Сферическая тригонометрия

Сферическая тригонометрия является филиалом сферической геометрии , которая имеет дело с отношениями между тригонометрическими функциями этих сторон и углов сферических многоугольников (особенно сферические треугольники ) , определяемых числом пересекающихся больших кругов на сфере . Сферическая тригонометрия имеет большое значение для расчетов в астрономии , геодезии и навигации .

Истоки сферической тригонометрии в греческой математике и основные достижения в исламской математике полностью обсуждаются в « Истории тригонометрии и математики в средневековом исламе» . Эта тема была реализована в раннем Новом времени с важными разработками Джона Напьера , Деламбра и других, и приобрела практически завершенную форму к концу девятнадцатого века с публикацией учебника Тодхантера « Сферическая тригонометрия» для использования в колледжах и школах . ^[1] С тех пор значительное развитие получили применение векторных методов и численных методов.

Предварительные мероприятия [ править ]

Восемь сферических треугольников, образованных пересечением трех больших кругов.

Сферические многоугольники [ править ]

Сферический многоугольник представляет собой многоугольник на поверхности сферы , определяемого числом большого круга дуг , которые являются пересечением поверхности с плоскостями через центр сферы. Такие многоугольники могут иметь любое количество сторон. Две плоскости определяют лунку , также называемую « двуугольником » или двуугольником , двусторонний аналог треугольника: знакомый пример - изогнутая поверхность сегмента апельсина. Три плоскости определяют сферический треугольник, который является основным предметом этой статьи. Четыре плоскости определяют сферический четырехугольник: такую ​​фигуру и многоугольники с более высокими сторонами всегда можно рассматривать как несколько сферических треугольников.

Один сферический многоугольник с интересными свойствами - это пентаграмма mirificum , сферический пятиугольный звездный многоугольник со всеми прямыми углами.

С этого момента статья будет ограничена сферическими треугольниками, обозначенными просто как треугольники .

Обозначение [ править ]

• Обе вершины и углы при вершинах, обозначены одними и теми же буквами верхнего , B и C .
• Углы A , B , C треугольника равны углам между плоскостями, пересекающими поверхность сферы, или, что то же самое, углам между касательными векторами дуг большого круга, где они встречаются в вершинах. Углы указаны в радианах. Углы собственных сферических треугольников (по соглашению) меньше π, так что π  <  A  +  B  +  C  <3π. (Тодхантер, ^[1] статьи 22,32).
• Стороны обозначаются строчными буквами a , b и c . На единичной сфере их длины численно равны радианам углов, которые дуги большого круга образуют в центре. Стороны собственных сферических треугольников (по соглашению) меньше π, так что 0 <  a  +  b  +  c  <2π. (Тодхантер, ^[1] статьи 22,32).
• Радиус сферы принят за единицу. Для конкретных практических задач на сфере радиуса R измеренные длины сторон должны быть разделены на R перед использованием тождеств, приведенных ниже. Точно так же, после того, как расчет на единичной сфере стороны , б , с , должны быть умножены на  R .

Полярные треугольники [ править ]

Полярный треугольник, связанный с треугольником ABC, определяется следующим образом. Рассмотрим большой круг, который содержит сторону BC. Этот большой круг определяется пересечением диаметральной плоскости с поверхностью. Нарисуйте нормаль к этой плоскости в центре: она пересекает поверхность в двух точках, а точка, которая находится на той же стороне плоскости, что и A, (условно) называется полюсом A и обозначается A '. Аналогично определяются точки B 'и C'.

Треугольник A'B'C '- это полярный треугольник, соответствующий треугольнику ABC. Очень важная теорема (Тодхантер, ^[1] Статья 27) доказывает, что углы и стороны полярного треугольника задаются формулами

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}A'&=\pi -a,&\qquad B'&=\pi -b,&\qquad C'&=\pi -c,\\a'&=\pi -A,&b'&=\pi -B,&c'&=\pi -C.\end{alignedat}}}$

Следовательно, если какое-либо тождество доказано для треугольника ABC, мы можем сразу вывести вторую идентичность, применив первую идентичность к полярному треугольнику, сделав указанные выше замены. Вот как дополнительные косинусные уравнения выводятся из косинусных уравнений. Точно так же тождества для квадрантного треугольника могут быть получены из тождеств для прямоугольного треугольника. Полярный треугольник полярного треугольника - это исходный треугольник.

