В математике , A сферической полиэдр или сферическая черепица является черепицей из сферы , в которой поверхность разделена или разделенная большими дугами в ограниченную области , называемой сферическими многоугольниками . Таким способом удобнее всего выводить большую часть теории симметричных многогранников .
Самый известный сферический многогранник - футбольный мяч , представляющий собой усеченный сферический икосаэдр . Следующим по популярности сферическим многогранником является пляжный мяч , который понимается как осоэдр .
Некоторые «несобственные» многогранники, такие как осоэдры и их двойники , диэдры , существуют как сферические многогранники, но их плоские аналоги вырождены. Пример шестиугольного пляжного мяча {2, 6} - это хозоэдр, а {6, 2} - его двойной диэдр.
История [ править ]
Первые известные рукотворные многогранники - это сферические многогранники, высеченные в камне . Многие из них были найдены в Шотландии и датируются периодом неолита (новый каменный век).
В 10 веке исламский ученый Абу аль-Вафа 'Бузджани (Абу'л Вафа) написал первое серьезное исследование сферических многогранников.
Двести лет назад, в начале XIX века, Пуансо использовал сферические многогранники, чтобы обнаружить четыре правильных звездных многогранника .
В середине 20 века Кокстер использовал их для перечисления всех однородных многогранников , кроме одного , путем построения калейдоскопов ( конструкция Витхоффа ).
Примеры [ править ]
Все правильные многогранники , полуправильные многогранники и их двойники можно спроецировать на сферу как мозаики:
Символ Шлефли | {p, q} | т {р, д} | г {р, д} | т {д, р} | {q, p} | рр {р, q} | tr {p, q} | sr {p, q} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Конфигурация вершины | p q | q.2p.2p | pqpq | p.2q.2q | q p | q.4.p.4 | 4.2q. 2p | 3.3.q.3.p |
| Тетраэдрическая симметрия (3 3 2) | 3 3 | 3.6.6 | 3.3.3.3 | 3.6.6 | 3 3 | 3.4.3.4 | 4.6.6 | 3.3.3.3.3 |
V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 | |||
| Октаэдрическая симметрия (4 3 2) | 4 3 | 3.8.8 | 3.4.3.4 | 4.6.6 | 3 4 | 3.4.4.4 | 4.6.8 | 3.3.3.3.4 |
V3.8.8 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.4.4.4 | V4.6.8 | V3.3.3.3.4 | |||
| Икосаэдрическая симметрия (5 3 2) | 5 3 | 3.10.10 | 3.5.3.5 | 5.6.6 | 3 5 | 3.4.5.4 | 4.6.10 | 3.3.3.3.5 |
V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 | |||
Пример диэдра p = 6 (2 2 6) | 6 2 | 2.12.12 | 2.6.2.6 | 6.4.4 | 2 6 | 2.4.6.4 | 4.4.12 | 3.3.3.6 |
| п | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n - призма (2 2 шт.) | ... | ||||||||
| n - Бипирамида (2 2 п) | ... | ||||||||
| n - Антипризма | ... | ||||||||
| n - Трапецоэдр | ... |
Неправильные случаи [ править ]
Сферические мозаики допускают случаи, которые не допускаются многогранниками, а именно осоэдры : фигуры как {2, n} и диэдры : фигуры как {n, 2}. Обычно используются правильные осоэдры и правильные диэдры.
| Космос | Сферический | Евклидово | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Название плитки | (Моногональный) шестиугольный осоэдр | Дигональный осоэдр | (Треугольный) Тригональный осоэдр | (Тетрагональный) квадратный хозоэдр | Пятиугольный осоэдр | Шестиугольный осоэдр | Семиугольный хозоэдр | Восьмиугольный осоэдр | Эннеагональный хозоэдр | Десятиугольный осоэдр | Хендекагональный осоэдр | Додекагональный осоэдр | ... | Апейрогональный хозоэдр |
| Мозаичное изображение | ... | |||||||||||||
| Символ Шлефли | {2,1} | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} | {2,7} | {2,8} | {2,9} | {2,10} | {2,11} | {2,12} | ... | {2, ∞} |
| Диаграмма Кокстера |    | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | ... |  |
| Грани и края | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
| Вершины | 2 | ... | 2 | |||||||||||
| Конфигурация вершины. | 2 | 2.2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 | 2 11 | 2 12 | ... | 2 ∞ |
| Космос | Сферический | Евклидово | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Название плитки | (Hengonal) Моногональный диэдр | Дигональный диэдр | (Треугольный) Тригональный диэдр | (Тетрагональный) Квадратный диэдр | Пятиугольный диэдр | Шестиугольный диэдр | ... | Апейрогональный диэдр |
| Мозаичное изображение | ... | |||||||
| Символ Шлефли | {1,2} | {2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | {6,2} | ... | {∞, 2} |
| Диаграмма Кокстера |  | | | | | | ... | |
| Лица | 2 {1} | 2 {2} | 2 {3} | 2 {4} | 2 {5} | 2 {6} | ... | 2 {∞} |
| Ребра и вершины | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... | ∞ |
| Конфигурация вершины. | 1.1 | 2.2 | 3.3 | 4.4 | 5.5 | 6,6 | ... | ∞.∞ |
Связь с мозаиками проективной плоскости [ править ]
Сферические многогранники, имеющие хотя бы одну инверсивную симметрию , связаны с проективными многогранниками [1] (мозаика действительной проективной плоскости ) - так же, как сфера имеет отображение 2-к-1, покрывающее проективную плоскость, проективные многогранники соответствуют под 2-кратным покрывают сферические многогранники, симметричные относительно отражения через начало координат .
Наиболее известный пример проективного многогранников являются регулярными проективными многогранниками, частное от деления центрально - симметричных многогранников , а также два бесконечных класса даже dihedra и hosohedra : [2]
- Полукуб , {4,3} / 2
- Гемиоктаэдр , {3,4} / 2
- Полудодекаэдр , {5,3} / 2
- Хемиикосаэдр , {3,5} / 2
- Полудигранник, {2p, 2} / 2, p> = 1
- Полусоэдр, {2,2p} / 2, p> = 1
См. Также [ править ]
 | Викискладе есть медиафайлы по теме сферических многогранников . |
- Сферическая геометрия
- Сферическая тригонометрия
- Многогранник
- Проективный многогранник
- Тороидальный многогранник
- Обозначения многогранника Конвея
Ссылки [ править ]
- ^ Макмаллен, Питер ; Шульте, Эгон (2002). «6C. Проективные регулярные многогранники». Абстрактные правильные многогранники . Издательство Кембриджского университета. С. 162–5 . ISBN 0-521-81496-0.
- ^ Косетер, HSM (1969). «§21.3 Регулярные карты ' ». Введение в геометрию (2-е изд.). Вайли. стр. 386 -8. ISBN 978-0-471-50458-0. Руководство по ремонту 0123930 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Пуансо, Л. (1810). «Воспоминания о многоугольниках и многогранниках». J. De l'École Polytechnique . 9 : 16–48.
- Кокстер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS ; Миллер, JCP (1954). «Равномерные многогранники». Фил. Пер . 246 А (916): 401–50. JSTOR 91532 .
- Кокстер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр. ISBN 0-486-61480-8.
