В геометрии , A равномерной звезда полиэдр является самопересекающимся равномернымом многогранника . Их также иногда называют невыпуклыми многогранниками, что подразумевает самопересечение. Каждый многогранник может содержать либо звезда многоугольных граней, звезда многоугольных фигуры вершин или оба.
Полный набор из 57 непризматических однородных звездных многогранников включает 4 правильных, называемых многогранниками Кеплера – Пуансо , 5 квазирегулярных и 48 полуправильных.
Есть также два бесконечных набора однородных звездных призм и однородных звездных антипризм .
Так же, как (невырожденные) звездчатые многоугольники (которые имеют плотность многоугольников больше 1) соответствуют круговым многоугольникам с перекрывающимися плитками, звездные многогранники, которые не проходят через центр, имеют плотность многогранников больше 1 и соответствуют сферическим многогранникам с перекрывающимися плитками; таких однородных звездных многогранников 47 непризматических. Остальные 10 непризматических однородных звездных многогранников, которые проходят через центр, являются гемиполиэдрами, а также чудовищем Миллера , и не имеют четко определенной плотности.
Невыпуклые формы построены из треугольников Шварца .
Все равномерные многогранники перечислены ниже по группам симметрии и сгруппированы по расположению вершин.
Правильные многогранники помечаются своим символом Шлефли . Другие неоднородные однородные многогранники перечислены с указанием их конфигурации вершин .
Дополнительная фигура, псевдо-большой ромбокубооктаэдр , обычно не включается как действительно однородный звездный многогранник, несмотря на то, что он состоит из правильных граней и имеет одинаковые вершины.
Примечание: для невыпуклых форм ниже дополнительный дескриптор Nonuniform используется, когда расположение вершин выпуклой оболочки имеет ту же топологию, что и одна из них, но имеет нерегулярные грани. Например, неоднородная наклонная форма может иметь прямоугольники, созданные вместо краев, а не квадраты .
Двугранная симметрия [ править ]
См. Призматический однородный многогранник .
Тетраэдрическая симметрия [ править ]
Существует одна невыпуклая форма, тетрагемигексаэдр, обладающий тетраэдрической симметрией (с фундаментальной областью треугольника Мёбиуса (3 3 2)).
Есть два Schwarz треугольников , которые генерируют уникальные невыпуклые равномерные многогранники: один прямоугольный треугольник ( 3 / 2 3 2), и один общий треугольник ( 3 / 2 3 3). Общий треугольник ( 3 / 2 3 3) генерирует octahemioctahedron , которая дана далее с его полной октаэдрической симметрией .
| Расположение вершин ( выпуклая оболочка ) | Невыпуклые формы | |
|---|---|---|
Тетраэдр | ||
Выпрямленный тетраэдр Октаэдр | 4. 3 / 2 .4.3 3 / 2 3 | 2 | |
Усеченный тетраэдр | ||
Кантеллированный тетраэдр ( кубооктаэдр ) | ||
Омнитусеченный тетраэдр ( Усеченный октаэдр ) | ||
Курносый тетраэдр ( икосаэдр ) | ||
Октаэдрическая симметрия [ править ]
Существует 8 выпуклых форм и 10 невыпуклых форм с октаэдрической симметрией (с фундаментальной областью треугольника Мёбиуса (4 3 2)).
Есть четыре Schwarz треугольников , которые генерируют невыпуклые формы, два прямоугольных треугольников ( 3 / 2 4 2) и ( 4 / 3 3 2), а также два общих треугольников: ( 4 / 3 4 3), ( 3 / 2 4 4).