Правила косинуса и правила синуса [ править ]

Правила косинуса [ править ]

Правило косинуса является фундаментальным тождеством сферической тригонометрии: все другие тождества, включая правило синуса, могут быть выведены из правила косинуса:

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\!}$

${\displaystyle \cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\!}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,\!}$

Эти тождества обобщают правило косинусов плоской тригонометрии , которому они асимптотически эквивалентны в пределе малых внутренних углов. (На единичной сфере, если она установлена и т. Д .; см. Сферический закон косинусов .)${\displaystyle a,b,c\rightarrow 0}$${\displaystyle \sin a\approx a}$${\displaystyle \cos a\approx 1-a^{2}/2}$

Правила синуса [ править ]

Сферический закон синусов задается формулой

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$

Эти тождества аппроксимируют правило синуса плоской тригонометрии, когда стороны намного меньше радиуса сферы.

Вывод правила косинуса [ править ]

Формулы сферического косинуса были первоначально доказаны элементарной геометрией и правилом плоского косинуса (Тодхантер, ^[1] Статья 37). Он также дает вывод, используя простую координатную геометрию и правило плоского косинуса (статья 60). В описанном здесь подходе используются более простые векторные методы. (Эти методы также обсуждаются в Сферическом законе косинусов .)

Рассмотрим три единичных вектора OA , OB и OC, проведенные из начала координат в вершины треугольника (на единичной сфере). Дуга BC образует в центре угол величиной a, поэтому OB · OC = cos a . Введем декартов базис с OA вдоль оси z и OB в плоскости xz, образующей угол c с осью z . Вектор OC проецируется на ON в плоскости xy, а угол между ON и осью x равен A.. Следовательно, у трех векторов есть компоненты:

OA OB OC .${\displaystyle (0,\,0,\,1)}$     ${\displaystyle (\sin c,\,0,\,\cos c)}$     ${\displaystyle (\sin b\cos A,\,\sin b\sin A,\,\cos b)}$

Скалярное произведение OB · OC в терминах компонентов имеет вид

OB · OC = .${\displaystyle \sin c\,\sin b\,\cos A+\cos c\,\cos b}$

Приравнивая два выражения для скалярного произведения, получаем

${\displaystyle \cos a=\cos b\,\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A.}$

Это уравнение можно перестроить, чтобы получить явные выражения для угла через стороны:

${\displaystyle \cos A={\frac {\cos a\,-\,\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}.}$

Остальные правила косинуса получаются циклическими перестановками.

Вывод правила синуса [ править ]

Этот вывод дан в Todhunter, ^[1] (Статья 40). Из идентичности и явного выражения для данного непосредственно выше${\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}$${\displaystyle \cos A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {(1-\cos ^{2}\!b)(1-\cos ^{2}\!c)-(\cos a-\cos b\,\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}$

Поскольку правая часть инвариантна относительно циклической перестановки сферических синусов, сразу следует правило.${\displaystyle a,\;b,\;c}$

Альтернативные производные [ править ]

Есть много способов вывести основные правила косинуса и синуса, а также другие правила, разработанные в следующих разделах. Например, Тодхантер ^[1] дает два доказательства правила косинуса (статьи 37 и 60) и два доказательства правила синуса (статьи 40 и 42). На странице сферического закона косинусов приведены четыре различных доказательства правила косинусов. Учебники по геодезии (например, Clarke ^[2] ) и сферической астрономии (например, Smart ^[3] ) предоставляют различные доказательства, а онлайн-ресурсы MathWorld предоставляют еще больше. ^[4] Есть даже более экзотические производные, например, у Банерджи ^[5]который выводит формулы с помощью линейной алгебры проекционных матриц, а также цитирует методы дифференциальной геометрии и групповой теории вращений.

Вывод правила косинуса, представленный выше, имеет достоинства простоты и непосредственности, а вывод правила синуса подчеркивает тот факт, что не требуется отдельного доказательства, кроме правила косинуса. Однако указанная выше геометрия может использоваться для независимого доказательства правила синуса. Смешанное произведение , ОА · (О.Б. × OC) принимает значение в основе показано на рисунке. Аналогично, в базисе, ориентированном с осью z вдоль OB , тройное произведение OB · (OC × OA) оценивается как . Следовательно, инвариантность тройного произведения относительно циклических перестановок дает первое из правил синуса. Смотрите изогнутые варианты закона синуса${\displaystyle \sin b\sin c\sin A}$${\displaystyle \sin c\sin a\sin B}$${\displaystyle \sin b\sin A=\sin a\sin B}$ чтобы увидеть подробности этого вывода.

