных случаев, но полнота этого списка не была перечислена.
Евклидовы и гиперболические составные семейства 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p - целое число) аналогичны сферической октангуле стеллы , 2 {3,3}.
| Самодвойственный | Duals | Самодвойственный | |
|---|---|---|---|
| 2 {4,4} | 2 {6,3} | 2 {3,6} | 2 {∞, ∞} |
| 3 {6,3} | 3 {3,6} | 3 {∞, ∞} | |
Известное семейство регулярных евклидовых составных сот в пяти или более измерениях представляет собой бесконечное семейство соединений гиперкубических сот , все вершины и грани которых имеют общие вершины и грани с другой гиперкубической сотой. Это соединение может иметь любое количество гиперкубических сот.
Есть также двойные регулярные плиточные соединения. Простой пример Е 2 соединение с гексагональной плитки и ее двойной треугольной плитки , которая разделяет ее края с deltoidal trihexagonal плитки . Евклидовы соединения двух гиперкубических сот являются как регулярными, так и двойными регулярными.
Сноски [ править ]
- ^ a b c d e f g h i j "Составные многогранники" . www.georgehart.com . Проверено 3 сентября 2020 .
- ^ Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1973) [1948]. Правильные многогранники (Третье изд.). Dover Publications. п. 48. ISBN 0-486-61480-8. OCLC 798003 .
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s Правильные многогранники, Таблица VII, с. 305
- ^ a b c d МакМаллен, Питер (2018), Новые регулярные соединения 4-многогранников , Новые тенденции в интуитивной геометрии, 27: 307–320
- ^ Клитцинг, Ричард. «Единый составной звездчатый икоситетрахорон» .
- ^ Клитцинг, Ричард. «Единый составной демидистессеракт» .
Внешние ссылки [ править ]
- MathWorld: соединение многогранников
- Составные многогранники - из Многогранников виртуальной реальности
- Равномерные соединения равномерных многогранников.
- 75 равномерных соединений однородных многогранников Скиллинга
- Равномерные соединения равномерных многогранников Скиллинга
- Многогранные соединения
- http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
- Соединение малого звездчатого додекаэдра и большого додекаэдра {5 / 2,5} + {5,5 / 2}
- Клитцинг, Ричард. «Составные многогранники» .
Ссылки [ править ]
- Скиллинг, Джон (1976), "Унифицированные Соединения Uniform многогранников", Математическая Труды Кембриджского философского общества , 79 : 447-457, DOI : 10,1017 / S0305004100052440 , MR 0397554.
- Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники , Кембридж.
- Веннингер, Магнус (1983), Dual Models , Кембридж, Англия: Cambridge University Press, стр. 51–53..
- Харман, Майкл Г. (1974), Многогранные соединения , неопубликованная рукопись.
- Гесс, Эдмунд (1876 г.), «Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder», Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg , 11 : 5–97.
- Пачоли, Лука (1509), De Divina Proportione.
- Регулярные многогранники , (3-е издание, 1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8
- Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7.п. 87 Пять обычных соединений
- Макмалльно, Питер (2018), "Новые регулярные Соединения 4-многогранники", Новые тенденции в интуитивной геометрии , 27 : 307-320, DOI : 10.1007 / 978-3-662-57413-3_12.