| Расположение вершин ( выпуклая оболочка ) | Невыпуклые формы | ||
|---|---|---|---|
Куб | |||
Октаэдр | |||
Кубооктаэдр | 6. 4 / 3 .6.4 4 / 3 4 | 3 | 6. 3 / 2 .6.3 3 / 2 3 | 3 | |
Усеченный куб | 4. 8 / 3 . 4 / 3 . 8 / 5 2 4 / 3 ( 3 / 2 4 / 2 ) | | +8 / 3 . +0,3 +8 / 3 0,4 -4 | 4 / 3 | 4. 3 / 2 .4.4 3 / 2 4 | 2 |
Усеченный октаэдр | |||
Ромбокубооктаэдр | 4.8. 4 / 3 0,8 2 4 ( 3 / 2 4 / 2 ) | | 8. 3 / 2 .8.4 3 / 2 4 | 4 | 8 / 3 . 8 / 3 0,3 2 3 | 4 / 3 |
Неоднородный усеченный кубооктаэдр | . 4.6 8 / 3 2 3 4 / 3 | | ||
Неоднородный усеченный кубооктаэдр | +8 / 3 .6.8 3 4 4 / 3 | | ||
Курносый куб | |||
Икосаэдрическая симметрия [ править ]
Существует 8 выпуклых форм и 46 невыпуклых форм с икосаэдрической симметрией (с фундаментальной областью треугольника Мёбиуса (5 3 2)). (или 47 невыпуклых форм, если включить фигуру Скиллинга). Некоторые из невыпуклых курносых форм обладают отражающей вершинной симметрией.
| Расположение вершин ( выпуклая оболочка ) | Невыпуклые формы | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Икосаэдр | {5, 5 / 2 } | { 5 / 2 , 5} | {3, 5 / 2 } | |||||
Неоднородный усеченный икосаэдр | . 10,10 5 / 2 2 5 / 2 | 5 | 3. 10 / 3 . 5 / 2 . 10 / 7 5 / 2 3 | 5 / 3 | 3.4. 5 / 3 0,4 5 / 3 3 | 2 | 4. 10 / 3 . 4 / 3 . 10 / 7 2 5 / 3 ( 3 / 2 5 / 4 ) | | ||||
Неоднородный усеченный икосаэдр | 4. 5 / 2 .4.5 5 / 2 5 | 2 | 5.6. 5 / 3 0,6 5 / 3 5 | 3 | . 4.6 4 / 3 . 6 / 5 2 3 ( 5 / 4 5 / 2 ) | | |||||
Неоднородный усеченный икосаэдр | 3 5 . 5 / 2 | 5 / 2 3 3 | |||||||
Икосидодекаэдр | . 3,10 3 / 2 0,10 3 / 2 3 | 5 | . 5,10 5 / 4 0,10 5 / 4 5 | 5 | 3. 5 / 2 0,3. 5 / 2 2 | 3 5 / 2 | 5 / 2 . 10 / 3 . 5 / 3 . 10 / 3 5 / 3 5 / 2 | 5 / 3 | 3. 10 / 3 . 3 / 2 . 10 / 3 3 3 | 5 / 3 | 5. 5 / 2 0,5. 5 / 2 2 | 5 5 / 2 | 6. 5 / 2 +0,6. 5 / 3 5 / 3 5 / 2 | 3 | 5.6. 5 / 4 0,6 5 / 4 5 | 3 |
Неоднородный усеченный додекаэдр | 3. 10 / 3 . 0,5 10 / 3 3 5 | 5 / 3 | . 5,6 3 / 2 0,6 3 / 2 5 | 3 | 6. 10 / 3 . 6 / 5 . 10 / 7 3 5 / 3 ( 3 / 2 5 / 2 ) | | |||||
Неоднородный усеченный додекаэдр | (3 5 . 5 / 3 ) / 2 | 3 / 2 3 / 2 5 / 2 | |||||||
Додекаэдр | { 5 / 2 , 3} | (3. 5 / 2 ) 3 3 | 5 / 2 3 | (5. 5 / 3 ) 3 3 | 5 / 3 5 | (3,5 3 ) / 2 +3 / 2 | 3 5 | ||||
Ромбикосододекаэдр | . 5,10 3 / 2 0,10 3 / 2 5 | 5 | . 4.10 4 / 3 . 10 / 9 2 5 ( 3 / 2 5 / 2 ) | | 5. 10 / 3 . 10 / 3 2 5 | 5 / 3 | |||||
Неоднородный ромбоикосододекаэдр | . 6,6 5 / 2 2 5 / 2 | 3 | |||||||
Неоднородный ромбоикосододекаэдр | 6. 5 / 2 .6.3 5 / 2 3 | 3 | . 3,10 5 / 3 +0,10 5 / 3 3 | 5 | . 6.10 6 / 5 . 10 / 9 3 5 ( 3 / 2 5 / 4 ) | | 3. +10 / 3 . +10 / 3 2 3 | 5 / 3 | ||||
Неоднородный ромбоикосододекаэдр | 4. 5 / 3 .4.3.4. 5 / 2 .4. 3 / 2 | 3 / 2 5 / 3 3 5 / 2 | . 3.3.3 +5 / 2 +0,3. +5 / +3 | 5 / 3 5 / 2 3 | Фигура Скиллинга (см. Ниже) | |||||
Неоднородный усеченный икосододекаэдр | . 6,10 10 / 3 3 5 5 / 3 | | |||||||