Личности [ править ]

Дополнительные правила косинуса [ править ]

Применение правил косинусов к полярному треугольнику дает (Тодхантер, ^[1] Статья 47), т. Е. Заменяя A на π– a ,  a на π– A и т. Д.,

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos A&=-\cos B\,\cos C+\sin B\,\sin C\,\cos a,\\\cos B&=-\cos C\,\cos A+\sin C\,\sin A\,\cos b,\\\cos C&=-\cos A\,\cos B+\sin A\,\sin B\,\cos c.\end{aligned}}}$

Котангенсные четырехчастные формулы [ править ]

Шесть частей треугольника могут быть записаны в циклическом порядке как ( aCbAcB ). Котангенс, или четырехчастная формула, связывает две стороны и два угла, образуя четыре последовательные части вокруг треугольника, например ( aCbA ) или ( BaCb ). В таком наборе есть внутренняя и внешняя части: например, в наборе ( BaCb ) внутренний угол - C , внутренняя сторона - a , внешний угол - B , внешняя сторона - b . Правило котангенса может быть записано как (Тодхантер, ^[1] Статья 44)

${\displaystyle \cos({\mathsf {inner}}\ {\mathsf {side}})\cos({\mathsf {inner}}\ {\mathsf {angle}})=\cot({\mathsf {outer}}\ {\mathsf {side}})\sin({\mathsf {inner}}\ {\mathsf {side}})-\cot({\mathsf {outer}}\ {\mathsf {angle}})\sin({\mathsf {inner}}\ {\mathsf {angle}}),}$

и шесть возможных уравнений (с соответствующим набором, показанным справа):

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\text{(CT1)}}\quad &\cos b\,\cos C=\cot a\,\sin b-\cot A\,\sin C,\qquad &(aCbA)\\[0ex]{\text{(CT2)}}&\cos b\,\cos A=\cot c\,\sin b-\cot C\,\sin A,&(CbAc)\\[0ex]{\text{(CT3)}}&\cos c\,\cos A=\cot b\,\sin c-\cot B\,\sin A,&(bAcB)\\[0ex]{\text{(CT4)}}&\cos c\,\cos B=\cot a\,\sin c-\cot A\,\sin B,&(AcBa)\\[0ex]{\text{(CT5)}}&\cos a\,\cos B=\cot c\,\sin a-\cot C\,\sin B,&(cBaC)\\[0ex]{\text{(CT6)}}&\cos a\,\cos C=\cot b\,\sin a-\cot B\,\sin C,&(BaCb).\end{array}}}$

Чтобы доказать первую формулу, начните с первого правила косинуса и в правой части замените на третье правило косинуса:${\displaystyle \cos c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\&=\cos b\ (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C)+\sin b\sin C\sin a\cot A\\\cos a\sin ^{2}b&=\cos b\sin a\sin b\cos C+\sin b\sin C\sin a\cot A.\end{aligned}}}$

Результат следует разделить на . Аналогичные методы с двумя другими правилами косинуса дают CT3 и CT5. Остальные три уравнения следуют путем применения правил 1, 3 и 5 к полярному треугольнику.${\displaystyle \sin a\sin b}$

Формулы половинного угла и половинной стороны [ править ]

С и ,${\displaystyle 2s=(a+b+c)}$${\displaystyle 2S=(A+B+C)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}A=\left[{\frac {\sin(s{-}b)\sin(s{-}c)}{\sin b\sin c}}\right]^{1/2}&\qquad &\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}a=\left[{\frac {-\cos S\cos(S{-}A)}{\sin B\sin C}}\right]^{1/2}\\[2ex]&\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}A=\left[{\frac {\sin s\sin(s{-}a)}{\sin b\sin c}}\right]^{1/2}&\qquad &\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}a=\left[{\frac {\cos(S{-}B)\cos(S{-}C)}{\sin B\sin C}}\right]^{1/2}\\[2ex]&\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}A=\left[{\frac {\sin(s{-}b)\sin(s{-}c)}{\sin s\sin(s{-}a)}}\right]^{1/2}&\qquad &\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}a=\left[{\frac {-\cos S\cos(S{-}A)}{\cos(S{-}B)\cos(S{-}C)}}\right]^{1/2}\end{aligned}}}$

Еще двенадцать тождеств следуют циклической перестановке.

