Угловой дефект

В геометрии ( угловой ) дефект (или недостаток, или недостаток ) означает невозможность суммирования некоторых углов до ожидаемой величины в 360 ° или 180 °, в то время как такие углы в евклидовой плоскости будут. Противоположное понятие - это избыток .

Классически дефект возникает двумя способами:

дефект вершины многогранника;
дефект гиперболического треугольника ;

и избыток также возникает двумя способами:

избыток тороидального многогранника .
превышение сферического треугольника ;

В евклидовой плоскости углы вокруг точки в сумме составляют 360 °, а внутренние углы в треугольнике составляют в сумме 180 ° (эквивалентно, внешние углы в сумме составляют 360 °). Однако в выпуклом многограннике углы при вершине составляют менее 360 °, в сферическом треугольнике внутренние углы всегда в сумме составляют более 180 ° (внешние углы в сумме составляют менее 360 °), а углы в гиперболическом треугольнике сумма всегда меньше 180 ° (внешние углы в сумме составляют более 360 °).

Говоря современным языком, дефект в вершине или над треугольником (с минусом) - это в точности кривизна в этой точке или общая (интегрированная) по треугольнику, как установлено теоремой Гаусса – Бонне .

Дефект вершины [ править ]

Для многогранника дефект в вершине равен 2π минус сумма всех углов при вершине (включая все грани в вершине). Если многогранник выпуклый, то дефект каждой вершины всегда положительный. Если сумма углов превышает полный оборот , как это происходит в некоторых вершинах многих невыпуклых многогранников, то дефект отрицательный.

Понятие дефекта распространяется на более высокие размеры , как сумма , на которую сумма двугранных углов этих клеток в виде пики отстает от полного круга.

Примеры [ править ]

Дефект любой из вершин правильного додекаэдра (в котором три правильных пятиугольника пересекаются в каждой вершине) равен 36 °, или π / 5 радиан, или 1/10 окружности. Каждый из углов составляет 108 °; три из них встречаются в каждой вершине, поэтому дефект составляет 360 ° - (108 ° + 108 ° + 108 °) = 36 °.

Та же процедура может быть проделана для других Платоновых тел :

Форма	Количество вершин	Полигоны встречаются в каждой вершине	Дефект в каждой вершине	Полный дефект
тетраэдр	4	Три равносторонних треугольника	${\ Displaystyle \ пи \ \ (180 ^ {\ circ})}$	${\ displaystyle 4 \ pi \ \ (720 ^ {\ circ})}$
октаэдр	6	Четыре равносторонних треугольника	${\ displaystyle {2 \ pi \ over 3} \ (120 ^ {\ circ})}$	${\ displaystyle 4 \ pi \ \ (720 ^ {\ circ})}$
куб	8	Три квадрата	${\ displaystyle {\ pi \ over 2} \ \ (90 ^ {\ circ})}$	${\ displaystyle 4 \ pi \ \ (720 ^ {\ circ})}$
икосаэдр	12	Пять равносторонних треугольников	${\ displaystyle {\ pi \ over 3} \ \ (60 ^ {\ circ})}$	${\ displaystyle 4 \ pi \ \ (720 ^ {\ circ})}$
додекаэдр	20	Три правильных пятиугольника	${\ displaystyle {\ pi \ over 5} \ \ (36 ^ {\ circ})}$	${\ displaystyle 4 \ pi \ \ (720 ^ {\ circ})}$

Теорема Декарта [ править ]

Теорема Декарта о «полном дефекте» многогранника утверждает, что если многогранник гомеоморфен сфере (т. Е. Топологически эквивалентен сфере, так что он может быть деформирован в сферу путем растяжения без разрывов), «полный дефект» , т.е. сумма дефектов всех вершин, составляет две полных окружности (или 720 °, или 4π радиан). Многогранник не обязательно должен быть выпуклым. ^[1]

Обобщение говорит, что количество окружностей в общем дефекте равно эйлеровой характеристике многогранника. Это частный случай теоремы Гаусса – Бонне, которая связывает интеграл гауссовой кривизны с эйлеровой характеристикой. Здесь гауссова кривизна сосредоточена в вершинах: на гранях и ребрах гауссова кривизна равна нулю, а интеграл гауссовой кривизны в вершине равен дефекту там.

Это можно использовать для вычисления количества V вершин многогранника, суммируя углы всех граней и добавляя общий дефект. В этой сумме будет по одному завершенному кругу на каждую вершину многогранника. Необходимо соблюдать осторожность, чтобы использовать правильную характеристику Эйлера для многогранника.

Обратное к этой теореме дает теорема единственности Александрова , согласно которой метрическое пространство, которое является локально евклидовым, за исключением конечного числа точек положительного углового дефекта, добавленного к 4π, может быть реализовано уникальным образом как поверхность выпуклый многогранник.

Положительные дефекты на невыпуклых фигурах [ править ]

Заманчиво думать, что каждый невыпуклый многогранник должен иметь некоторые вершины с отрицательным дефектом, но это не обязательно. Два контрпримера к этому - малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр , которые имеют двенадцать выпуклых точек, каждая с положительными дефектами.

Многогранники с положительными дефектами

Контрпример, который не пересекает сам себя, представляет собой куб, в котором одна грань заменена квадратной пирамидой : эта продолговатая квадратная пирамида выпуклая, и дефекты в каждой вершине положительны. Теперь рассмотрим тот же куб, в котором квадратная пирамида переходит в куб: он вогнутый, но дефекты остаются теми же, и поэтому все положительные.

Отрицательный дефект указывает на то, что вершина напоминает седловую точку , тогда как положительный дефект указывает, что вершина похожа на локальный максимум или минимум.

Ссылки [ править ]

Заметки [ править ]

^ Декарт, Рене , Progymnasmata de solidorum elementis , в Oeuvres de Descartes , vol. X, стр. 265–276

Библиография [ править ]

Ричсон, Д .; Драгоценный камень Эйлера: формула многогранника и рождение топологии , Принстон (2008), страницы 220–225.

Внешние ссылки [ править ]

Найдите дефект в Викисловаре, бесплатном словаре.

Вайсштейн, Эрик В. «Угловой дефект» . MathWorld .

[1] Декарт, Рене , Progymnasmata de solidorum elementis , в Oeuvres de Descartes , vol. X, стр. 265–276

[1]