Неоднородный усеченный икосододекаэдр | 4. 10 / 9 . 10 / 3 2 5 5 / 3 | | |||||||
Неоднородный усеченный икосододекаэдр | . 4.6 10 / 3 2 3 5 / 3 | | |||||||
Неоднородный курносый додекаэдр | 3,3. 5 / +2 .3.5 | 2 5 / 2 5 | 3.3.3.5.3. +5 / +3 | 5 / 3 3 5 | 3 4 . 5 / 2 | 2 5 / 2 3 | 3 4 . 5 / 3 | 5 / 3 2 3 | 3.3.5.3. +5 / +3 | 5 / 3 2 5 | (3 4 . 5 / 2 ) / 2 | 3 / 2 5 / 3 2 | ||
Вырожденные случаи [ править ]
Кокстер определил ряд вырожденных звездных многогранников с помощью метода построения Wythoff, которые содержат перекрывающиеся ребра или вершины. Эти вырожденные формы включают:
- Малый сложный икосододекаэдр
- Большой сложный икосододекаэдр
- Малый сложный ромбикосододекаэдр
- Большой сложный ромбикосододекаэдр
- Сложный ромбидодекадодекаэдр
Фигура Скиллинга [ править ]
Еще один невыпуклый вырожденный многогранник - это большой диргомбидодекаэдр disnub , также известный как фигура Скиллинга , который однороден по вершинам, но имеет пары ребер, которые совпадают в пространстве, так что четыре грани встречаются на некоторых ребрах. Он считается вырожденным однородным многогранником, а не однородным многогранником из-за его двойных ребер. Он имеет симметрию I h .
См. Также [ править ]
- Звездный многоугольник
- Список равномерных многогранников
- Список равномерных многогранников треугольником Шварца
Ссылки [ править ]
- Кокстер, HSM (13 мая 1954 г.). «Равномерные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 246 (916): 401–450. DOI : 10.1098 / RSTA.1954.0003 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09859-9. OCLC 1738087 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
- Брюкнер, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte. . Лейпциг, Германия: Teubner, 1900. [1]
- Сопов, С.П. (1970), "Доказательство полноты списка элементарных однородных многогранников", Украинский геометрический сборник (8): 139–156, MR 0326550
- Скиллинг, Дж. (1975), «Полный набор однородных многогранников», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. физико - математических наук , 278 : 111-135, DOI : 10.1098 / rsta.1975.0022 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 74475 , MR 0365333
- Хар'Эль З. Однородное решение для однородных многогранников. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Цви Хар'Эль , программное обеспечение Kaleido , изображения , двойные изображения
- Мэдер Р. Р. Однородные многогранники. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [2]
- Мессер, Питер В. Выражения в замкнутой форме для однородных многогранников и их двойников. , Дискретная и вычислительная геометрия 27: 353-375 (2002).
- Клитцинг, Ричард. «Трехмерные однородные многогранники» .
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. "Равномерный многогранник" . MathWorld .