Доказательство (Тодхантер, ^[1] Статья 49) первой формулы начинается с тождества 2sin ² ( A / 2) = 1 – cos A , используя правило косинуса для выражения A через стороны и заменяя сумму два косинуса произведением. (См. Тождества суммы к произведению .) Вторая формула начинается с тождества 2cos ² ( A / 2) = 1 + cos A , третья является частным, а остаток следует путем применения результатов к полярному треугольнику.

Аналогии Деламбра (или Гаусса) [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\\{\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{+}B)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}C}}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}c}}&\qquad \qquad &{\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{-}B)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}C}}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}c}}\\[2ex]{\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{+}B)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}C}}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}c}}&\qquad &{\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{-}B)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}C}}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}c}}\end{aligned}}}$

Еще восемь тождеств следуют циклической перестановке.

Proved by expanding the numerators and using the half angle formulae. (Todhunter,^[1] Art.54 and Delambre^[6])

Napier's analogies[edit]

${\displaystyle {\begin{aligned}&&\\[-2ex]\displaystyle {\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{+}B)}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}}\cot {\textstyle {\frac {1}{2}}C}&\qquad &{\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{-}B)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{+}B)}}\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}c}\\[2ex]{\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{-}B)}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}}\cot {\textstyle {\frac {1}{2}}C}&\qquad &{\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{-}B)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{+}B)}}\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}c}\end{aligned}}}$

Another eight identities follow by cyclic permutation.

These identities follow by division of the Delambre formulae. (Todhunter,^[1] Art.52)

Napier's rules for right spherical triangles[edit]

When one of the angles, say C, of a spherical triangle is equal to π/2 the various identities given above are considerably simplified. There are ten identities relating three elements chosen from the set a, b, c, A, B.

Napier^[7] provided an elegant mnemonic aid for the ten independent equations: the mnemonic is called Napier's circle or Napier's pentagon (when the circle in the above figure, right, is replaced by a pentagon).

First, write the six parts of the triangle (three vertex angles, three arc angles for the sides) in the order they occur around any circuit of the triangle: for the triangle shown above left, going clockwise starting with a gives aCbAcB. Next replace the parts that are not adjacent to C (that is A, c, B) by their complements and then delete the angle C from the list. The remaining parts can then be drawn as five ordered, equal slices of a pentagram, or circle, as shown in the above figure (right). For any choice of three contiguous parts, one (the middle part) will be adjacent to two parts and opposite the other two parts. The ten Napier's Rules are given by

• sine of the middle part = the product of the tangents of the adjacent parts
• sine of the middle part = the product of the cosines of the opposite parts

For an example, starting with the sector containing ${\displaystyle a}$ we have:

${\displaystyle \sin a=\tan(\pi /2{-}B)\,\tan b=\cos(\pi /2{-}c)\,\cos(\pi /2{-}A)=\cot B\,\tan b=\sin c\,\sin A.}$

The full set of rules for the right spherical triangle is (Todhunter,^[1] Art.62)

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(R1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\,\cos b,&\qquad \qquad &{\text{(R6)}}&\qquad \tan b&=\cos A\,\tan c,\\&{\text{(R2)}}&\sin a&=\sin A\,\sin c,&&{\text{(R7)}}&\tan a&=\cos B\,\tan c,\\&{\text{(R3)}}&\sin b&=\sin B\,\sin c,&&{\text{(R8)}}&\cos A&=\sin B\,\cos a,\\&{\text{(R4)}}&\tan a&=\tan A\,\sin b,&&{\text{(R9)}}&\cos B&=\sin A\,\cos b,\\&{\text{(R5)}}&\tan b&=\tan B\,\sin a,&&{\text{(R10)}}&\cos c&=\cot A\,\cot B.\end{alignedat}}}$

Napier's rules for quadrantal triangles[edit]

A quadrantal spherical triangle is defined to be a spherical triangle in which one of the sides subtends an angle of π/2 radians at the centre of the sphere: on the unit sphere the side has length π/2. In the case that the side c has length π/2 on the unit sphere the equations governing the remaining sides and angles may be obtained by applying the rules for the right spherical triangle of the previous section to the polar triangle A'B'C' with sides a',b',c' such that A' = π−a,  a' = π−A etc. The results are:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(Q1)}}&\qquad \cos C&=-\cos A\,\cos B,&\qquad \qquad &{\text{(Q6)}}&\qquad \tan B&=-\cos a\,\tan C,\\&{\text{(Q2)}}&\sin A&=\sin a\,\sin C,&&{\text{(Q7)}}&\tan A&=-\cos b\,\tan C,\\&{\text{(Q3)}}&\sin B&=\sin b\,\sin C,&&{\text{(Q8)}}&\cos a&=\sin b\,\cos A,\\&{\text{(Q4)}}&\tan A&=\tan a\,\sin B,&&{\text{(Q9)}}&\cos b&=\sin a\,\cos B,\\&{\text{(Q5)}}&\tan B&=\tan b\,\sin A,&&{\text{(Q10)}}&\cos C&=-\cot a\,\cot b.\end{alignedat}}}$

Five-part rules[edit]

Substituting the second cosine rule into the first and simplifying gives:

${\displaystyle \cos a=(\cos a\,\cos c+\sin a\,\sin c\,\cos B)\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A}$

${\displaystyle \cos a\,\sin ^{2}c=\sin a\,\cos c\,\sin c\,\cos B+\sin b\,\sin c\,\cos A}$

Cancelling the factor of ${\displaystyle \sin c}$ gives

${\displaystyle \cos a\sin c=\sin a\,\cos c\,\cos B+\sin b\,\cos A}$

Similar substitutions in the other cosine and supplementary cosine formulae give a large variety of 5-part rules. They are rarely used.

Solution of triangles[edit]

Main article: Solution of triangles § Solving spherical triangles

Oblique triangles[edit]

The solution of triangles is the principal purpose of spherical trigonometry: given three, four or five elements of the triangle, determine the others. The case of five given elements is trivial, requiring only a single application of the sine rule. For four given elements there is one non-trivial case, which is discussed below. For three given elements there are six cases: three sides, two sides and an included or opposite angle, two angles and an included or opposite side, or three angles. (The last case has no analogue in planar trigonometry.) No single method solves all cases. The figure below shows the seven non-trivial cases: in each case the given sides are marked with a cross-bar and the given angles with an arc. (The given elements are also listed below the triangle). In the summary notation here such as ASA, A refers to a given angle and S refers to a given side, and the sequence of A's and S's in the notation refers to the corresponding sequence in the triangle.

• Case 1: three sides given (SSS). The cosine rule may be used to give the angles A, B, and C but, to avoid ambiguities, the half angle formulae are preferred.
• Case 2: two sides and an included angle given (SAS). The cosine rule gives a and then we are back to Case 1.
• Case 3: two sides and an opposite angle given (SSA). The sine rule gives C and then we have Case 7. There are either one or two solutions.
• Case 4: two angles and an included side given (ASA). The four-part cotangent formulae for sets (cBaC) and (BaCb) give c and b, then A follows from the sine rule.
• Case 5: two angles and an opposite side given (AAS). The sine rule gives b and then we have Case 7 (rotated). There are either one or two solutions.
• Case 6: three angles given (AAA). The supplemental cosine rule may be used to give the sides a, b, and c but, to avoid ambiguities, the half-side formulae are preferred.
• Case 7: two angles and two opposite sides given (SSAA). Use Napier's analogies for a and A; or, use Case 3 (SSA) or case 5 (AAS).

The solution methods listed here are not the only possible choices: many others are possible. In general it is better to choose methods that avoid taking an inverse sine because of the possible ambiguity between an angle and its supplement. The use of half-angle formulae is often advisable because half-angles will be less than π/2 and therefore free from ambiguity. There is a full discussion in Todhunter. The article Solution of triangles#Solving spherical triangles presents variants on these methods with a slightly different notation.

There is a full discussion of the solution of oblique triangles in Todhunter.^{[1]:Chap. VI} See also the discussion in Ross.^[8]

Solution by right-angled triangles[edit]

Another approach is to split the triangle into two right-angled triangles. For example, take the Case 3 example where b, c, B are given. Construct the great circle from A that is normal to the side BC at the point D. Use Napier's rules to solve the triangle ABD: use c and B to find the sides AD, BD and the angle BAD. Then use Napier's rules to solve the triangle ACD: that is use AD and b to find the side DC and the angles C and DAC. The angle A and side a follow by addition.

Numerical considerations[edit]

Not all of the rules obtained are numerically robust in extreme examples, for example when an angle approaches zero or π. Problems and solutions may have to be examined carefully, particularly when writing code to solve an arbitrary triangle.

Area and spherical excess[edit]

Consider an N-sided spherical polygon and let A_n denote the n-th interior angle. The area of such a polygon is given by (Todhunter,^[1] Art.99)

${\displaystyle {\text{Area of polygon (on the unit sphere)}}\equiv E_{N}=\left(\sum _{n=1}^{N}A_{n}\right)-(N-2)\pi .}$

For the case of triangle this reduces to

${\displaystyle {\text{Area of triangle (on the unit sphere)}}\equiv E=E_{3}=A+B+C-\pi ,}$

where E is the amount by which the sum of the angles exceeds π radians. The quantity E is called the spherical excess of the triangle. This theorem is named after its author, Albert Girard.^[9] An earlier proof was derived, but not published, by the English mathematician Thomas Harriot. On a sphere of radius R both of the above area expressions are multiplied by R². The definition of the excess is independent of the radius of the sphere.

The converse result may be written as

${\displaystyle \displaystyle A+B+C=\pi +{\frac {4\pi \times {\text{Area of triangle}}}{\text{Area of the sphere}}}.}$

Since the area of a triangle cannot be negative the spherical excess is always positive. It is not necessarily small, because the sum of the angles may attain 5π (3π for proper angles). For example, an octant of a sphere is a spherical triangle with three right angles, so that the excess is π/2. In practical applications it is often small: for example the triangles of geodetic survey typically have a spherical excess much less than 1' of arc. (Rapp^[10]Clarke,^[11] Legendre's theorem on spherical triangles). On the Earth the excess of an equilateral triangle with sides 21.3 km (and area 393 km²) is approximately 1 arc second.

There are many formulae for the excess. For example, Todhunter,^[1] (Art.101—103) gives ten examples including that of L'Huilier:

${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{4}}E={\sqrt {\tan {\tfrac {1}{2}}s\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s{-}a)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s{-}b)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s{-}c)}}}$

where ${\displaystyle s=(a+b+c)/2}$. Because some triangles are badly characterized by their edges (e.g., if ${\textstyle a=b\approx {\frac {1}{2}}c}$), it is often better to use the formula for the excess in terms of two edges and their included angle

${\displaystyle \tan {\frac {E}{2}}={\frac {\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\sin C}{1+\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\cos C}}.}$

Angle deficit is defined similarly for hyperbolic geometry.

From latitude and longitude[edit]

An example for a spherical quadrangle bounded by a segment of a great circle, two meridians, and the equator is

${\displaystyle \tan {\frac {E_{4}}{2}}={\frac {\sin {\frac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})}{\cos {\frac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})}}\tan {\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{2}}.}$

where ${\displaystyle \phi ,\lambda }$ denote latitude and longitude. This result is obtained from one of Napier's analogies. In the limit where ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}}$ are all small, this reduces to the familiar trapezoidal area, ${\textstyle E_{4}\approx {\frac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})(\lambda _{2}-\lambda _{1})}$.

The area of a polygon can be calculated from individual quadrangles of the above type, from individual triangle bounded by a segment of the polygon and two meridians,^[12] or by a line integral with Green's theorem.^[13] The other algorithms can still be used with the side lengths calculated using a great-circle distance formula.

See also[edit]

• Air navigation
• Celestial navigation
• Ellipsoidal trigonometry
• Great-circle distance or spherical distance
• Lenart sphere
• Schwarz triangle
• Spherical geometry
• Spherical polyhedron

References[edit]

External links[edit]

• Weisstein, Eric W. "Spherical Trigonometry". MathWorld. a more thorough list of identities, with some derivation
• Weisstein, Eric W. "Spherical Triangle". MathWorld. a more thorough list of identities, with some derivation
• TriSph A free software to solve the spherical triangles, configurable to different practical applications and configured for gnomonic
• "Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors" by Sudipto Banerjee. The paper derives the spherical law of cosines and law of sines using elementary linear algebra and projection matrices.
• "A Visual Proof of Girard's Theorem". Wolfram Demonstrations Project. by Okay Arik
• "The Book of Instruction on Deviant Planes and Simple Planes", a manuscript in Arabic that dates back to 1740 and talks about spherical trigonometry, with diagrams
• Some Algorithms for Polygons on a Sphere Robert G. Chamberlain, William H. Duquette, Jet Propulsion Laboratory. The paper develops and explains many useful formulae, perhaps with a focus on navigation and cartography.
• Online computation of spherical triangles